Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Модель границы производственных возможностей





Введение

Коротко о типах моделей. Опишем некоторые типы моделей, не пытаясь претендовать на сколько-нибудь полную классифи­кацию существующих моделей. Целью описания типов моделей является лишь ознакомление учащихся с существующим положением вещей.

Физические модели. Физические модели представляют собой уменьшенные или увеличенные копии реальных объектов. Чаще всего создают уменьшенные копии реальных объектов в определенном масштабе, т. е. с соблюдением всех пропорций, например 1:100, 1:35 и т. д.

Наиболее известным примером физической модели является ко­пия конструируемого самолета, выполненная с полным соблюдени­ем пропорций, скажем 1:50. На одном из этапов разработки летательного аппарата новой конструкции возникает необходимость проверить его основные аэродинамические параметры. С этой целью подготовлен­ную копию продувают в аэродинамической трубе. Аэродинамические трубы бывают различных размеров, большие, как например в хорошо известном ЦАГИ (Центральный аэрогидродинамический институт), и небольшие, имеющиеся например в университетах. Постройка большой аэродинамической трубы весьма дорогое удовольствие, да и эксплуатация ее обходится весьма дорого. Достаточно представить себе затраты электроэнергии на работу ее вентиляторов, создающих поток воздуха. Зато в нее можно поместить целиком летательный аппарат в натуральную величину. Небольшие аэродинамические трубы значительно дешевле в постройке и эксплуатации, а это означает, что их можно строить в довольно больших количествах. Испытания модели, выполненной в определенном масштабе, дают возможность наблюдать обтекание этой модели воздушными потоками визуально и измерять силы, действующие на модель. Поскольку масштаб модели всегда известен, то, используя законы аэродинамики, можно описать поведение реального объекта в таких же условиях. Таким образом, на моделях отрабатываются основные черты будущего изделия. И лишь на заключительных этапах испытания проводятся в большой аэродинамической трубе на объекте реальных размеров, чтобы, как говорят, поставить последние штрихи. Выгодность та­кого подхода совершенно очевидна. И потому все ведущие самолето­строительные компании используют физические модели подобного рода при разработке каждого нового летательного аппарата. Говоря о летательных аппаратах, можно подразумевать и самолеты, и ракеты, и вертолеты и т. п.

Часто в аэродинамическую трубу помещают уменьшенные копии многоэтажных зданий, имитируя при этом ветровое воздействие на здание, характерное для той местности, где предполагается строительство.

Используют физические модели и кораблестроители. Соответственно для этого строится испытательный бассейн, в котором испытывают уменьшенные копии судов и изучают параметры взаимодействия изделия с окружающей средой в движении.

 

Аналоговые модели. Аналоговыми моделями называют модели, которые ведут себя как реальный объект, но не похожи на него.

Вот два характерных примера аналоговых моделей.

Пример 1.1 График, иллюстрирующий соотношения между за­траченными усилиями и результатами, является аналоговой моде­лью. График на рис. 1.1 показывает, как количество времени, отведен­ное студентом на подготовку к экзамену, влияет на его результат.

 
Рис. 1.1

Пример 1.2 Предположим, что нужно найти наиболее экономич­ный способ для регулярных известных поставок товаров в три го­рода, построив для этого только один склад. Основное требование: место для склада должно быть таким, чтобы полные транспортные расходы были наименьшими (считается, что транспортная работа при перевозке равна произведению расстояния от склада до пункта на­значения на общий вес перевозимых товаров и измеряется в тонно-километрах).

 

Рис. 1.2

 

Наклеим карту местности на лист фанеры. Затем в месте нахо­ждения каждого населенного пункта подвесим грузики, пропорциональные ­ запро­сам товаров в этот пункт (рис. 1.2). Найдем точку центра тяжести этой конструкции, т. е. точку, продев нитку через которую и подвесив систему, последняя будет находиться в равновесии. Эта точка и определит то место, где при размещении склада транспортная работа при распределении товаров будет минимальна.

Замечание. Может оказаться, что найденная таким образом точка окажется на местности, где нет дорог, или даже строительство дорог там нецелесообразно или невозможно (например, точка попала на место болота и строительство дорог и склада окажется дороже потерь от неоптимального выбора места расположения склада). Если строительство дорог возможно, то этот метод не учитывает стоимость дорог, которые придется построить заново.

Математические модели. Так называют модели, в которых для описания свойств и харак­теристик объекта или события используются математические символы и методы. Если некоторую проблему удается сформулировать на языке формул, то она сильно упрощается. Математический подход прост еще и потому, что он подчиняется вполне определенным жестким правилам, кото­рые нельзя отменить указом или иным способом. Сложность нашей жизни как раз и состоит в том, что многое, что в ней случается, нередко свободно от пут условностей.

Как правило, для построения математической модели выбирают характерные черты явления, нечто главное, не рассматривая второстепенные с точки зрения построения модели явления. Можно сказать, что рассматриваемая ситуация упрощается, т. е. математика имеет дело с упрощенным описанием явлений. По существу, любая формула (или совокупность формул) представля­ет собой определенный этап в построении математической модели. Опыт показывает, что построить модель (написать уравнение) до­вольно легко. Трудно построить модель таким образом, чтобы суметь передать суть изучаемого явления в этой модельной и, следовательно, упрощен­ной форме

Для нахождения приемлемого или оптимального решения зада­чи полезно знать, в чем она состоит. Как ни просто и прозрачно данное утверждение, чересчур многие <... > игнорируют оче­видное (Р. Шеннон).

Вернемся к задаче, представленной на рис. 1.2. Эту задачу можно сформулировать на языке математики. Если ввести прямоугольную систему координат (на подробных топографических картах сетка прямоугольных координат уже нанесена), то можно каждому населенному пункту на карте местности сопоставить соответствующие координаты Xi и Yi. Обозначим через Qi величины запросов товаров в эти населенные пункты. Через Xс и Yс обозначим координаты предполагаемого положения склада. Формула для нахождения центра тяжести хорошо известна из курса физики и для принятых обозначений в нашем случае для двух координат имеем:

 

Xс = Yс =

 

Можно говорить, что это – математическая модель выбора местоположения распределительного склада.

Итак, говоря о математических моделях, мы рассматриваем модели, в которые входят изменяющиеся во времени величины, уделяя основное внимание простейшим из них. Дело в том, что сами модельные уравнения (модели) строятся на основе простых и зачастую почти очевидных соображений. А вот выявить степень их адекватности описываемым ими обстоятельствам в какой-то мере позволяет анализ предлагаемых уравнений. Более подробные рассуждения о моделях приводятся ниже, в главе 1.4.1.

 

 

Вопросы для самопроверки

1. Предположим, что вы живете в одиночестве на острове. (а). Какие из трех экономических проблем вам не пришлось бы решать? (б). Почему не возникает никаких экономических проблем, когда люди имеют все, что хотят? (в). Как вы думаете, действительно ли неограниченны человеческие потребности или настанет день, когда мы будем производить столько, что каждый сможет иметь все и в неограниченном количестве?

2. Как проблемы «что», «как» и «для кого»решаются в вашей семье?

3. Представьте экономику с пятью работниками, каждый из которых за день может произвести либо четыре торта, либо три рубашки. (а). Начертите границу производственных возможностей этого общества. (б). Сколько тортов могло бы потребить такое общество, если бы оно было готово обходиться без рубашек. (в). Отметьте точки на вашем графике, соответствующие неэффективным методам производства. (г). Объясните, почему точки вне границы графика являются недостижимыми?

4. Пусть имеется экономика такая же, как в задаче 1.3. Однако для производства рубашек изобретен новый метод, благодаря которому один работник может производить пять рубашек в день. Улучшений в производстве тортов не произошло. (а). Покажите новую границу производственных возможностей общества. (б). Как она соотносится с предыдущей границей? (в). Если потребители предпочитают иметь и торты и рубашки, каков вероятнее всего будет общественный выбор относительно того, что производить?

5. Экономисты обычно говорят, что не существует такой вещи, как бесплатный обед. Но если общество работает неэффективно, то существует возможность производить больше товаров всех видов. В этом смысле в такой экономике есть место «бесплатным обедам» − не нужно ни от чего отказываться, чтобы произвести лишний «обед». Объясните, когда нет места бесплатным обедам и почему?

 

Управление запасами

Основная модель

Важнейшую роль в наших рассуждениях будет играть функция из­менения запаса (рис. 3.1). Это связь между количеством единиц товара на складе (обозначим его через Q) и временем t. Считаем, что имеется один вид товара и спрос на товар равномерен во времени. Тогда на графике изменения запаса этот процесс будет изображаться прямой линией с отрицательным коэффициентом наклона. Мы будем считать возможным мгновенное по­полнение запаса. Такой процесс на графике будет изображаться вертикальной прямой.

Если на товар имеется спрос, то функция изменения запаса f(t) убывает. Если товар, наоборот, завозят на склад, то эта функция возрастает (рис. 3.1). Пусть в начальный момент времени запас имеет максимальное значение, равное q. При равномерном спросе он будет полностью израсходован через некоторое время τ.

Затраты, связанные с запасами, можно разделить на три части.

а). Стоимость товара C1.

б). Организационные издержки C2. Это расходы, связанные с офор­млением товара, его доставкой, разгрузкой, учетными операциями, зарплатой работникам склада, занятым обработкой заказа и т. д.

 
 
Q


τ
f(t)
q
t

Рис. 3.1

 

в). Издержки на хранение товара C3. Это затраты на аренду склада, стоимость содержания складских помещений (охрана, освещение, отопление), страховые платежи, амортизацию в процессе хранения и т. д.

Рассмотрим основные величины и предположения относительно

 

них, принятые в рамках основной модели. Мы будем в основном ис­пользовать в качестве единицы измерения денежных средств услов­ные единицы (УЕ), это могут быть рубли, доллары и т. п.; в качестве единицы измерения времени — год.

1. Цена единицы товарас УЕ. Цена постоянна, при этом рассматрива­ется один вид товара.

2. Интенсивность спроса или годовая потребностьd единиц товара в год. Будем считать, что спрос постоянный и непрерывный.

3. Организационные издержкиs УЕ за одну партию товара. Бу­дем считать, что организационные издержки не зависят от размера поставки, т. е. от количества единиц товара в одной партии.

4. Издержки на хранение запасаh УЕ на единицу товара в год. Будем считать эти издержки постоянными.

5. Размер одной партии товара постоянен — q единиц. Партия поступает мгновенно в тот момент, когда возникает дефицит, т. е.
когда запас на складе становится равным нулю.

Все эти предположения соответствуют процессу на рис.3.1. Он состоит из повторя­ющихся циклов пополнения запаса между двумя соседними дефи­цитами. Параметры с, d, s, h считаются заданными. Задача управления запасами состоит в выборе параметра q таким образом, чтобы мини­мизировать годовые затраты.

Для решения сформулированной задачи надо прежде всего выра­зить эти затраты через параметры с, d, s, h, q.

1. Поскольку годовая интенсивность спроса равна d, а цена еди­ницы товара — с, то общая стоимость товара в год равна

 

cd.

 

2. Поскольку в одной партии qединиц товара, а годовой спрос равен d,то число поставок равно d/q. В течение года организацион­ные издержки равны

 

(d/q) · s.

 

3. Средний уровень запаса равен отношению площади под гра­фиком за цикл к продолжительности цикла. Этот средний уровень равен q / 2(на рис. 3.1 обозначен пунктиром). Поскольку годовые из­держки на хранение единицы товара равны h, то общие издержки на хранение составляют

 

(q / 2) · h.

 

   
Рис. 3.2

 

Таким образом, общие издержки Свычисляются по формуле

 

C = C1+C2+C3 = cd + + . (3.1)

 

Напомним еще раз, что в рамках модели параметры с, d, s, h счи­таются заданными и требуется найти такое число q *, чтобы функция С = C(q)принимала наименьшее значение на множестве q >0 имен­но в точке q *.

График функции С = C(q)показан на рис. 3.2. Его нетрудно получить, рассмотрев выражение (3.1). В самом деле, второй член этого выражения представляет собой гиперболу, т. е. с ростом q будет убывать. Третий член с ростом q будет линейно расти. Суммируя оба эти графика по точкам нетрудно получить зависимость, как на рис.3.2. Первый член выражения от q не зависит, а лишь переместит результирующий график несколько выше.

Для нахождения точки q * минимума функции С = C(q ) найдем ее производную (с, d, s, h — фиксированные числа):

 

C′(q) = (cd)′ + ()′ + ()′ = − + .

 

Приравнивая C'(q) к нулю, получаем:

 

+ = 0.

 

Отсюда можно найти q *:

 

q*= . (3.2)

 

Полученная формула называется формулой оптимального размера заказа или экономически обоснованного размера заказа (Economic Order Quantity, EOQ). Часто эту формулу называют формулой Уилсона или Вильсона (Wilson). В некоторых источниках формулу называют формулой Харриса (Harris).

Примечание. Надо отметить, что модель управления запасами, приводящая к «формуле квадратного корня» для оптимального размера заказа, предложена Ф. Харрисом в 1913 г., но получила известность после публикации широко известной работы Р. Уилсона в 1934 г., а потому часто называется моделью Вильсона. Формула Харриса была выведена для оптимальной партии изделий, запускаемых в производство (optimal batch) и выглядит следующим образом:

 

,

 

где x0 — размер оптимальной партии; D — общая (годовая) потребность в деталях данного вида; s — расходы на подготовку оборудования к новой партии; q — расходы на хранение одной детали.

Несоответствие заказываемого размера партии оптимальному значению приводит к увеличению издержек на содержание запаса и организацию поставок. Покажем, что это так. При q = q * из (3.1) имеем:

 

C – C1 = C – cd = + = .

Предположим, что вместо оптимального размера партии была заказана партия, равная 2 q *, тогда из уравнения издержек (3.1) следует:

 

C′ – C1′ = + = = (C – C1).

 

Таким образом, заказ партии товара 2 q * (вместо q *) приведет к увеличению общих издержек на содержание запасов и организацию поставки на 25 %. Аналогичная картина наблюдается в случае заказа партии товара меньшей, чем q *.

Пример 3.1. Пусть интенсивность равномерного спроса состав­ляет 1200 единиц товара в год. Организационные издержки равны 8 УЕ, издержки на хранение — 3 УЕ на единицу товара в год, цена товара — 5,5 УЕ.

Определить оптимальный размер партии предполагая, что система подчиняется основной модели.

Решение. Условие, переписанное в терминах формулы Уилсона имеет вид:

d = 1200, s = 8, h = 3, с = 5,5.

Подставляя в формулу, получаем:

q * = = = .

Замечание. Найдя оптимальный размер заказа, можно определить оптимальное число поставок за год n * и соответствующую продол­жительность цикла изменения запаса t *:

n * = d / q = 1200 / 80 = 15,

t * = 365 / n * = 365 / 15 24 дня.

 

 

Вопросы и задачи для самопроверки

1.В течение 10 дней наблюдалось следующее изменение запасов:

− первоначальный запас равен нулю, в последующие трое суток товары поступали на склад равномерно и непрерывно по 200 шт. в день, расходования товаров не было;

− в следующие четыре дня спрос на имеющиеся в запасе товары был равномерным и непрерывным и равнялся 150 шт. в день, запасы не пополнялись;

− в следующие три дня спрос на товары изменился и составил 200 шт. в день, для пополнения запасов ежедневно на склад поставлялось 350 шт. изделий (поставки на склад и со склада происходили равномерно и непрерывно).

Нарисуйте график изменения запаса для десятидневного периода и определите уровень запасов на складе к концу этого периода. Вычислите средний уровень запаса для всего периода.

2. Известно, что издержки выполнения заказа составляют 2 У.Е., количество реализуемого за год товара – 4225 штук, закупочная цена единицы товара – 5 У.Е., издержки хранения единицы товара – 20 % от закупочной цены. Определить оптимальный размер заказа.

3. Судостроительному предприятию требуется 35000 заклепок в год, которые оно расходует непрерывно и равномерно. Организационные издержки на одну поставку составляют 0,5 тыс. У.Е., цена одной заклепки – 10 У.Е.. Издержки на хранение одной заклепки оцениваются как 14 % от ее цены. Найти оптимальный размер партии поставки, оптимальное количество поставок в год и оптимальную продолжительность цикла.

4. Система управления запасами некоторого товара подчиняется основной модели. Ежегодный спрос на товар составляет 13000 единиц товара, издержки на организацию поставки составляют 10 У.Е. на партию, цена единицы товара – 30 У.Е., а издержки на ее хранение – 6,5 У.Е. в год. Найти оптимальный размер партии заказа, число поставок и продолжительность цикла.

5. Предприниматель имеет стабильный ежемесячный спрос на товар в размере 50 единиц. Товар он покупает у поставщика по 6 У.Е. за штуку, причем издержки на оформление поставки и другие подготовительные операции составляют в каждом случае 10 У.Е.. Как часто предприниматель должен пополнять свой запас товаров, если издержки на хранение единицы товара равны 20 % от цены товара в год.

6. Интенсивность равномерного спроса на товар составляет 2500 ед. в год. Организационные издержки на поставку одной партии – 20 тыс. У.Е., цена единицы товара – 1 тыс. У.Е., издержки содержания запаса – 100 У.Е. за единицу товара в год. Найти оптимальный размер партии поставки, предполагая, что система описывается основной моделью.

7. Известно, что издержки выполнения заказа равны 10 У.Е., годовой спрос на товар – 1470 т., оптимальный размер партии поставки – 35 т. Определить годовые затраты на хранение единицы товара.

8. Интенсивность спроса в модели производственных поставок составляет шестую часть производства, которая равна 18000 ед. товара в год. Организационные издержки для одной партии равны 150 У.Е., а издержки хранения единицы товара в течение года – 3 У.Е.. Определить оптимальный размер партии.

10. Система управления запасами описывается моделью производственных поставок. Спрос на товар составляет 1500 шт. в год, цена – 200 руб. за единицу товара, издержки на хранение товара в течение года – 20 руб., организационные издержки – 10000 руб. В течение года может быть произведено 4500 шт. товара при полной загрузке производственных мощностей. Нарисуйте график изменения запасов, вычислите оптимальный размер партии поставки, продолжительность цикла и средний уровень запасов.

11. Интенсивность равномерного спроса составляет 6050 единиц товара в год. Организационные из­держки равны 8 руб., издержки на хранение — 2 руб. на единицу товара в год. Цена единицы товара равна 10 руб., однако, если размер партии не менее 1000 единиц, цена снижается до 7 руб. Найти оптимальный размер партии.

 

Распределение ресурсов

 

Вопросы для самопроверки

1.Пять Потребителей подали заявки в размере 4, 9, 11, 6 и 9. Имеющийся в распоряжении Центра ресурс составля­ет 24. Как должен быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом прямых приоритетов?

2. Имеется пять Потребителей, приоритеты ко­торых определяются числами 5, 8, 10, 17, 8. Ресурс Центра соста­вляет 80. Определить равновесные стратегии (заявки) Потребите­лей, если ресурс распределяется в соответствии с механизмом обрат­ных приоритетов.

3. Имеется шесть Потребителей, подавших заявки в размере 12, 14, 11, 10, 9,15 и сообщивших Центру соответственно сле­дующие показатели эффекта: 33, 37, 27, 40, 22, 26. Каким должно быть распределение ресурса объемом 65 в соответствии с конкурс­ным механизмом?

4. Восемь Потребителей подали Центру свои заявки. Они таковы: 11, 4, 6, 2, 8, 7, 12, 14. Центр обладает ресурсом R = 50. Требуется распределить этот ресурс в соответствии с механизмом открытого управления.

5.Предположим, что 5 экспертов сообщили следующие оценки из промежутка [40,80]: 45, 70, 44, 75, 65. Определить итоговое реше­ние в соответствии с описанным механизмом. Изменится ли результат, если пятый эксперт назовет вместо 65 оценку 55?

6.Предположим, что 8 экспертов сообщили следующие оценки из промежутка [40,80]: 45, 70, 44, 75, 65, 80, 66, 60. Определить итоговое реше­ние в соответствии с описанным механизмом. Изменится ли результат, если пятый эксперт назовет вместо 65 оценку 60? А что будет, если второй эксперт назовет вместо 70 оценку 80?

 

Решение.

I = x0 · k · p / 100 = 140 · 0,5 · 10 /100 = 7 (тыс. руб.)

xk = x0 + I = 140 + 7 = 147 (тыс. руб.)

Сумма процентов составляет 7 тыс. руб., сумма накопленного долга – 147 тыс. руб.

Начисление простых процентов. Начисление простых процентов обычно используется в двух случаях: при заключении краткосрочных контрактов (предоставлении краткосрочных кредитов и т. п.), срок действия которых не превышает одного года, и когда проценты не присоединяются к сумме долга и выплачиваются периодически.

Ставка процентов обычно устанавливается на год. На практике же продолжительность краткосрочной операции обычно меньше года. В этом случае срок проведения операции корректируется следующим образом: величину k выражают в виде дроби

 

k = t / K, (5.4)

 

где k – срок ссуды в долях года; K – число дней и году (временная база); t - срок ссуды в днях.

В таком случае наращенная сумма вычисляется по формуле

 

xk = x0 (1+ t∙p / K∙100) = x0 (1+ i∙t / K). (5.5)

 

На практике применяются несколько вариантов расчета процентов, различающихся временной базой K и способом измерения срока пользования ссудой.

В процессе анализа в качестве временной базы К часто удобно использовать условный или финансовый год, состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). Исчисляемые по такой базе проценты называют обыкновенными, или коммерческими процентами. Точные проценты получают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366 (если год високосный).

Число дней пользования ссудой также может быть точным или приближенным.

В первом случае вычисляется фактическое количество дней между двумя датами, во втором – продолжительность ссуды определяют по количеству месяцев и дней ссуды, считая все месяцы равными и содержащими по 30 дней. В обоих случаях дата выдачи и дата погашения ссуды считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно подсчитать самостоятельно, либо прямым подсчетом, либо при помощи делового календаря, содержащего порядковые номера недель в году, или с помощью специальной таблицы, в которой представлены порядковые номера дат в году (см. приложение 1).

Различные варианты временной базы и методов подсчета количества дней ссуды приводят к следующим применяемым на практике схемам расчета процентов:

· точные проценты с точным числом дней ссуды (британская схема 365/365, когда в году считается 365 дней, полугодие приравнивается к 182 дням и берется точная длительность месяцев). Используется в Великобритании, США, Португалии;

· обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская схема 365/360, год принимается равным 360 дням (финансовый год) и учитывается точная длительность месяцев), используется во Франции, Бельгии, Испании;

· обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская схема 360/360, считается, что в году 360 дней, а в каждом месяце 30 дней). Используется в Германии, России, США.

Обыкновенные проценты (360/360) более удобно использовать в аналитических расчетах. Этим объясняется популярность их применения на практике в большинстве развитых стран, включая США и государства континентальной Европы.

В России применяются как обыкновенные (360/360), так и точные проценты (365/365). В частности, точные проценты используются в официальных методиках ЦБР и МФ РФ для расчета доходности по государственным обязательствам. Обыкновенные проценты в России используются в основном при проведении операций с векселями.

Поскольку точное число дней ссуды, как правило, больше приближенного, проценты с точным числом дней обычно выше, чем с приближенным.

Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением времени ссуды не применяется.

Точное и приближенное число дней для обыкновенных процентов связаны следующими зависимостями:

 

p360 = 0,986301· p365; p365 = 1,013889· p360.

 

Пример 5.2. Найти точное и приближенное число дней между 5 марта и 21сентября.

Решение. По таблице в приложении 1 находим, что 21 сентября является 264-м днем года, а 5 марта – 64-м днем. Поэтому точное число дней будет:

 

264 – 64 = 200 (дней).

 

Приближенное количество дней определится следующим образом. Количество полных месяцев (по 30 дней в месяце) в заданном сроке равно 5. Имеем:

 

5 · 30 + (30 – 5) + 21 = 195 (дней).

 

Ответ: между 5 марта и 28 сентября точное количество дней - 200, приближенное – 196 дней.

Пример 5.3. Ссуда в размере 5000 руб. положена в банк под 10 % годовых с 7 апреля по 15 ноября следующего года (год не високосный). Определить тремя способами наращенную сумму. Какой вариант наращения выгоден банку, а какой – вкладчику?

Решение. Наращенную сумму найдем по формуле (5.5). Возможны три варианта расчета:

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды. По таблице в приложении: 7 апреля – это 97-й день года, 15 ноября – 319-й день. Точное количество дней, на которые положена ссуда в банк:

 

(365 – 97) + 319 = 587 (дней).

 

Временная база – 365 дней. Имеем:

 

x1 = 5000 (1+ 587 ∙ 10 / 365 ∙ 100) = 5804,11 (руб.)

 

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Точное количество дней – 587, временная база – 360 дней, тогда:

 

x1 = 5000 (1+ 587 ∙ 10 / 360 ∙ 100) = 5815,28 (руб.)

 

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Полных месяцев в сроке ссуды – 17. Приближенное количество дней:

18 · 30 + (30 – 7) + 15 = 578 (дней).

 

Временная база – 360 дней, тогда:

 

x1 = 5000 (1+ 578 ∙ 10 / 360 ∙ 100) = 5802,78 (руб.).

 

Следовательно, банку выгоден третий вариант, а вкладчику – второй.

 

Простые переменные ставки. Процентные ставки не всегда остаются неизменными во времени, иногда в кредитных соглашениях предусматриваются дискретно изменяющиеся процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы приобретает следующий вид:

 

xk = x0 (1+ k1 ∙ i1 + k2 ∙ i2 +…+ kn ∙ in) = x0 (1+ ), (5.6)

 

где x0 – первоначальная сумма (ссуда), n – количество периодов начислений, ii = pi / 100 – ставка простых процентов в периоде с номером i, i=1,2,… n, ki – продолжительность периода начисления процентов по ставке ii.

 

Пример 5.4. В договоре, рассчитанном на год, ставка простых процентов на 1 квартал установлена в размере 9,5 % годовых, а на каждый из последующих кварталов – на 0,5 % меньше, чем в предыдущем. Определить множитель наращения Кнар. за весь срок договора.

Решение. Множитель наращения Кнар. вычисляется по формуле (5.6);

 

Кнар. = 1+ = 1 + 0,25∙ 9,5 / 100 + 0,25∙ 9 / 100 + 0,25∙ 8,5 / 100 + 0,25∙ 8 / 100 = 1 + 0,25 (9,5+9+8,5+8)/100 = 1,0875.

 

Таким образом, множитель наращения равен 1,0875.

 

Реинвестирование по простым процентам. Сумма депозита, полученная в конце обозначенного периода вместе с начисленными на нее процентами, может быть вновь инвестирована под ту же или другую процентную ставку. Процесс реинвестирования может повторяться неоднократно в пределах расчетного срока N. В случае многократного инвестирования в краткосрочные депозиты и применения простой процентной ставки наращенная сумма для всего срока N находится по формуле

 

xk = x0 (1+ k1 ∙ i1)(1+ k2 ∙ i2)…(1+ kn ∙ in) = x0 ). (5.7)

 

где kt, t = 1,2…n – продолжительность последовательных периодов реинвестирования, связанных соотношением N = ; it, t = 1,2…n – ставки, по которым производится реинвестирование.

 

Пример 5.5. На сумму 150 тыс. руб. начисляются 10 % годовых. Проценты простые, точные (год не високосный). Определить наращенную сумму в двух случаях: если реинвестирование производится за 1 квартал ежемесячно и если реинвестирование не проводится.

Решение. Вычислим наращенную сумму при реинвестировании:

 

xk = 150 (1+ 0,1·31/365)(1+0,1·28/365)(1+ 0,1·31/365) = 153,729 (тыс. руб.).

 

Теперь определим наращенную сумму при отсутствии реинвестирования:

 

xk = 150 (1+ 0,1·90/365) = 153,699 (тыс. руб.).

 

Таким образом, легко видеть, что реинвестирование увеличивает наращенную сумму.

Дисконтирование и учет. На практике часто приходится решать задачу, обратную наращению процентов, когда по данной сумме xk, соответствующей моменту окончания финансовой операции, требуется найти исходную сумму x0. Расчет x0 по xk называют дисконтированием суммы xk. В зависимости от вида процентной ставки, при анализе краткосрочных финансовых операций применяют два метода дисконтирования – математическое и коммерческое

(т н банковский учет). В первом случае в качестве нормы приведения используют ставку i,применяемую при наращении. Во втором случае в роли нормы приведения выступает т н учетная ставка, для обозначения которой в дальнейшем будет использоваться символ d.

Величина x0, найденная по xk, называется современной величиной или текущей стоимостью суммы xk.

Проценты в виде разности D = xk x0 называются дисконтом или скидкой. Дисконт как скидка с конечной суммы долга может определяться через процентную ставку или в виде абсолютной величины.

Процесс начисления и удержания процентов вперед называют учетом. На практике используют два принципа расчета процентов: путем наращения суммы ссуды и устанавливая скидку с конечной суммы долга. Чаще всего фактор времени учитывается в финансовых контрактах именно с помощью дисконтирования. Величина x0 эквивалентна сумме xk в том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов эта величина в результате наращения станет равной xk. Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением. Однако понятие приведения несколько шире, чем дисконтирование. Приведение – это определение любой стоимостной величины на некоторый момент времени. Если некоторая сумма приводится к более ранней дате, чем текущая, то применяется дисконтирование, а если – к более поздней дате, то наращение. Схематически наращение и дисконтирование можно представить следующим образом:

 

НАСТОЯЩЕЕ   БУДУЩЕЕ
Исходная сумма Ставка






Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.