Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







ПРОЦЕСС «ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ»





 

В предыдущем параграфе мы убедились, что зная размеченный граф состояний системы, можно сразу написать алгебраические уравне­ния для предельных вероятностей состояний. Таким образом, если две непрерывные цепи Маркова имеют одинаковые графы состояний и раз­личаются только значениями интенсивностей λij, то нет надобности находить предельные вероятности состояний для каждого из графов в от­дельности: достаточно составить и решить в буквенном виде уравнения для одного из них, а затем подставить вместо λij, соответствующие зна­чения. Для многих часто встречающихся форм графов линейные урав­нения легко решаются в буквенном виде.

Рис. 29

 

В данном параграфе мы познакомимся с одной очень типичной схемой непрерывных марковских цепей – так называемой «схемой гибели и размножения»[1].

Марковская непрерывная цепь называется «процессом гибели и размножения», если ее граф состояний имеет вид, представленный на рис.29, т. е. все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в кото­рой каждое из средних состояний (S2, ..., Sn–1) связано прямой и об­ратной связью с каждым из соседних состояний, а крайние состояния (S1, Sn) – только с одним соседним состоянием.

Пример 1. Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать); отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Состояния систе­мы нумеруем по числу неисправных узлов:

S0 – все три узла исправны;

S1 – один узел отказал (восстанавливается), два исправны;

S2 – два узла восстанавливаются, один исправен;

S3 – все три узла восстанавливаются.

Граф состояний показан на рис.30. Из графа видно, что про­цесс, протекающий в системе, представляет собой процесс «гибели и размножения».



Рис. 30

Схема гибели и размножения очень часто встречается в самых раз­нообразных практических задачах; поэтому имеет смысл заранее рас­смотреть эту схему в общем виде и решить соответствующую систему алгебраических уравнений с тем, чтобы в дальнейшем, встречаясь с кон­кретными процессами, протекающими по такой схеме, не решать зада­чу каждый раз заново, а пользоваться уже готовым решением.

Итак, рассмотрим случайный процесс гибели и размножения с гра­фом состояний, представленным на рис.31

Рис. 31

Напишем алгебраические уравнения для вероятностей состояний. Для первого состояния S1 имеем:

λ12 p1 = λ21 p2 (7.1)

 

Для второго состояния S2 суммы членов, соответствующих входя­щим и выходящим стрелкам, равны:

λ23 p2 + λ21 p2 = λ32 p3 + λ12 p1

Но, в силу (7.1), можно сократить справа и слева равные друг дру­гу члены и; получим:

λ23 p2 = λ32 p3

и далее, совершенно аналогично,

λ34 p3 = λ43 p4

. . . . . . . . .

Одним словом, для схемы гибели и размножения члены, соответ­ствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой:

λk -1,k pk -1 = λk,,k -1pk (7.2)

 

где k принимает все значения от 2 до n.

Итак, предельные вероятности состояний р1, р2, ..., рn в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям:

λ12 p1 = λ21 p2

λ23 p2 = λ32 p3

λ34 p3 = λ43 p4

. . . . . . . . . . . (7.3)

λk -1,k pk -1 = λk,,k -1pk

. . . . . . . . . . .

λn -1,n pn -1 = λn,,n -1pn

 

и нормировочному условию:

р1+ р2 + ... + рn = l (7.4)

Будем решать эту систему следующим образом: из первого урав­нения (7.3) выразим р2:

(7.5)

Из второго, с учетом (7.5), получим:

(7.6)

Из третьего, с учетом (7.6):

и вообще

(7.7)

Эта формула справедлива для любого k от 2 до n.

Обратим внимание на ее структуру. В числителе стоит произведе­ние всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) λij, стоя­щих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в состояние Sk; в знаменателе – произве­дение всех интенсивностей λij, стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки, с начала и вплоть до стрелки, исходящей из состояния Sk. При k=n в числителе будет стоять произведение интен­сивностей λij, стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе – у всех стрелок, идущих справа налево

Итак, все вероятности р1, р2, ..., рn выражены через одну из их: p1. Подставим эти выражения в нормировочное условие: р1+ р2 + ... + рn = l Получим:

откуда

. (7.8)

Остальные вероятности выражаются через p1:

(7.9)

Таким образом, задача «гибели и размножения» решена в общем виде: найдены предельные вероятности состояний.

 

Пример 2. Найти предельные вероятности состояний для процесса гибели и размножения, граф которого показан на рис. 32.

Рис. 32

Решение. По формулам (7.8) и (7.9) имеем:

Пример 3. Прибор состоит из трех узлов; поток отказов – простейший, среднее время безотказной работы каждого узла равно . Отказавший узел сра­зу же начинает ремонтироваться; среднее время ремонта (восстановления) узла равно ; закон распределения этого времени показательный (поток восста­новлений простейший). Найти среднюю производительность прибора, если при трех работающих узлах она равна 100%, при двух – 50%, а при одном и менее – прибор вообще не работает.

Решение. Перечень состояний системы и граф состояний уже приводились в примере 1 данного параграфа. Разметим этот граф, т. е. проставим у каждой стрелки соответствующую интенсивность λij (см. рис. 33.).

Рис. 33.

Так как поток отказов каждого узла – простейший, то промежуток вре­мени между отказами в этом потоке распределен по показательному закону с па­раметром , где –среднее время безотказной работы узла.

По стрелкам вправо систему переводят отказы. Если система на­ходится в состоянии S0, то работают три узла; каждый из них подвергается по­току отказов с интенсивностью ; значит, поток отказов, действующий на всю систему, в три раза более интенсивен:

Если система находится в состоянии S1, то работают два узла; общий поток отказов имеет интенсивность: , Аналогично .

По стрелкам влево систему переводят ремонты (восстановления). Среднее время восстановления узла равно , значит, интенсивность потока вос­становлений, действующего на один восстанавливаемый узел, равна ,, на два узла – , на три узла – .

Пользуясь полученным выше общим решением задачи гибели и размноже­ния, имеем (ставя р0 вместо р1):

Зададимся конкретными значениями = 10 (час), = 5 (час). Тогда = 0,5 и

 

Средняя производительность прибора в установившемся режиме:

номинала.

 


[1] Происхождение термина «схема гибели и размножения» ведет начало от биоло­гических задач, где подобной схемой описывается процесс изменения числен­ности популяции









Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2021 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.