|
|
ПРОЦЕСС «ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ» ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8
В предыдущем параграфе мы убедились, что зная размеченный граф состояний системы, можно сразу написать алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний. Таким образом, если две непрерывные цепи Маркова имеют одинаковые графы состояний и различаются только значениями интенсивностей λ ij, то нет надобности находить предельные вероятности состояний для каждого из графов в отдельности: достаточно составить и решить в буквенном виде уравнения для одного из них, а затем подставить вместо λ ij, соответствующие значения. Для многих часто встречающихся форм графов линейные уравнения легко решаются в буквенном виде.
Рис. 29
В данном параграфе мы познакомимся с одной очень типичной схемой непрерывных марковских цепей – так называемой «схемой гибели и размножения»[1]. Марковская непрерывная цепь называется «процессом гибели и размножения», если ее граф состояний имеет вид, представленный на рис.29, т. е. все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S2,..., Sn–1) связано прямой и обратной связью с каждым из соседних состояний, а крайние состояния (S1, Sn) – только с одним соседним состоянием. Пример 1. Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать); отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Состояния системы нумеруем по числу неисправных узлов: S0 – все три узла исправны; S1 – один узел отказал (восстанавливается), два исправны; S2 – два узла восстанавливаются, один исправен; S3 – все три узла восстанавливаются. Граф состояний показан на рис.30. Из графа видно, что процесс, протекающий в системе, представляет собой процесс «гибели и размножения».
Рис. 30 Схема гибели и размножения очень часто встречается в самых разнообразных практических задачах; поэтому имеет смысл заранее рассмотреть эту схему в общем виде и решить соответствующую систему алгебраических уравнений с тем, чтобы в дальнейшем, встречаясь с конкретными процессами, протекающими по такой схеме, не решать задачу каждый раз заново, а пользоваться уже готовым решением. Итак, рассмотрим случайный процесс гибели и размножения с графом состояний, представленным на рис.31
Рис. 31 Напишем алгебраические уравнения для вероятностей состояний. Для первого состояния S1 имеем: λ 12 p1 = λ 21 p2 (7.1)
Для второго состояния S2 суммы членов, соответствующих входящим и выходящим стрелкам, равны: λ 23 p2 + λ 21 p2 = λ 32 p3 + λ 12 p1 Но, в силу (7.1), можно сократить справа и слева равные друг другу члены и; получим: λ 23 p2 = λ 32 p3 и далее, совершенно аналогично, λ 34 p3 = λ 43 p4 ......... Одним словом, для схемы гибели и размножения члены, соответствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой: λk -1,k p k -1 = λk,,k -1pk (7.2)
где k принимает все значения от 2 до n. Итак, предельные вероятности состояний р1, р2,..., рn в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям: λ 12 p1 = λ 21 p2 λ 23 p2 = λ 32 p3 λ 34 p3 = λ 43 p4 ........... (7.3) λk -1,k p k -1 = λk,,k -1pk ........... λn -1,n p n -1 = λn,,n -1pn
и нормировочному условию: р1+ р2 +... + рn = l (7.4) Будем решать эту систему следующим образом: из первого уравнения (7.3) выразим р2:
Из второго, с учетом (7.5), получим:
Из третьего, с учетом (7.6):
и вообще
Эта формула справедлива для любого k от 2 до n. Обратим внимание на ее структуру. В числителе стоит произведение всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) λ ij, стоящих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в состояние S k; в знаменателе – произведение всех интенсивностей λ ij, стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки, с начала и вплоть до стрелки, исходящей из состояния Sk. При k = n в числителе будет стоять произведение интенсивностей λ ij, стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе – у всех стрелок, идущих справа налево Итак, все вероятности р1, р2,..., р n выражены через одну из их: p1. Подставим эти выражения в нормировочное условие: р1+ р2 +... + рn = l Получим:
откуда
Остальные вероятности выражаются через p1:
Таким образом, задача «гибели и размножения» решена в общем виде: найдены предельные вероятности состояний.
Пример 2. Найти предельные вероятности состояний для процесса гибели и размножения, граф которого показан на рис. 32.
Рис. 32 Решение. По формулам (7.8) и (7.9) имеем:
Пример 3. Прибор состоит из трех узлов; поток отказов – простейший, среднее время безотказной работы каждого узла равно Решение. Перечень состояний системы и граф состояний уже приводились в примере 1 данного параграфа. Разметим этот граф, т. е. проставим у каждой стрелки соответствующую интенсивность λ ij (см. рис. 33.).
Рис. 33. Так как поток отказов каждого узла – простейший, то промежуток времени между отказами в этом потоке распределен по показательному закону с параметром
Если система находится в состоянии S1, то работают два узла; общий поток отказов имеет интенсивность: По стрелкам влево систему переводят ремонты (восстановления). Среднее время восстановления узла равно Пользуясь полученным выше общим решением задачи гибели и размножения, имеем (ставя р0 вместо р1):
Зададимся конкретными значениями
Средняя производительность прибора в установившемся режиме:
[1] Происхождение термина «схема гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается процесс изменения численности популяции   ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
(7.5)
(7.6)
(7.7)
. (7.8)
(7.9)
. Отказавший узел сразу же начинает ремонтироваться; среднее время ремонта (восстановления) узла равно 
; закон распределения этого времени показательный (поток восстановлений простейший). Найти среднюю производительность прибора, если при трех работающих узлах она равна 100%, при двух – 50%, а при одном и менее – прибор вообще не работает.
, где 
По стрелкам вправо систему переводят отказы. Если система находится в состоянии S0, то работают три узла; каждый из них подвергается потоку отказов с интенсивностью 
; значит, поток отказов, действующий на всю систему, в три раза более интенсивен: 
, Аналогично 
.
,, на два узла – 
, на три узла – 
.
= 0,5 и 
номинала.