Функции спроса, уравнение Слуцкого

Пусть р – цена товара X, q – цена товара Y, R – доход потре­бителя. Напомним, что функцией полезности U (x, у) называется функция, задающая степень полезности (для потребителя) набора товаров, состоящего из х единиц товара Х и у единиц товара Y. Будем считать, что потребитель может покупать только такие наборы (х, у), стоимость которых не превосходит его дохода, т.е. рх + qy £ R.

Определение. Пусть функция полезности U (x, y), при любых положительных р, q и R имеет на множестве

{ рх + qy £ R, x ³0, y ³0} (1.1.6)

единственную точку глобального максимума (х *; у *). Тогда х *; у * – функции от р, q и R: х * = x^D (p,q,R), y * = y^D (p,q,R).

Эти функции называются функциями спроса.

Смысл данного определения в том, что потребитель стремится к наибольшему удовлетворению от купленных им товаров при ограниченных средствах.

Для любого t > 0 функции спроса удовлетворяют следующим тождествам:

x^D (tp, tq, tR)= x^D (p, q, R), y^D (tp, tq, tR)= y^D (p, q, R).

Таким образом, функции спроса являются однородными функциями степени однородности 0. Следовательно, для дифференцируемых функций спроса выполняются тождества Эйлера:

px '_p+ qx '_q+ Rx '_R= 0, py '_p+ qy '_q+ Ry '_R= 0, (1.1.7)

а также следующие уравнения для эластичности:

Е _хр+ Е _хq+ Е _хR= 0, Е _ур+ Е _уq+ Е _уR= 0.

Функция Лагранжа запишется так:

L(х,у) = U(x,y) + l (R – рх – qy).

Необходимые условия условного экстрему­ма (условия Куна-Таккера) для функции L(x,у) будут следующие:

U ' _x(х,у) – l р= 0, U'_y(x,y) – l q = 0,

(R–px – qy)= 0, (1.1.8)

l ³ 0.

Если U'_x > 0 или U'_y > 0 (чаще всего выполняются оба условия), то тогда l можно исключить из системы. В итоге получаем систему уравнений

U ' _x(х,у) / U'_y(x,y) = р / q,

рx + qy= R. (1.1.9)

Первое выражение в (1.1.9) называют вторым законом Госсена. В общем виде он звучит так: максимум полезности обеспечивает такая структура покупок, при которой отношение предельной полезности каждого блага к его цене одинаково для всех благ.

Пpимер 1.1.4. Найти функции спроса x^D, y^D в случае функции полезности

U(x,у)= ln х + ln у – ln(x + у).

Решение. Для заданной функции полезности частные производные первого порядка таковы:

Система уравнений (1.1.9) имеет вид

U'_x / U'_x=y ² / x ² = p/q,

рx + qy= R.

Поэтому функции спроса таковы:

В заключение выведем уравнение Слуцкого для функций спроса. С этой целью преобразуем выражение q(x'_q + ух'_R). С учетом равенства

qx'_q = –рх'_р – Rх'_R, следующего из тождеств Эйлера (1.1.7), и равенства

qy = R – рх, вытекающего из бюджетного равенства рх + qy = R, имеем

q(x'_q + ух'_R) = –px'_p –рх ´ х'_R = – (px'_p + х) + х (1 – рх'_R) =

= (R – рх)'_p + x(R – рх)'_R = qy'_p + xqy'_R.

Разделив первое и последнее выражения на q, получим уравнение Слуцкого:

х'_q +ух'_R =у'_p +ху'_R. (1.1.10)

Уравнение Слуцкого можно умножить на R / xy. Тогда оно приобретает вид

b^-1 E_хq + E_xR =a^-1 E_yp + E_yR,

где Е_хq, Е_yp – перекрестные коэффициенты эластичности спроса, E_xR, E_уR – коэффициенты эластичности спроса по доходу, a =рх/R, b =qy/R – доли расходов на товары Х и Y в бюджете R..

Производственные функции.

Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов. При описании экономики (точнее, ее производственной подсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рассматривается как «черный ящик», на вход которого поступают ресурсы R ₁,..., R_n, а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Х₁,..., Х_m.

В качестве ресурсов (факторов производства) на макроуровне наиболее часто рассматриваются накопленный труд в форме производст­венных фондов (капитал) К и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата – валовой выпуск Х (либо валовой внутренний продукт Y, либо национальный доход N). Во всех случаях результат коротко будем называть выпуском и обозначать X, хотя это может быть и валовой вы­пуск, и ВВП, и национальный доход.

Остановимся несколько подробнее на обосновании состава фактора К. Накопленный прошлый труд проявляется в основных и оборот­ных, производственных и непроизводственных фондах. Выбор того или иного состава K определяется целью исследования, а также характером развития производственной и непроизводственной сфер в изучаемый период. Если в этот период в непроизводственную сферу вкладывается примерно постоянная доля вновь созданной стоимости и непроизвод­ственная сфера оказывает на производство примерно одинаковое вли­яние, это служит основанием напрямую учитывать в ПФ только произ­водственные фонды.

Но производственные фонды состоят из основных и оборотных производственных фондов. Если соотношение между этими составными частями производственных фондов примерно постоянное в течение всего изучаемого периода, то достаточно напрямую учитывать в ПФ только основные производственные фонды.

Если изучаемый период достаточно продолжителен и однороден по влиянию на производство указанных выше составных частей, следует испробовать все варианты включения их в модель (от всех вместе до какого-то одного из них). Чтобы не вдаваться в детали, далее будем К называть фондами.

Таким образом, экономика замещается своей моделью в форме нелинейной ПФ

Х= F(K, L),

т.е. выпуск (продукции) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда).

Производственная функция Х=F(K,L) называется неоклассической, если она является гладкой и удовлетворяет следующим условиям, поддающимся естественной экономической интерпретации:

1) F( 0, L) = F(K, 0) = 0

- при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно;

2) ,

- с ростом ресурсов выпуск растет;

3) ,

- с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется;

4) F (+¥, L) = F(K, +¥) = +¥

- при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет.

Мультипликативная ПФ задается выражением

,

a ₁>0, a ₂>0,

где А – коэффициент нейтрального технического прогресса; а ₁, a ₂ – коэффициенты эластичности по капиталу и труду.

Таким образом, мультипликативная ПФ обладает свойством 1, адекватным реальной экономике: при отсутствии одного из ресурсов производство не­возможно. Частным случаем этой функции служит функция Кобба-Дугласа

, где a ₁= a, a ₂=1 – a.

Мультипликативная ПФ определяется по временному ряду выпусков и затрат ресурсов (Х_t, К_t, L_t,), t= 1,..., Т, где T – длина временного ряда, при этом предполагается, что имеет место Т соотношений

,

где d_t — корректировочный случайный коэффициент, который приво­дит в соответствие фактический и расчетный выпуск и отражает флюк­туацию результата под воздействием других факторов, Мd_t = 1. Поскольку в логарифмах эта функция линейна:

ln Х_t = ln A + a_tln K_t+ a₂ln L_t + e_t, где e_t = ln d_t, Мe_t= 0,

получаем модель линейной множественной регрессии. Параметры функ­ции А, a ₁, a ₂ определяются методами корреляционно-регрессионного анализа, рассматриваемого в дисциплине «Эконометрика».

В качестве примера приведем мультипликативную функцию валово­го выпуска Российской Федерации (млрд. руб.) в зависимости от стои­мости основных производственных фондов (млрд. руб.) и числа занятых в народном хозяйстве (млн. чел.) по данным за 1960-1994 гг. (все стои­мостные показатели даны в сопоставимых ценах для этого периода):

X=0,931K^0,539L^0,594

Мультипликативная функция обладает также свойством 2, адекватным реальной экономике: с ростом затрат ресурсов выпуск увели­чивается, т.е.

,

так как a ₁ >0.

,

так как a ₂>0.

Частные производные выпуска по факторам называются предельными продуктами или предельными (маржинальными) эффективностямифакторов и представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста фактора:

– предельный продукт фондов, предельная фондоотдача (предельная эффективность фондов);

– предельный продукт труда, предельная производительность (предельная эффективность труда).

Для мультипликативной функции вытекает, что предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче с коэффициентом a ₁ , а предельная производительность труда – средней производительности труда с коэффициентом а ₂:

, .

Из чего вытекает, что при а ₁ < 1, a ₂ < 1 предельные отдачи факторов меньше средних; при этих же условиях мультипликативная функ­ции обладает свойством 3, которое очень часто наблюдается в реальной экономике: с ростом затрат ресурса его предельная отдача падает, т.е.

, так как а ₁<1;

, так как а ₂<1.

Из также видно, что мультипликативная функция обладает свойством 4, т.е. при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет. Таким образом, мультипликативная функ­ция при 0 < а ₁ < 1, 0< а ₂ < 1 является неоклассической.

Перейдем теперь к экономической интерпретации параметров А, а ₁, а ₂ мультипликативной ПФ. Параметр А обычно интерпретируется как параметр нейтрального технического прогресса: при тех же а ₁, а ₂ выпуск в точке (К, L) тем больше, чем больше А. Для интерпретации а ₁, а ₂ необходимо вспомнить понятиеэластичности, рассмотренное в 1.1.2.

Получаем а ₁ – эластичность выпуска по основным фондам, а a ₂ – эластич­ность выпуска по труду.

Например, согласно ПФ X=0,931K^0,539L^0,594 при увеличении основных фон­дов (ОФ) на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличе­нии занятых на 1% – на 0,594%.

Если а ₁ > a ₂ имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, в противном случае – фондосберегающчй (экстенсивный) рост.

Рассмотрим темп роста выпуска

.

Если возвести обе части уравнения в степень , получим соотношение

,

в котором справа – взвешенное среднее геометрическое темпов роста затрат ресурсов, при этом в качестве весов выступают относительные эластичности факторов

, .

При а ₁+ а ₂ > 1 выпуск растет быстрее, чем в среднем растут факторы, а при а ₁+ а ₂ < 1 – медленнее. В самом деле, если факторы растут (т.е. K_t+1>K_t, L_t+1>L_t) то согласно растет и выпуск (т.е. X_t+1>X_t ),следовательно, при а ₁+ а ₂ > 1

,

т.е. действительно, темп роста выпуска больше среднего темпа роста факторов. Таким образом, при а ₁+ а ₂ >1 ПФ описывает растущую экономику.

Линией уровня на плоскости К, L, или изоквантой, называется множество тех точек плоскости, для которых F(K, L)=Х₀= const. Для мультипликативной ПФ изокванта имеет вид:

или ,

т.е. является степенной гиперболой, асимптотами которой служат оси координат.

Для разных К, L, лежащих на конкретной изокванте, выпуск равен одному и тому же значению X₀, что эквивалентно утверждению о взаимозаменяемости ресурсов.

Поскольку на изокванте F(K, L) = Х₀ = const, то

.

В этом соотношении , , поэтому dK и dL имеют разные знаки: если dL <0, что означает сокращение объема труда, то dK >0, т.е. выбывший в объеме труд замещается фондами в объеме dK.

Поэтому естественно следующее определение, вытекающее из .

Предельной нормой замены S_K труда фондами называется отношение модулей дифференциалов ОФ и труда:

,

соответственно, предельная норма замены S_L фондов трудом

, при этом S_k S_L=1.

Для мультипликативной функции норма замещения труда фондами пропорциональна фондовооруженности:

, ,

что совершенно естественно: недостаток труда можно компенсировать его лучшей фондовооруженностью.

Изоклиналями называются линии наибольшего роста ПФ. Изокли­нали ортогональны линиям нулевого роста, т.е. изоквантам. Поскольку направление наибольшего роста в каждой точке (К, L) задается градиентом

grad , то уравнение изоклинали записывается в форме .

В частности, для мультипликативной ПФ получаем,

,

поэтому изоклиналь задается дифференциальным уравнением

, которое имеет решение

, ,

где (L₀; К₀) – координаты точки, через которую проходит изоклиналь. Наиболее простая изоклиналь при а = 0 представляет собой прямую

.

На рис. 1.1.4 изображены изокванты и изоклинали мультипликатив­ной ПФ.

Рис. 1.1.4

При изучении факторов роста экономики выделяют экстенсивные факторы роста (за счет увеличения затрат ресурсов, т.е. увеличения масштаба производства) и интенсивные факторы роста (за счет повы­шения эффективности использования ресурсов).

Возникает вопрос: как с помощью ПФ выразить масштаб и эффективность производства? Это сравнительно легко сделать, если выпуск и затраты выражены в соизмеримых единицах, например представлены в соизмеримой стоимостной форме. Однако проблема соизмерения на­стоящего и прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительным образом. Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безраз­мерным) показателям. В относительных показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом:

,

т.е. X₀, K₀ L₀ — значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год.

Безразмерная форма, указанная выше, легко приводится к первоначальному виду

.

Таким образом, коэффициент получает естественную интерпретацию – это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском. Если обозначить выпуск и ресурсы в относительных (безразмер­ных) единицах измерения через x, k, l, то ПФ в форме

запи­шется так:

.

Найдем теперь эффективность экономики, представленной ПФ. Напомним, что эффективность – это отношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов k и настоящего труда l. Поэтому имеются два частных показателя эффективности: – фондоотдача, – производительность труда.

Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них. Так как ПФ выражена в мультипликативной форме, то и среднее естественно взять в такой же форме, т.е. среднегеометриче­ское значение.

Итак, обобщенный показатель экономической эффективности есть взвешенное среднее геометрическое частных показателей экономичес­кой эффективности:

,

в котором роль весов выполняют относительные эластичности , , т.е. частные эффективности участвуют в образовании обобщенной эффективности с такими же приоритетами, с какими входят в ПФ соответствующие ресурсы.

Из вытекает, что с помощью коэффициента экономичес­кой эффективности ПФ преобразуется в форму, внешне совпадающую с функцией Кобба-Дугласа:

х=Ek^a l^1-a,

где Е – не постоянный коэффициент, а функ­ция от (К, L).

Поскольку масштаб производства М проявляется в объеме затрачен­ных ресурсов, то по тем же соображениям, которые были приведены при расчете обобщенного показателя экономической эффективности, сред­ний размер использованных ресурсов (т.е. масштаб производства)

M=k^al^1-a.

В результате получаем, что выпуск Х есть произведение экономической эффективности и масштаба производства:

Х=ЕМ.

Линейная производственная функция

X=F(K,L)=E_KK+E_LL,

где E_K и E_L частные эффективности ресурсов.

E_K = – фондоотдача, E_L = – производитель труда.

Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них.

Пример 1.1.5. Валовой внутренний продукт США (Х), измеренный в млрд. долл. в ценах 1987г. возрос с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза, основные производственные фонды за этот же период (К) увеличились в 2,88 раза, число занятых (L) – в 1,93 раза. Пусть X=2,248K^0,404L^0,803. Необходимо рассчитать масштаб и эффективность производства.

Решение.

Из условия x = 2,82; k =2,88; l =1,93.

Сначала находим относительные эластичности по фондам и труду

.

Затем определяем частные эффективности ресурсов

,

,

после чего находим обобщенный показатель эффективности как среднее геометрическое частных:

.

Масштаб устанавливаем как среднее геометрическое темпов роста ресурсов

.

Таким образом, общий рост ВВП с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза произошел за счет роста масштаба производства в 2,207 раза и за счет повыше­нии эффективности производства в 1,278 раза (2,82=1,278*2,207).

Приведем несколько типов производственных функций общего вида, наиболее часто используемых в экономической теории. Здесь x ₁, x ₂, …, x _n – значения факторов, определяющих производственную деятельность предприятия.

Функция Кобба-Дугласа. Функция вида:

.

Обычно считается, что сумма a_i равна 1.

Функция с постоянной эластичностью замещения. Удобная для анализа производственная функция:

,

где a именуется коэффициентом шкалы; b – коэффициентом замещения, u≤ 1 – коэффициент замещения; w – степень однородности.

Функция Леонтьева. Данная функция носит теоретический характер и описывает совершенно не гибкую технологию производства с очень большим количеством факторов, которые не могут заменить друг друга.

f (x ₁, x ₂, …, x _n) = min (a ₁ x ₁, a ₂ x ₂, …, a _n x _n)

Обобщенная функция Леонтьева (функция с фиксированными пропорциями). В функцию Леонтьева просто вводится степень однородности:

.

Линейная производственная функция. Эта функция также является теоретической абстракцией. Уже по названию функции ясно, что:

f (x ₁, x ₂, …, x _n) = a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + a _n x _n.

Кусочно-линейная функция. Данная функция возникает как комбинация нескольких линейных производственных функций (т.е. технологий производства), каждая из которых используется на своем интервале. И для каждой комбинации факторов производства фирма выбирает ту технологию, которая дает наибольший выпуск:

.

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: