|
Операторы дифференцирования и передаточные функции. Преобразования Лапласа.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами удобно записывать в символической операторной форме , (3-10) где символ назван оператором дифференцирования, n-ая производная от будет . Дифференциальные уравнения высокого порядка, имеющие производные в левой и правой части, в операторной форме примет вид , (3-11) где , . Многочлен называют собственным оператором объекта (элемента), а многочлен -входным оператором. Собственный оператор характеризует собственное движение описываемого объекта (элемента), то есть движения при отсутствии внешних воздействий. Входной опрератор характеризует воздействие, приложенное к объекту (элементу). Отношение входного оператора к собственному оператору называют передаточной функцией объекта (элемента АСР), описываемого линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. , тогда решение уравнения (3-11) может быть найдено в виде алгебраического уравнения (3-12) Идею перехода к алгебраическому методу решения дифференциальных уравнений дал английский физик Хэвисайд, который и ввел символ . Однако при решении ряда задач с не нулевыми начальными условиями использование оператора дифференцирования не давали адекватного ответа. Строгое математическое обоснование такого перехода дал Пьер Симон Лаплас и этот метод получил название операционного исчисления или метод преобразований Лапласа, согласно которому решение дифференциальных уравнений переводится из плоскости оригиналов (плоскости действий переменной t) в плоскость изображений (переменной S). Выполняя действия над изображением оригинала получают изображение ответа. А затем по изображению ответа ищут его оригинал. Допустим имеем функцию , предположим, что эта функция удовлетворяет условиям Дерихле, существо которых: а) непрерывность функции и ее производных, это значит в исследуемом интервале функция не имеет разрыва, б) функция абсолютно интегрируема, т.е. интеграл функции от 0 до ∞ есть конечное число Возьмем интеграл от функции , где комплексная переменная, тогда интеграл уже не будет функцией от , но станет функцией от S. Обозначим Этот интеграл назван изображением функции по Лапласу, а то действие, которое отражает этот интеграл, называется прямое преобразование Лапласа. Принято записывать прямое преобразование по Лапласу как , которое называют так же L-преобразованием. Для большого количества функций изображения найдены. Например, изображение постоянной величины: . будет , если в действительной плоскости , то в плоскости изображений 1 становится величиной . Изображение производной : ; . Американский математик Карсон предложил ввести преобразования вида , то есть практически изменил масштаб величины. Законы, установленные Лапласом, остаются, но при этом остается 1, а число числом . Запишем исходное уравнение
(3-13) в изображениях по Лапласу, умножив обе части уравнения на , получим (3-14) Проинтегрируем уравнение (3-14) в области от 0 до ∞ (3-15) Пусть имеем нулевые начальные условия, то есть ; , тогда в изображениях по Лапласу уравнение (3-15) примет вид (3-16) или (3-17) Последнее означает, что решение дифференциального уравнения в действительной плоскости –плоскости действительной переменной перевели в плоскость изображения- плоскость комплексной переменной , и решают это уравнение как алгебраическое. Далее по найденному изображению ответа находят его оригинал. Для нахождения оригинала ответа надо воспользоваться обратным изображением Лапласа , для этого существует таблица функций обратных переходов. Преобразуем дифференциальное уравнение, описывающее движение системы (3-11), по Лапласу, предположив нулевые начальные условия при его решении, введем обозначения: и , где и - изображения функции оригинала и получают , (3-18) здесь , При нулевых начальных условиях . Используя обозначение , решение уравнения (3-18) примет вид Это уравнение связывает изображения выходной координаты системы с изображением -входного воздействия. Функция - характеризует динамические свойства системы и называется передаточной функцией . Она представляет собой отношение изображения по Лапласу выходной координаты системы к изображению по Лапласу входного воздействия при нулевых начальных условиях. Подобное определение функции не находится в противоречии с ранее данным определением передаточной функции , т.к. для решения системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях комплексная переменная отождествлена с оператором дифференцирования . Таким образом, зная передаточную функцию системы и определив изображение воздействия , приложенного к системе, можно найти изображение выходной координаты системы y(t), а затем, переходя от изображения y(s) к оригиналу , получить процесс изменения выходной координаты при наличии входного воздействия. Имея передаточную функцию нетрудно определить амплитудно-фазовую характеристику этой системы, заменив на , где: -частота нанесения входного воздействия и при установившемся колебательном движении системы – частота изменения ее выходной координаты.
ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|