Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







ПОТОК СОБЫТИЙ ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК И ЕГО СВОЙСТВА





 

При рассмотрении случайных процессов, протекающих в системах с дискретными состояниями и непрерывным временем, часто приходит­ся встречаться с так называемыми «потоками событий».

Потоком событий называется последовательность одно­родных событий, следующих одно за другим в какие-то, вообще гово­ря, случайные моменты времени.

Примерами могут быть:

– поток вызовов на телефонной станции;

– поток включений приборов в бытовой электросети;

– поток грузовых составов, поступающих на железнодорожную станцию;

– поток неисправностей (сбоев) вычислительной машины;

– поток выстрелов, направляемых на цель, и т. д.

 

При рассмотрении процессов, протекающих в системе с дискрет­ными состояниями и непрерывным временем, часто бывает удобно представлять себе процесс так, как будто переходы системы из состоя­ния в состояние происходят под действием каких-то потоков со­бытий (поток вызовов, поток неисправностей, поток заявок на об­служивание, поток посетителей и т. д.) Поэтому имеет смысл рассмот­реть подробнее потоки событий и их свойства.

Будем изображать поток событий последовательностью точек на оси времени 0t (рис.15). Пользуясь таким изображением, не надо за­бывать, что положение каждой точки на оси абсцисс случайно.

Поток событий называется регулярным, если события сле­дуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается на практике, но представ­ляет определенный интерес как предельный случай.

При исследовании операций чаще приходится встречаться с пото­ками событий, для которых и моменты наступления событий и проме­жутки времени между ними случайны.



В данном параграфе мы рассмотрим потоки событий, обладающие некоторыми особо простыми свойствами. Для этого введем ряд опреде­лений.

1. Поток событий называется стационарным, если вероят­ность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной τ (рис. 15) зависит только от длины участка и не зави­сит от того, где именно на оси 0t расположен этот участок,

2. Поток событий называется потоком без последей­ствия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько со­бытий попало на другой (или другие, если рассматривается больше двух участков).

3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебре­жимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Рассмотрим подробнее эти три свойства потоков и посмотрим, ка­ким физическим условиям они соответствуют и за счет чего могут на­рушаться.

Стационарность потока означает его однородность по времени; вероятностные характеристики такого потока не должны ме­няться в зависимости от времени. В частности, так называемая интен­сивность (или «плотность») потока событий – среднее число собы­тий в единицу времени – для стационарного потока должна оставать­ся постоянной. Это, разумеется, не значит, что фактическое число собы­тий, появляющихся в единицу времени, постоянно – нет, поток может иметь местные сгущения и разрежения. Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера, а среднее число событий, попадающих на единичный участок времени, остается постоянным для всего рассматриваемого периода.

На практике часто встречаются потоки событий, которые (по край­ней мере, на ограниченном участке времени) могут рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов, поступающих на теле­фонную станцию, скажем, на интервале от 12 до 13 часов может счи­таться стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не будет стационарным (ночью интенсивность потока вызовов гораздо меньше, чем днем). Заметим, что так же обстоит дело и с большинством физи­ческих процессов, которые мы называем «стационарными» – в действи­тельности они стационарны только на ограниченном участке времени, а распространение этого участка до бесконечности – лишь удобный прием, применяемый в целях упрощения.

Отсутствие последействия в потоке означает, что события, образующие поток, появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток пассажи­ров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без после­действия, потому что причины, обусловившие приход отдельного пас­сажира именно в данный момент, а не в другой, как правило, не свя­заны с аналогичными причинами для других пассажиров. Если такая зависимость появляется, условие отсутствия последействия оказы­вается нарушенным.

Рассмотрим, например, поток грузовых поездов, идущих по же­лезнодорожной ветке. Если, по условиям безопасности, они не могут следовать один за другим чаще, чем через интервал времени τ0, то между событиями в потоке имеется зависимость, и условие отсутствия последействия нарушается. Если интервал τ0 мал по сравнению со средним интервалом между поездами , такое нарушение несуществен­но, но если интервал τ0 сравним с , его приходится учитывать.

Ординарность потока означает, что события в потоке приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток клиентов, направляющихся в парикмахерскую, практически можно считать ординарным, чего нельзя сказать о потоке клиентов, направляющихся в ЗАГС для регистрации брака. Поток атак истре­бителей по бомбардировщику, находящемуся над вражеской террито­рией, ординарен, если они атакуют цель поодиночке, и не ордина­рен, если они идут в атаку парами или тройками.

Если в неординарном потоке события происходят только парами, только тройками и т. д., то можно его рассматривать как ординарный «поток пар», «поток троек» и т. д. Несколько сложнее обстоит дело, если число событий, образующих «пакет» (группу одновременно при­ходящих событий) случайно. Тогда приходится наряду с потоком пакетов рассматривать случайную величину X – число событий в па­кете, и математическая модель потока становится более сложной: он представляет собой не только последовательность моментов появления пакетов, но и последовательность случайных величин – чисел собы­тий в каждом пакете (рис. 16), где х1, х2, …, xt, ... –значения, принятые случайной величиной X в первом, втором и т. д. пакетах. Пример неординарного потока событий со случайным числом событий в пакете – поток товарных вагонов, прибывающих на сортировочную станцию («пакетом» является поезд).

 

Рассмотрим поток событий, обладающий всеми тремя свойствами: стационарный, без последействия, ординарный. Такой поток назы­вается простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название «простейший» связано с тем, что математическое описание со­бытий, связанных с простейшими потоками, оказывается наиболее простым. Отметим, между прочим, что «самый простой», на первый взгляд, регулярный поток со строго постоянными интервалами между событиями отнюдь не является «простейшим» в вышеназванном смыс­ле слова: он обладает ярко выраженным последействием, так как мо­менты появления событий связаны между собой жесткой функцио­нальной зависимостью. Именно из-за этого последействия анализ про­цессов, связанных с регулярными потоками, оказывается, как правило, труднее, а не легче по сравнению с простейшими.

Простейший поток играет среди других потоков особую роль. А именно, можно доказать, что при суперпозиции (взаимном наложе­нии) достаточно большого числа потоков, обладающих последействием (лишь бы они были стационарны и ординарны), образуется суммарный поток, который можно считать простейшим, и тем точнее, чем большее число потоков складывается.

Если поток событий не имеет последействия, ординарен, но не стационарен, он называется нестационарным пуассо­новским потоком. В таком потоке интенсивность λ (среднее число событий в единицу времени) зависит от времени:

λ = λ(t),


тогда как для простейшего потока

λ = const.

Пуассоновский поток событий (как стационарный, так и неста­ционарный) тесно связан с известным распределением Пуас­сона. А именно, число событий потока, попадающих на любой участок, распределено по закону Пуассона.

 

Поясним, что это означает. Рассмотрим на оси 0t, где наблюдается поток событий, некоторый участок времени длины τ (см. рис 17), начинающийся в момент t0 и заканчивающийся в момент t0 + τ. Не­трудно доказать (доказательство дается во всех курсах теории ве­роятностей), что вероятность попадания на этот участок ровно m событий выражается формулой:

(m=0, 1, …), (4.1)

где а – среднее число событий, приходящееся на участок τ.

Для стационарного (простейшего) пуассоновского потока величи­на а равна интенсивности потока, умноженной на длину интервала:

а = λτ,

т. е. не зависит от того , где на оси 0t взят участок τ. Для нестацио­нарного пуассоновского потока величина а выражается формулой:

и, значит, зависит от того, в какой точке t0 начинается участок τ.

Рассмотрим на оси 0t простейший поток событий с интенсивностью λ (рис. 18). Нас будет интересовать интервал времени Т между соседними событиями в этом потоке. Очевидно, Т есть величина случай­ная; найдем ее закон распределения. Сначала найдем функцию рас­пределения:

F(t)=P(T < t),

т. е. вероятность того, что величина Т примет значение, меньшее, чем t.


Отложим от начала интервала Т (точки t) отрезок t и найдем вероят­ность того, что интервал Т будет меньше t. Для этого нужно, чтобы на участок длины t, примыкающий к точке t0, попало хотя бы одно событие потока. Вычислим вероятность этого F(t) через вероятность противоположного события (на участок t не попадет ни одного события потока):

F(t) = 1 – P0

 

 

Вероятность Р0 найдем по формуле (4.1), полагая m = 0:

,

откуда функция распределения величины Т будет:

F(t) = 1 – eλt (t > 0) (4.2)

Чтобы найти плотность распределения f(t) случайной величины Т, продифференцируем выражение (4.2) по t:

f(t) = λeλt (t > 0) (4.3)

Закон распределения с плотностью (4.3) называется показа­тельным (или экспоненциальным). График его имеет вид, пред­ставленный на рис.19. Величина λ называется параметром показательного закона.

В заключении выведем выражение для так называемого «элемента вероятности появления события».

Рассмотри на оси 0t простейший поток событий с интенсивностью l и элементарный участок Dt, прилежащий к точке t (рис. 20).

Найдем вероятность того, что на участке Dt появится какое-то событие потока, т.е. участок не будет «пуст». Так как поток ординарен, вероятностью появления на участке Dt более чем одного события можно пренебречь. Обозначим P0(Dt) вероятность того, что на участке Dt не будет события, а P1(Dt) – вероятность того, что на нем появится одно событие. В силу ординарности потока

P1(Dt)» 1 P0(Dt),

а вероятность P0(Dt) вычисляем по формуле (4.1):

,

откуда

P1(Dt)» 1 .

Разлагая в ряд по степеням lDt и пренебрегая величинами высшего порядка малости, получим:

P1(Dt)» 1 – (1 – lDt).

Отсюда

P1(Dt)» lDt, (4.7)

т.е. вероятность появления на элементарном участке времени Dt какого-то события приближенно равна lDt, где l – интенсивность потока. Эту вероятность будем называть «элементом вероятности появления события».

Очевидно, что такая же формула будет справедлива и для нестационарного пуассоновского потока, с той разницей, что величину l нужно брать равной ее значению в той точке t, к которой примыкает участок Dt:

P1(Dt)» l(t)Dt.









ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2021 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.