|
|
Погашение кредита. Балансовое равенство⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 11 При анализе договоров о погашении кредита между кредитором и заемщиком необходимо помнить о неравноценности денежных сумм, относящихся к разным моментам времени. При этом необходимо приведение величин этих сумм к одному и тому же моменту времени. Как правило, за такой момент выбирают момент выдачи ссуды или кредита. Иными словами, необходимо дисконтировать денежные величины, относящиеся к моментам погашения кредита, на момент выдачи этого кредита. Если кредит выдавался несколькими траншами, необходимо кроме того дисконтировать величины всех траншей после первого на момент выдачи первого транша кредита. Подход к решению задач подобного рода для случаев с начислением по ставкам простых и сложных процентов принципиально одинаков, разнятся только формулы для расчетов. Рассмотрим случаи, когда начисление производится по ставкам сложных процентов, т. е. когда кредиты выдаются на сроки больше года. Для решения задачи воспользуемся формулами (5.36) и (5.37):
x0 = xk / (1+ i) k = xk · (1+ i) −k = xk υ k, где υ k = 1 / (1+ i) k. (5.64)
Рассмотрим решение подобной задачи на примере. Пример 5.25. Предположим, что две стороны, кредитор и заемщик, договариваются о плане погашения кредита: кредит в 10 млн руб. берется на 7 лет при годовой ставке 10 % с условием, что через 3 года в счет погашения кредита будет внесено 5 млн руб., через год — 4 млн. руб., еще через год — 3 млн руб. и еще через год — 2 млн руб. Какая сумма должна быть внесена через 7 лет для полного погашения кредита?
Решение. Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, нужно пересчитать все суммы, о которых идет речь, на момент получения кредита. Пересчитать суммы y0= 10,0; у3= 5,0; y4 = 4,0; у5= 3,0; у6 = 2,0
означает дисконтировать их. В результате получим, согласно (5.64):
10,0; 5,0 ·1,1-3; 4,0 · 1,1 -4; 3,0 · 1,1 -5; 2,0 · 1,1 -6; у7 · 1,1 -7. Величина y7 находится из условия погашения кредита: 10,0 = 5,0 · 1,1 -3 + 4,0 · 1,1 -4 + 3,0 · 1,1 -5 + 2,0 · 1,1 -6 + у7 · 1,09 -7, (5.65)
откуда после несложных вычислений получаем, что
у7= 1 012 671 руб.
Тем самым при оговоренном порядке погашения кредита в седьмой год надо возвратить сумму 1 012 671 руб. Полная сумма, которая будет возвращена кредитору, составит:
5,0 + 4,0 + 3,0 + 2,0 + 1 012 671 = 15 012 671 (руб.)
Процент по кредиту, таким образом, равен 5 млн 012 тыс. 671 руб., т. е. почти половине взятой суммы. Рассмотрим другую схему погашения кредита. Здесь
y1 = y2 = y3 = y4 = y5 = y6 = 0.
В этом случае:
10,0 = y 7 · 1,1 −7. (5.66)
Откуда получаем искомый ответ:
y 7= 10,0 · 1,17 = 19 487 171 (руб.).
При таком порядке погашения процент по кредиту еще больше — 9 млн 487 тыс. 171руб. Большое распространение получила практика выплаты в счет погашения кредита каждый год одной и той же суммы. То есть: y 1= y 2 = yЗ = y4 = y5 = yб = y7 =y.
Как ее вычислить при той же взятой сумме и той же процентной ставке? Запишем условие погашения кредита с дисконтированными на момент выдачи кредита величинами. Имеем:
10,0 = y (1,1 -1 + 1,1 -2 + 1,1-3 + 1,1-4 + 1,1-5 + 1,1-6+ 1,1-7), (5.67) откуда
y = 2 054 055 руб.
А как будет выглядеть схема погашения кредита, если предположить наличие инфляции? Из рассмотренных вариантов легче всего рассуждать на примере, когда вся сумма выплачивается сразу в последний год, в нашем случае – в седьмой. Предположим, что ежегодная инфляция составляет 14 %. Запишем выражение (5.63):
xk = x0 (1 + h) k (1 + i)k = x0 [(1 + h)(1 + i)]k,
откуда
x0 = xk (1 + h) −k (1 + i)−k = xk [(1 + h) (1 + i)]−k. (5.68)
Тогда условие погашения кредита для этого случая (5.66) запишется в следующем виде:
10,0 = y7 · [(1 + 0,14) · 1,1] −7 . (5.69)
Величина y7 будет:
y 7 = 10,0 · (1,14 · 1,1) 7 = 48 762 140. (5.70)
Таким образом, из сравнения результата в отсутствие инфляции, когда надо было возвратить через семь лет 19 487 171 руб., при ежегодной инфляции в 14 % через семь лет нужно будет вернуть уже 48 762 140 руб., чтобы сохранить реальную доходность финансовой операции на уровне 10 %. Теперь подсчитаем, насколько велика разница в возвращаемых суммах будет в первой задаче, где кредит погашался частями, в условиях инфляции и без нее. Уравнение погашения кредита в этом случае запишется, исходя из (5.65) и учитывая (5.68):
10,0 = 5,0 · (1,14 · 1,1) −3 + 4,0 · (1,14 · 1,1) −4 + 3,0 · (1,14 · 1,1) −5 + + 2,0 · (1,14 · 1,1) −6 + у7· (1,14 · 1,1) −7,
откуда после уже известных вычислений:
у7 = 21 248 819 (руб.).
В условиях отсутствия инфляции по кредиту надо было вернуть 1 012 671 руб., а при ежегодной инфляции в 14 % − 21 248 819 руб. Эта сумма в 21 раз больше. Для решения задачи погашения кредита равными суммами уравнение погашения кредита запишется по аналогии с (5.67), используя (5.68):
10,0 = y ((1,14·1,1) -1 + (1,14·1,1) -2 + (1,14·1,1) -3 + (1,14·1,1) -4 + + (1,14·1,1) -5 + (1,14·1,1) -6 + (1,14·1,1) -7),
откуда y = 3 195 279 руб.
В отсутствие инфляции необходимо было бы возвращать ежегодно сумму 2 054 055 руб., а в условиях инфляции − 3 195 279 руб. В первом случае сумма, возвращенная за семь лет, будет равна 14 378 385 руб., а во втором – 22 366 953 руб. Приведенные примеры убедительно показывают, что при наличии инфляции банки будут вынуждены повышать ставки по кредитам, чтобы не работать себе в убыток и сохранить реальную доходность на прежнем уровне.
Балансовое равенство
Рассмотрим задачу несколько сложнее.
Пример 5.26. Предположим, что заемщик берет кредит по частям у одного и того же кредитора под 10 % годовых: сразу − 12 млн руб. (у0 = −12). через год − еще 10 млн руб. (у 1= − 10) и еще через два года − 4 млн руб. (у3 = − 4), а схема погашения кредита выглядит так:
у5 = 6, у6 = 8, у7 = 10, у8 = 8, у9 = 6, y10 = 6, у11=?
Дисконтируя все суммы на момент выдачи первой части кредита и приравнивая суммы, соответствующие кредитам и погашениям, получаем:
12+ 10q -1 + 4q -3 = 6q -5 + 8q -6 + 10q -7 + 8q -8 + 6q -9 + 6q -10 + y 11q -11;
здесь q = l + 0,01p = 1 + i = 1,1.
Перепишем последнее соотношение формально более подробно, имея в виду, что
y 2 = y 4 = 0.
В результате получим равенство (−12) q0 + (−10)q−1 + 0q−2 + (−4)q−3 + 0q−4 + 6q −5 + 8q−6 + 10q−7 + 8q−8 + + 6q−9 + 6q−10 + у11q−11 = 0.
Записанное в такой форме равенство удобно для вычислений в Microsoft Excel. После необходимых вычислений находим y 11:
y11 = 6.086.734 руб.
Подведем некоторые итоги. Пусть уk — величина взноса в конце k−го года, k ≥ 0 (отрицательное значение уk трактуется как кредит). Все кредиты погашены за nлет, если имеет место балансовое равенство
y0 + q-1 y1 + …+ q–n yn = 0, (5.65)
где q = 1 + 0,01p =1 + i,
т. е. сумма всех дисконтированных кредитов и взносов равна нулю.
Балансовое уравнение Метод дисконтирования можно использовать для оценки экономической эффективности вариантов капитальных вложений. Пусть yk − известные нам доходы предприятия за k−й год (отрицательное значение уk трактуется как капитальное вложение) в проекте, рассчитанном на n лет. Используем равенство (5.65)
y0 + q−1 y1 + …+ q−n yn = 0, q = 1 + i, (5.66)
считая на этот раз, что величины y0, y1,..., уn известны, а величина q (а значит, и р) подлежит определению. Соотношение (5.66) при этих условиях называется балансовым уравнением. Индексом прибыльности, или внутренней нормой процента i по капвложениям, называется ставка дисконта, при которой сумма всех дисконтированных капитальных затрат и дисконтированных доходов равна нулю.
Обозначение: P.I. (сокращение от profitability index). Тем самым, находя значение q = q*,удовлетворяющее уравнению (5.66), мы определяем индекс прибыльности. Обычная рыночная процентная ставка составляет примерно 8 %. Вложение считается выгодным, если
P.I. ≥ 15 %.
Итак, пусть y0, y1,..., уn − обсуждаемый вариант капитальных затрат и ожидаемых доходов. Для того чтобы найти P.I., составляем балансовое уравнение
y0 + q−1 y1 + …+ q−n yn = 0.
Пусть q = q*— его решение. Тогда
P.I. = 100 (q* − 1) %.
Пример 5.27. Обсуждаемый вариант капитальных затрат и ожидаемых доходов следующий:
y 0 = − 5, y 1 = − 9, у2 = − 10, у3 = − 5, у4 = 0, у5 = 5, у6 = 10, y 7 = 14, у8 = 17, у9 = 12, у10 = 5,5.
Уравнение баланса имеет вид:
− 5 – 9r – 10r2 – 5r3 + 5r5 + 10r6 + 14r7 + 17r8 + 12r9 + 5,5r10 = 0,
где r = q −1 = (1 + 0,01 p)−1.
Решая уравнение относительно r, имеем:
r* = 0,878 и q* = 1 / r* = 1,139.
Тем самым P.I. = 13,9 %. Замечание. Решение уравнения относительно r в аналитическом виде затруднительно. Для решения можно использовать любой метод приближенного решения уравнений, например метод Ньютона. Формула для получения каждого последующего приближения решения уравнения имеет следующий вид:
xn+1 = xn – f (xn) / f ′(xn),
где xn+1 – n+1-е приближение решения уравнения, xn – n-е приближение решения уравнения, f (xn) − значение функции при подстановке xn, f ′(xn) − значение первой производной функции при подстановке xn. Вычисления удобно вести в таблицах Microsoft Excel.
Вопросы для самопроверки 1.Определить сумму процентов и накопленного долга, если ссуда 250 тыс. руб. взята на полгода при ставке простых процентов, равной 14 % годовых. Ответ: Сумма процентов составляет 17,5 тыс. руб., сумма накопленного долга – 267,5 тыс. руб.
2.Найти точное и приближенное число дней между 10 февраля и 23 октября.
3.Ссуда в размере 5000 руб. положена в банк под 12 % годовых с 9 марта по 20 октября следующего года (год не високосный). Определить тремя способами наращенную сумму. Какой вариант наращения выгоден банку, а какой – вкладчику?
4. В договоре, рассчитанном на год, ставка простых процентов на 1 квартал установлена в размере 10 % годовых, а на каждый из последующих кварталов – на 0,5 % больше, чем в предыдущем. Определить множитель наращения Кнар за весь срок договора.
5. На сумму 150 тыс. руб. начисляются 15 % годовых. Проценты простые, точные (год не високосный). Определить наращенную сумму в двух случаях: если реинвестирование производится за 2 квартал ежемесячно и если реинвестирование не проводится.
6. Заемщик получил от банка кредит на 10 месяцев под 15 % простых годовых процентов с условием вернуть 450 тыс. руб. Какую сумму получил заемщик в момент заключения договора и чему равен дисконт?
7. Владелец векселя на сумму 100 тыс. руб. со сроком уплаты 30 декабря учел его в банке 29 сентября по учетной ставке 9 % годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя, приняв K = 360 дней.
8. Платежное обязательство уплатить через 90 дней 300 тыс. руб. с процентами, начисленными по ставке простых процентов p = 14 % годовых, было учтено за 25 дней до срока погашения по учетной ставке 10 %. Определить сумму, получаемую при учете. Ответ. Владелец платежного обязательства получит при учете 308,195 тыс. руб. 9. Определить доходность операции для кредитора, если он предоставил ссуду в размере 350 тыс. руб. на 90 дней и контрактом предусмотрена сумма погашения долга, равная 375 тыс. руб. Доходность выразить в виде простой ставки процентов i и учетной ставки d. Временную базу K принять равной 360 дням. Ответ: доходность операции, выраженная в виде простой ставки, составляет 28 %, а виде простой учетной ставки – 26,7 %.
10. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 12 % годовых, плюс переменная маржа: 8 % в первые два года, 9 % в третий год и 10 % в четвертый год. Определить величину множителя наращения за четыре года. Ответ: множитель наращения за четыре года составляет 2,126.
11. Рассчитать за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов, равной 5 % процентам годовых. Для ставки сложных процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формулам. Сравнить результаты.
12. Банк предоставляет ссуду в размере 175 тыс. руб. на 20 месяцев под 25 % сложных годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть заемщику банку по истечении срока ссуды? Расчет провести тремя способами.
13. В банк вложены деньги в сумме 7 тыс. руб. на два года с полугодовым начислением сложных процентов по ставке 22 % годовых. Определить наращенную сумму и сравнить ее со случаем, когда проценты начисляются ежеквартально. Ответ: наращенная сумма при полугодовом начислении процентов составит к концу второго года 10,626 тыс. руб., а при ежеквартальном начислении – 10,743 тыс. руб.
14. Ссуда в размере 30 тыс. руб. предоставлена на 32 месяца. Номинальная ставка равна 40 % сложных процентов годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех случаях: · на дробную часть начисляются сложные проценты; · на дробную часть начисляются простые проценты; · дробная часть не учитывается. Ответ: наращенная сумма в заданных трех случаях будет 82,917 тыс. руб. в первом, 83,000 тыс. руб. во втором и 77,812 тыс. руб. в третьем случае.
15.Предприниматель может получить ссуду на условиях: · ежемесячного начисления процентов из расчета 25 % годовых; · ежеквартального начисления процентов из расчета 26 % годовых. Какой вариант предпочтителен для предпринимателя? Ответ: эффективная годовая ставка при ежемесячном начислении процентов равна 28,07 %, а при ежеквартальном начислении – 28,65 %. Первый вариант выгоднее.
16. Определить какой должна быть номинальная ставка при полугодовом начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 15 % годовых. Чтобы обеспечить эффективную ставку 15 % годовых, номинальная ставка при полугодовом начислении процентов должна быть 14,5 %.
17. Рассчитать эффективную годовую процентную ставку при различной частоте начисления процентов (m = 1,2,3,4,6,12,365), если номинальная ставка составляет 7 %. Ответ привести в виде таблицы:
18.Какую суму следует проставить в векселе, если выданная сумма равна 250 тыс. руб., срок погашения – 3 года. Вексель рассчитывается исходя из сложной годовой учетной ставки 14 %. Ответ: в векселе следует проставить суму, равную 393,047 тыс. руб.
19. Решить предыдущую задачу при условии, что наращение по сложной учетной ставке производится поквартально. Ответ: если наращение по сложной учетной ставке производится поквартально, то в векселе следует проставить сумму 383,365 тыс. руб.
20. На первоначальную сумму долга 15 тыс. руб. непрерывно начисляются проценты с силой роста 5,5 % в течение 15 лет. Определить наращенную сумму. Ответ: наращенная сумма составит 34,228 тыс. руб.
21. Годовая ставка сложных процентов равна 18 %. Чему равна эквивалентная сила роста? Ответ: 16,55 %. 22. Предполагается, что темп инфляции составит 25 % в год. Какую ставку сложных процентов следует проставить в договоре, чтобы реальная доходность составляла 15 %. Чему равна инфляционная премия? Ответ: в договоре следует проставить ставку сложных процентов, равную 44 %, инфляционная премия составит 29 %.
23.Пусть кредит в размере 750 тыс. руб. выдан на два года. Реальная доходность операции должна составить 15 % годовых по сложной ставке процентов. Ожидается уровень инфляции 6 % в год. Определить множитель наращения и наращенную сумму. Ответ: множитель наращения, компенсирующий инфляцию, будет равен 1,486, а наращенная сумма − 1114,471 тыс. руб.
24. Предположим, что две стороны, кредитор и заемщик, договариваются о плане погашения кредита: кредит в 12 млн руб. берется на 5 лет при годовой ставке 10 % с условием, что через 2 года в счет погашения кредита будет внесено 5 млн руб., через год — 3 млн руб. и еще через год — 4 млн руб. Какая сумма должна быть внесена через 5 лет для полного погашения кредита? Какую сумму надо будет выплатить в счет погашения кредита по схеме погашения, предусматривающей выплату всего долга в конце срока? Какую сумму нужно будет выплачивать ежегодно в счет погашения кредита, если выплачивать долг равными суммами? Как изменятся суммы выплат, если предположить наличие годовой инфляции 5 %? Ответ: для полного погашения кредита по первой схеме необходимо внести сумму 2 881 770 руб., по второй схеме необходимо внести сумму 19 326 120 руб., по третьей схеме необходимо внести сумму 3 165 570 руб. Суммы при наличии годовой инфляции 5 % будут соответственно: 4 057 235, 24 665 571, 3 622 258 руб.
  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|