|
|
Тема 10. Корреляционно-регрессионный анализ ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5 10.1. Виды связи и их особенности. Задачи корреляционно-регрессионного анализа 10.2. Парная регрессия. Оценка тесноты корреляционной связи 10.3. Множественная регрессия 10.1. Одной из основных задач статистики является выявление взаимосвязи между изучаемыми социально-экономическими явлениями. Различают два основных вида связи: функциональную и стохастическую. При функциональной связи, каждому значению признака В теории статистики изучаются в основном стохастические и корреляционные зависимости между признаками. Корреляционный анализ предусматривает определение тесноты связи между двумя или более признаками с помощью специальных коэффициентов. Регрессионный анализ позволяет установить зависимость (форму связи) между рассматриваемыми признаками на основе построения регрессионной модели (уравнения регрессии). В зависимости от количества факторных признаков, учитываемых в регрессионной модели, исследуется однофакторная (парная) или многофакторная (множественная) регрессия. 10.2. Количественной характеристикой корреляционной связи является линия регрессии. Линия регрессии представляет собой функцию, устанавливающую зависимость результативного признака Как и любую функцию, линию регрессии можно представить аналитически, т.е. в виде уравнения. В статистике наиболее часто используется линейная форма представления линии регрессии. Линейное уравнение регрессии при парной корреляции имеет вид:
где
Коэффициент регрессии Для определения, насколько процентов изменится результативный признак при изменении факторного на 1 %, рассчитывают коэффициент эластичности по формуле:
Построив уравнение регрессии, можно для каждого значения факторного признака Для моделирования на основе однофакторной модели (уравнения регрессии), необходимо проверить насколько точно она отражает линейную зависимость результативного признака Для определения тесноты связи между признаками необходимо рассчитать ряд показателей, одним из которых является коэффициент детерминации
где
Коэффициент детерминации принимает значения в интервале от 0 до 1. Чем ближе значение коэффициента детерминации к единице, тем более точно построенное уравнение регрессии описывает линейную корреляционную связь между признаками, и, наоборот, чем ближе значение коэффициента детерминации к нулю, тем менее точно уравнение регрессии описывает линейную корреляционную связь. Коэффициент детерминации, принимающий значение равное нулю, свидетельствует о полном отсутствии линейной корреляционной зависимости между признаками. Коэффициент детерминации, принимающий значение равное единице, соответствует ситуации, при которой наблюдается функциональная линейная зависимость между признаками. Тесноту линейной связи между признаками можно проверить, рассчитав линейный коэффициент корреляции по формуле:
где Линейный коэффициент корреляции принимает значение в интервале от -1 до +1 и, в отличие от коэффициента детерминации, характеризует не только тесноту линейной связи между признаками, но и ее направление. Если значение коэффициента положительное, то связь прямая, а если − отрицательное, то связь обратная. Линейный коэффициент корреляции равный нулю характеризует ситуацию, при которой полностью отсутствует линейная связь между признаками, а равный по модулю единице соответствует функциональной линейной связи признаков. Пример 10.1. По данным о среднегодовой стоимости основных средств и объеме валовой продукции, построить уравнение регрессии и рассчитать показатели, характеризующие тесноту связи.
Решение. Сначала необходимо выделить факторный и результативный признаки. В рассматриваемом примере факторным признаком будет «Среднегодовая стоимость основных средств» Для построения уравнения регрессии заполняется вспомогательная таблица:
Для однофакторной модели уравнение регрессии имеет вид:
Коэффициенты регрессии
Тогда Используя полученное уравнение регрессии, находятся теоретические значения результативного признака Определяется коэффициент эластичности:
Для выявления тесноты линейной связи между результативным и факторным признаками рассчитываются следующие показатели: - коэффициент детерминации: Учитывая, что Получаем:
Тогда:
- линейный коэффициент корреляции: Учитывая, что Получаем:
Тогда:
10.3. При изучении различных социально-экономических явлений, как правило, на результативный признак
где
Коэффициент регрессии Построив уравнение регрессии, можно для любого набора значений факторных признаков Для моделирования на основе многофакторной модели (уравнения множественной регрессии), необходимо проверить, насколько точно она отражает линейную зависимость результативного признака Для определения тесноты связи между признаками необходимо рассчитать ряд показателей, одним из которых является коэффициент детерминации
где
Коэффициент детерминации принимает значения от 0 до 1. Чем ближе значение коэффициента детерминации к единице, тем более точно построенное уравнение регрессии описывает линейную корреляционную связь между признаками и, наоборот, чем ближе значение коэффициента детерминации к нулю, тем менее точно уравнение регрессии описывает линейную корреляционную связь. Коэффициент детерминации, принимающий значение равное нулю, свидетельствует о полном отсутствии линейной корреляционной зависимости между признаками. Если коэффициент детерминации принимает значение равное единице, то наблюдается функциональная линейная зависимость между признаками. Тесноту линейной связи между признаками можно проверить, рассчитав множественный коэффициент корреляции. Для двухфакторной модели множественный коэффициент корреляции определяется по формуле:
где
где
Наряду с множественным коэффициентом корреляции определяются частные коэффициенты корреляции. Для двухфакторной модели частных коэффициентов корреляции будет два, и они рассчитываются по формулам:
Пример 10.2. Взаимосвязь между среднегодовой стоимостью основных средств, относительным уровнем затрат на реализацию продукции и стоимостью реализованной продукции характеризуется следующими данными:
Построить уравнение регрессии, рассчитать показатели, характеризующие тесноту связи. Решение. Сначала необходимо выделить факторные и результативный признаки. В рассматриваемом примере факторными признаками будут «Среднегодовая стоимость основных средств» Для построения уравнения регрессии заполняется вспомогательная таблица:
Для двухфакторной модели уравнение регрессии имеет вид:
Коэффициенты регрессии
Тогда Используя полученное уравнение регрессии, находятся теоретические значения результативного признака Для выявления тесноты линейной связи между результативным и факторными признаками, рассчитываются следующие показатели: - коэффициент детерминации: Учитывая, что Получаем:
Тогда:
- множественный коэффициент корреляции: Сначала определяются парные коэффициенты корреляции Получаем:
Тогда:
Парные коэффициенты корреляции также можно определить, используя значение
- частные коэффициенты корреляции:
[*]Примечание: - вывод первой формулы: ; - вывод второй формулы: , так как, то, а, где - коэффициент регрессии для однофакторной модели, в которой - результативный признак, а - факторный признак.   ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
соответствует одно единственное значение признака 
. При стохастической связи, каждому значению признака 
,
- теоретическое значение результативного признака;
, 
- коэффициенты уравнения регрессии, значения которых определяются по методу наименьших квадратов из системы двух уравнений следующего вида:
.
определяет, на какую величину изменится значение результативного признака 
.
. Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:
,
- теоретическая дисперсия;
- эмпирическая дисперсия, т.е. дисперсия признака полученного экспериментальным (опытным) путем.
или 
,
, 
- среднее квадратическое отклонение соответственно признаков 
, а результативным – «Объем валовой продукции» 
.
.
и 
.
.
.
, а 
.
,
.
;
, а 
.
.
или
.
,
, 
,..., 
- набор значений факторных признаков;
, 
, 
,..., 
- коэффициенты уравнения регрессии, значения которых определяются по методу наименьших квадратов из системы, включающей 
уравнение, следующего вида:
.
определяет, на какую величину изменится значение результативного признака 
на единицу при условии, что все другие факторные признаки не изменяются.
. Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:
,
- теоретическая дисперсия;
- эмпирическая дисперсия, т.е. дисперсия признака полученного экспериментальным (опытным) путем.
,
- парные коэффициенты корреляции. Например, 
определяется по одной из двух формул:
или 
,[*]
, 
- среднее квадратическое отклонение соответственно результативного признака 
, 
.
и «Уровень затрат на реализацию» 
, а результативным – «Объем реализованной продукции» 
.
.
, 
определяются из системы уравнений:
,
,
.
.
,
.
;
, 
, 
, учитывая, что 
, а 
и 
.
.
.
,
,
.
, 
, 
,
.
, 
, 
,
.
, 
, 
,
.
;
,
.