|
|
Ферми-газ и плотность состояний
Е = mv2/2 = рг/2т, где т — масса электрона, v — его скорость, а р = mv — импульс. Такая модель хорошо объясняет закон Ома, согласно которому напряжение V и ток I пропорциональны друг другу с коэффициентом R, называемым сопротивлением, то есть V= IR. В квантовомеханическом описании проекция рх импульса электрона на направление х составляет рх = ħkx, где ħ = h/2π — универсальная константа природы, называемая постоянной Планка, a kx — проекция волнового вектора k на направление х. Каждый электрон обладает уникальными значениями kx, ky и kz В параграфе 2.2.2. показано, что значения kx, ky, kz различных электронов образуют решетку в k-пространстве, называемом также обратным пространством. При температуре, равной абсолютному нулю, электроны Ферми-газа занимают все узлы решетки в обращенном пространстве вплоть до расстояния kF от начального значения k =0, что соответствует значению энергии, называемому энергией Ферми EF, и равному EF= ħ2kF2/(2m) (14.5) В предположении, что образец имеет форму куба со стороной L, его объем в обычном координатном пространстве составляет V= L3. Расстояние между двумя соседними электронами в k-пространстве составляет 2π/ L, и при абсолютном нуле все электроны проводимости в нем равноудалены друг от друга, располагаясь внутри сферы радиусом kF и объемом 4 π kF3/3. Эта ситуация с постоянной плотностью электронов в k-пространстве при температуре 0К отражена на рис. 14.8а. На рис. 14.86 можно увидеть отклонения от равномерной плотности, возникающие около энергии Ферми при более высоких температурах..
Количество электронов проводимости с заданной энергией зависит от величины этой энергии, а также от размерности пространства. Это происходит из-за того, что в одном измерении область, в которой находятся электроны, имеет вид отрезка длиной 2kF, в двух измерениях — круга площадью πkF, а в трех измерениях — шара объемом 4 π k3F/3. Если разделить объемы этих областей на объем элементарной ячейки в k- пространстве, приведенный во втором столбце той же таблицы, и использовать выражение (14.5) для исключения kF из формулы, можно получить зависимость количества электронов N с энергией Е, приведенную в первом столбце Таблицы 14.4 и изображенную на рис. 14.9. Наклоны кривых N(E), показанных на рис. 14.9, дают плотность состояний D(E), более строго определяемую как производная D(E) = dN/dE. Это означает, что количество электронов dN с энергиями Е, лежащими в узком интервале dE = Е2 — Е1, пропорционально плотности состояний при данном значении энергии. Получающиеся при разных значениях размерности объекта формулы для D(E) приведены в среднем столбце Таблицы 14.4, а соответствующие графики показаны на рис. 14.10. Видно, что в одномерных объектах плотность состояний уменьшается с ростом энергии, в двумерных — постоянна, а в трехмерных — растет с увеличением энергии. Таким образом, поведение D(E) в этих трех случаях существенно различается, что очень важно для понимания электрических, тепловых и других свойств металлов и полупроводников. Примеры того, как разные свойства материалов зависят от плотности состояний, приведены в 14.4.
Таблица 14.4 Количество электронов N и плотность состояний D(E)=dN(E)/dN как функция энергии Е для электронов проводимости, делокализованных в одном, двух и трех измерениях
Потенциальные ямы В предыдущем параграфе рассматривалась делокализация электронов проводимости в объемных металлах. Такие электроны назывались свободными, но, возможно, термин «нелокализованные электроны» был бы точнее. Точнее из-за того, что при уменьшении размеров проводника до наномасштабов эти электроны испытывают эффект локализации, то есть их движение лимитируется физическими размерами области, в которой они могут находиться. Влияние электростатических сил становится более выраженным, и электроны ограничиваются потенциальным барьером, который отделяет их от области, в которой они могли бы двигаться свободно. Другими словами, электроны оказываются в потенциальной яме, то есть ограниченной области с отрицательной энергией. Простая модель, наглядно демонстрирующая основные характеристики такой потенциальной ямы, — это прямоугольный колодец с очень крутыми стенками. Прямоугольная яма может быть одномерной, двумерной, трехмерной или иметь еще большее количество измерений. Для простоты будет рассматриваться одномерный случай. В любом учебнике по квантовой механике показано, что уровни энергии одномерной прямоугольной потенциальной ямы шириной а с бесконечно высокими стенками задаются уравнением
(14.6)
где Е0 = π2 ħ2 2m2 — энергия основного состояния, а квантовое число п принимает значения 1,2,3,.... Эти уровни показаны на рис. 14.11 и заполняются электронами снизу — вверх. Бесконечно глубокая яма имеет бесконечное количество уровней с прогрессивно увеличивающимся расстоянием между ними при увеличении квантового числа п. Если глубина ямы конечна, то ее уровни Еn лежат ниже соответствующих уровней бесконечно глубокой ямы, а их количество конечно. На рис. 14.12 показан случай потенциальной ямы с конечной глубиной V0 = 7Е0, в которой существует только три уровня. Независимо от глубины ямы в ней имеется по крайней мере одно связанное состояние Е1. Электроны, находящиеся в связанных состояниях в одномерной потенциальной яме, характеризуются волновой функцией ψn (х). Вероятность его обнаружения в заданной точке х вычисляется как квадрат
волновой функции | ψn (х)|2, где п — квантовое число, соответствующее состоянию, в котором находится электрон. В одномерной прямоугольной яме чередуются четные и нечетные волновые функции ψn (х). Для ямы бесконечной глубины ненормированные волновые функции имеют вид ψn= sin(n π x/a) n = 1, 3, 5, К четные функции (14.7) Эти волновые функции показаны на рис. 14.11. Четность волновой функции определяется следующим образом: если (х ψn (x+ а/2) = ψn (—х + а/2) функция называется четной, а если ψn (x+ а/2) = -ψn (—х + а/2) — нечетной. Другой важной разновидностью являются потенциальные ямы криволинейного поперечного сечения. Для двумерной ямы круглого сечения с радиусом а и потенциалом, заданным в виде V=0 при 0 <<ρ << а и V= V0 снаружи этой области, где ρ = (х2 + у)1/2 и tgφ = х/у — полярные координаты. Конкретная конечная яма, показанная на рис. 14.13, имеет только три уровня с энергиями E1, Е2, Е3. Существует и трехмерный аналог рассмотренной выше ямы, для которого потенциал равен нулю при значениях радиальной координаты 0 <<r <<a и V0 — снаружи, где r= (х2 + у2 + z2)1/2. Еще один часто используемый потенциал — V(x) =1/2kx2,, V(p) = \/2kp2 и V(r) = \/2kr2 для параболической потенциальной ямы в одно- дву- и трехмерном случае соответственно. На рис. 14.14 показана схема такой потенциальной ямы в одномерном случае.
Другой характеристикой заданного энергетического уровня Еп является число электронов, которые могут на нем находиться одновременно. Оно зависит от количества различных комбинаций квантовых чисел, соответствующих этому уровню энергии. Из уравнения (14.6) видно, что для одномерной прямоугольной ямы каждому уровню энергии соответствует только одно значение квантового числа n. Электрон также имеет спиновое квантовое число. ms, принимающее только одно из двух значений, ms = +1/2 и ms = —1/2. Для одномерной прямоугольной ямы оба спиновых состояния обладают одинаковой энергией. В соответствии с принципом запрета Паули, никакие два электрона в системе не могут иметь один и тот же набор квантовых чисел, так что на каждом уровне энергии Еn одномерной прямоугольной потенциальной ямы могут находиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами. Количество наборов квантовых чисел, соответствующих каждому уровню энергии, называется его вырождением, так что вырождение всех уровней одномерной прямоугольной ямы равно двум.
Частичная локализация
В трехмерной сфере Ферми энергия электронов может непрерывно изменяться от Е = 0 до Е = ЕF на поверхности Ферми. При наличии локализации по одному или двум измерениям электроны проводимости в ограниченных направлениях распределяются по соответствующим уровням потенциальных ям, лежащим ниже уровня Ферми, с учетом их вырождения di, и на каждом таком уровне в делокализующихся направлениях они заполняют уровни энергии Ферми-газа в k- пространстве. В Таблице 14.5 приведены выражения для зависимости количества электронов N{E) от энергии Е дляквантовых точек (полная локализация), квантовых проволок и ям (частичная локализация) и объемного материала (локализации не возникает), а также выражения для плотности состояний D(E) для этих четырех случаев. Эти выражения следует суммировать по разным локализованным состояниям в i квантовых объектах. Таблица 14.5. Количество электронов n иплотность состояний D(E) = dN(E)/De какфункция энергии Е для локализованных/делокализованных электронов в квантовых точках, проволоках, ямах и объемном материале
  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Многие свойства хороших проводников электричества объясняются в модели, в которой валентные электроны в металле отделяются от своих атомов и становятся делокализованными электронами проводимости, способными свободно передвигаться по остову из положительных ионов, таких как Na+ или Ag+. В среднем между соударениями они проходят расстояние l, называемое длиной свободного пробега, как уже упоминалось в параграфе 14.3. 1. Из-за способности двигаться в металле почти без помех такие электроны ведут себя как газ, называемый Ферми-газом. Их кинетическая энергия равна
,
В предыдущем параграфе рассматривалась локализация электронов в объектах разной размерности и было установлено, что это всегда приводит к качественно похожим наборам дискретных энергий. Это верно для широкого класса потенциальных ям безотносительно к их форме и количеству измерений. В параграфе 14.3.3 также было показано, что модель Ферми-газа для электронов, делокализованных вдоль разного количества измерений, приводит к существенно отличающимся друг от друга результатам. Это означает, что многие электронные и другие свойства металлов и полупроводников радикально изменяются при переходе от трехмерных к малоразмерным структурам. Некоторые интересные с практической точки зрения наноструктуры обладают свойствами локализации электронов в одном или двух измерениях и одновременной их делокализации в двух или одном оставшемся. Интересно рассмотреть, как сосуществуют эти два радикально отличных типа поведения электронов.
На рис. 14.15 приведены графики зависимостей количества электронов N(E) и плотности состояний D(E) от энергии E для четырех перечисленных в Таблице 14.5 структур. Однако определяющим фактором влияния на различные электронные и иные свойства обладает плотность состояний D(E), а она в рассматриваемых случаях трех наноструктур радикально различается. Это означает, что природа размерности и локализации, связанной с конкретной наноструктурой, оказывает явно выраженное влияние на ее свойства. Такое рассмотрение можно использовать для предсказания характеристик наноструктур, а также для идентификации типа структуры по ее свойствам.