|
Функции спроса, уравнение СлуцкогоПусть р – цена товара X, q – цена товара Y, R – доход потребителя. Напомним, что функцией полезности U (x, у) называется функция, задающая степень полезности (для потребителя) набора товаров, состоящего из х единиц товара Х и у единиц товара Y. Будем считать, что потребитель может покупать только такие наборы (х, у), стоимость которых не превосходит его дохода, т.е. рх + qy £ R. Определение. Пусть функция полезности U (x, y), при любых положительных р, q и R имеет на множестве { рх + qy £ R, x ³0, y ³0} (1.1.6) единственную точку глобального максимума (х *; у *). Тогда х *; у * – функции от р, q и R: х * = xD (p,q,R), y * = yD (p,q,R). Эти функции называются функциями спроса. Смысл данного определения в том, что потребитель стремится к наибольшему удовлетворению от купленных им товаров при ограниченных средствах. Для любого t > 0 функции спроса удовлетворяют следующим тождествам: xD (tp, tq, tR)= xD (p, q, R), yD (tp, tq, tR)= yD (p, q, R). Таким образом, функции спроса являются однородными функциями степени однородности 0. Следовательно, для дифференцируемых функций спроса выполняются тождества Эйлера: px 'p+ qx 'q+ Rx 'R= 0, py 'p+ qy 'q+ Ry 'R= 0, (1.1.7) а также следующие уравнения для эластичности: Е хр+ Е хq+ Е хR= 0, Е ур+ Е уq+ Е уR= 0. Функция Лагранжа запишется так: L(х,у) = U(x,y) + l (R – рх – qy). Необходимые условия условного экстремума (условия Куна-Таккера) для функции L(x,у) будут следующие: U ' x(х,у) – l р= 0, U'y(x,y) – l q = 0, (R–px – qy)= 0, (1.1.8) l ³ 0. Если U'x > 0 или U'y > 0 (чаще всего выполняются оба условия), то тогда l можно исключить из системы. В итоге получаем систему уравнений U ' x(х,у) / U'y(x,y) = р / q, рx + qy= R. (1.1.9) Первое выражение в (1.1.9) называют вторым законом Госсена. В общем виде он звучит так: максимум полезности обеспечивает такая структура покупок, при которой отношение предельной полезности каждого блага к его цене одинаково для всех благ. Пpимер 1.1.4. Найти функции спроса xD, yD в случае функции полезности U(x,у)= ln х + ln у – ln(x + у). Решение. Для заданной функции полезности частные производные первого порядка таковы: Система уравнений (1.1.9) имеет вид U'x / U'x=y 2 / x 2 = p/q, рx + qy= R. Поэтому функции спроса таковы: В заключение выведем уравнение Слуцкого для функций спроса. С этой целью преобразуем выражение q(x'q + ух'R). С учетом равенства qx'q = –рх'р – Rх'R, следующего из тождеств Эйлера (1.1.7), и равенства qy = R – рх, вытекающего из бюджетного равенства рх + qy = R, имеем q(x'q + ух'R) = –px'p –рх ´ х'R = – (px'p + х) + х (1 – рх'R) = = (R – рх)'p + x(R – рх)'R = qy'p + xqy'R. Разделив первое и последнее выражения на q, получим уравнение Слуцкого: х'q +ух'R =у'p +ху'R. (1.1.10) Уравнение Слуцкого можно умножить на R / xy. Тогда оно приобретает вид b-1 Eхq + ExR =a-1 Eyp + EyR, где Ехq, Еyp – перекрестные коэффициенты эластичности спроса, ExR, EуR – коэффициенты эластичности спроса по доходу, a =рх/R, b =qy/R – доли расходов на товары Х и Y в бюджете R.. Производственные функции. Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов. При описании экономики (точнее, ее производственной подсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рассматривается как «черный ящик», на вход которого поступают ресурсы R 1,..., Rn, а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Х1,..., Хm. В качестве ресурсов (факторов производства) на макроуровне наиболее часто рассматриваются накопленный труд в форме производственных фондов (капитал) К и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата – валовой выпуск Х (либо валовой внутренний продукт Y, либо национальный доход N). Во всех случаях результат коротко будем называть выпуском и обозначать X, хотя это может быть и валовой выпуск, и ВВП, и национальный доход. Остановимся несколько подробнее на обосновании состава фактора К. Накопленный прошлый труд проявляется в основных и оборотных, производственных и непроизводственных фондах. Выбор того или иного состава K определяется целью исследования, а также характером развития производственной и непроизводственной сфер в изучаемый период. Если в этот период в непроизводственную сферу вкладывается примерно постоянная доля вновь созданной стоимости и непроизводственная сфера оказывает на производство примерно одинаковое влияние, это служит основанием напрямую учитывать в ПФ только производственные фонды. Но производственные фонды состоят из основных и оборотных производственных фондов. Если соотношение между этими составными частями производственных фондов примерно постоянное в течение всего изучаемого периода, то достаточно напрямую учитывать в ПФ только основные производственные фонды. Если изучаемый период достаточно продолжителен и однороден по влиянию на производство указанных выше составных частей, следует испробовать все варианты включения их в модель (от всех вместе до какого-то одного из них). Чтобы не вдаваться в детали, далее будем К называть фондами. Таким образом, экономика замещается своей моделью в форме нелинейной ПФ Х= F(K, L), т.е. выпуск (продукции) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда). Производственная функция Х=F(K,L) называется неоклассической, если она является гладкой и удовлетворяет следующим условиям, поддающимся естественной экономической интерпретации: 1) F( 0, L) = F(K, 0) = 0 - при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно; 2) , - с ростом ресурсов выпуск растет; 3) , - с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется; 4) F (+¥, L) = F(K, +¥) = +¥ - при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет. Мультипликативная ПФ задается выражением , a 1>0, a 2>0, где А – коэффициент нейтрального технического прогресса; а 1, a 2 – коэффициенты эластичности по капиталу и труду. Таким образом, мультипликативная ПФ обладает свойством 1, адекватным реальной экономике: при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно. Частным случаем этой функции служит функция Кобба-Дугласа , где a 1= a, a 2=1 – a. Мультипликативная ПФ определяется по временному ряду выпусков и затрат ресурсов (Хt, Кt, Lt,), t= 1,..., Т, где T – длина временного ряда, при этом предполагается, что имеет место Т соотношений , где dt — корректировочный случайный коэффициент, который приводит в соответствие фактический и расчетный выпуск и отражает флюктуацию результата под воздействием других факторов, Мdt = 1. Поскольку в логарифмах эта функция линейна: ln Хt = ln A + atln Kt+ a2ln Lt + et, где et = ln dt, Мet= 0, получаем модель линейной множественной регрессии. Параметры функции А, a 1, a 2 определяются методами корреляционно-регрессионного анализа, рассматриваемого в дисциплине «Эконометрика». В качестве примера приведем мультипликативную функцию валового выпуска Российской Федерации (млрд. руб.) в зависимости от стоимости основных производственных фондов (млрд. руб.) и числа занятых в народном хозяйстве (млн. чел.) по данным за 1960-1994 гг. (все стоимостные показатели даны в сопоставимых ценах для этого периода): X=0,931K0,539L0,594 Мультипликативная функция обладает также свойством 2, адекватным реальной экономике: с ростом затрат ресурсов выпуск увеличивается, т.е. , так как a 1 >0. , так как a 2>0. Частные производные выпуска по факторам называются предельными продуктами или предельными (маржинальными) эффективностямифакторов и представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста фактора: – предельный продукт фондов, предельная фондоотдача (предельная эффективность фондов); – предельный продукт труда, предельная производительность (предельная эффективность труда). Для мультипликативной функции вытекает, что предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче с коэффициентом a 1 , а предельная производительность труда – средней производительности труда с коэффициентом а 2: , . Из чего вытекает, что при а 1 < 1, a 2 < 1 предельные отдачи факторов меньше средних; при этих же условиях мультипликативная функции обладает свойством 3, которое очень часто наблюдается в реальной экономике: с ростом затрат ресурса его предельная отдача падает, т.е. , так как а 1<1; , так как а 2<1. Из также видно, что мультипликативная функция обладает свойством 4, т.е. при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет. Таким образом, мультипликативная функция при 0 < а 1 < 1, 0< а 2 < 1 является неоклассической. Перейдем теперь к экономической интерпретации параметров А, а 1, а 2 мультипликативной ПФ. Параметр А обычно интерпретируется как параметр нейтрального технического прогресса: при тех же а 1, а 2 выпуск в точке (К, L) тем больше, чем больше А. Для интерпретации а 1, а 2 необходимо вспомнить понятиеэластичности, рассмотренное в 1.1.2. Получаем а 1 – эластичность выпуска по основным фондам, а a 2 – эластичность выпуска по труду. Например, согласно ПФ X=0,931K0,539L0,594 при увеличении основных фондов (ОФ) на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличении занятых на 1% – на 0,594%. Если а 1 > a 2 имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, в противном случае – фондосберегающчй (экстенсивный) рост. Рассмотрим темп роста выпуска . Если возвести обе части уравнения в степень , получим соотношение , в котором справа – взвешенное среднее геометрическое темпов роста затрат ресурсов, при этом в качестве весов выступают относительные эластичности факторов , . При а 1+ а 2 > 1 выпуск растет быстрее, чем в среднем растут факторы, а при а 1+ а 2 < 1 – медленнее. В самом деле, если факторы растут (т.е. Kt+1>Kt, Lt+1>Lt) то согласно растет и выпуск (т.е. Xt+1>Xt ),следовательно, при а 1+ а 2 > 1 , т.е. действительно, темп роста выпуска больше среднего темпа роста факторов. Таким образом, при а 1+ а 2 >1 ПФ описывает растущую экономику. Линией уровня на плоскости К, L, или изоквантой, называется множество тех точек плоскости, для которых F(K, L)=Х0= const. Для мультипликативной ПФ изокванта имеет вид: или , т.е. является степенной гиперболой, асимптотами которой служат оси координат. Для разных К, L, лежащих на конкретной изокванте, выпуск равен одному и тому же значению X0, что эквивалентно утверждению о взаимозаменяемости ресурсов. Поскольку на изокванте F(K, L) = Х0 = const, то . В этом соотношении , , поэтому dK и dL имеют разные знаки: если dL <0, что означает сокращение объема труда, то dK >0, т.е. выбывший в объеме труд замещается фондами в объеме dK. Поэтому естественно следующее определение, вытекающее из . Предельной нормой замены SK труда фондами называется отношение модулей дифференциалов ОФ и труда: , соответственно, предельная норма замены SL фондов трудом , при этом Sk SL=1. Для мультипликативной функции норма замещения труда фондами пропорциональна фондовооруженности: , , что совершенно естественно: недостаток труда можно компенсировать его лучшей фондовооруженностью. Изоклиналями называются линии наибольшего роста ПФ. Изоклинали ортогональны линиям нулевого роста, т.е. изоквантам. Поскольку направление наибольшего роста в каждой точке (К, L) задается градиентом grad , то уравнение изоклинали записывается в форме . В частности, для мультипликативной ПФ получаем, , поэтому изоклиналь задается дифференциальным уравнением , которое имеет решение , , где (L0; К0) – координаты точки, через которую проходит изоклиналь. Наиболее простая изоклиналь при а = 0 представляет собой прямую . На рис. 1.1.4 изображены изокванты и изоклинали мультипликативной ПФ. Рис. 1.1.4 При изучении факторов роста экономики выделяют экстенсивные факторы роста (за счет увеличения затрат ресурсов, т.е. увеличения масштаба производства) и интенсивные факторы роста (за счет повышения эффективности использования ресурсов). Возникает вопрос: как с помощью ПФ выразить масштаб и эффективность производства? Это сравнительно легко сделать, если выпуск и затраты выражены в соизмеримых единицах, например представлены в соизмеримой стоимостной форме. Однако проблема соизмерения настоящего и прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительным образом. Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безразмерным) показателям. В относительных показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом: , т.е. X0, K0 L0 — значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год. Безразмерная форма, указанная выше, легко приводится к первоначальному виду . Таким образом, коэффициент получает естественную интерпретацию – это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском. Если обозначить выпуск и ресурсы в относительных (безразмерных) единицах измерения через x, k, l, то ПФ в форме запишется так: . Найдем теперь эффективность экономики, представленной ПФ. Напомним, что эффективность – это отношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов k и настоящего труда l. Поэтому имеются два частных показателя эффективности: – фондоотдача, – производительность труда. Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них. Так как ПФ выражена в мультипликативной форме, то и среднее естественно взять в такой же форме, т.е. среднегеометрическое значение. Итак, обобщенный показатель экономической эффективности есть взвешенное среднее геометрическое частных показателей экономической эффективности: , в котором роль весов выполняют относительные эластичности , , т.е. частные эффективности участвуют в образовании обобщенной эффективности с такими же приоритетами, с какими входят в ПФ соответствующие ресурсы. Из вытекает, что с помощью коэффициента экономической эффективности ПФ преобразуется в форму, внешне совпадающую с функцией Кобба-Дугласа: х=Eka l1-a, где Е – не постоянный коэффициент, а функция от (К, L). Поскольку масштаб производства М проявляется в объеме затраченных ресурсов, то по тем же соображениям, которые были приведены при расчете обобщенного показателя экономической эффективности, средний размер использованных ресурсов (т.е. масштаб производства) M=kal1-a. В результате получаем, что выпуск Х есть произведение экономической эффективности и масштаба производства: Х=ЕМ. Линейная производственная функция X=F(K,L)=EKK+ELL, где EK и EL частные эффективности ресурсов. EK = – фондоотдача, EL = – производитель труда. Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них. Пример 1.1.5. Валовой внутренний продукт США (Х), измеренный в млрд. долл. в ценах 1987г. возрос с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза, основные производственные фонды за этот же период (К) увеличились в 2,88 раза, число занятых (L) – в 1,93 раза. Пусть X=2,248K0,404L0,803. Необходимо рассчитать масштаб и эффективность производства. Решение. Из условия x = 2,82; k =2,88; l =1,93. Сначала находим относительные эластичности по фондам и труду . Затем определяем частные эффективности ресурсов , , после чего находим обобщенный показатель эффективности как среднее геометрическое частных: . Масштаб устанавливаем как среднее геометрическое темпов роста ресурсов . Таким образом, общий рост ВВП с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза произошел за счет роста масштаба производства в 2,207 раза и за счет повышении эффективности производства в 1,278 раза (2,82=1,278*2,207). Приведем несколько типов производственных функций общего вида, наиболее часто используемых в экономической теории. Здесь x 1, x 2, …, x n – значения факторов, определяющих производственную деятельность предприятия. Функция Кобба-Дугласа. Функция вида: . Обычно считается, что сумма ai равна 1. Функция с постоянной эластичностью замещения. Удобная для анализа производственная функция: , где a именуется коэффициентом шкалы; b – коэффициентом замещения, u≤ 1 – коэффициент замещения; w – степень однородности. Функция Леонтьева. Данная функция носит теоретический характер и описывает совершенно не гибкую технологию производства с очень большим количеством факторов, которые не могут заменить друг друга. f (x 1, x 2, …, x n) = min (a 1 x 1, a 2 x 2, …, a n x n) Обобщенная функция Леонтьева (функция с фиксированными пропорциями). В функцию Леонтьева просто вводится степень однородности: . Линейная производственная функция. Эта функция также является теоретической абстракцией. Уже по названию функции ясно, что: f (x 1, x 2, …, x n) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a n x n. Кусочно-линейная функция. Данная функция возникает как комбинация нескольких линейных производственных функций (т.е. технологий производства), каждая из которых используется на своем интервале. И для каждой комбинации факторов производства фирма выбирает ту технологию, которая дает наибольший выпуск: . Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|