Полный факторный эксперимент и расчет коэффициентов регрессии.

Планирование работы эксперимента. Различают активный и пассивный эксперимент. Пассивный – это сбор статистического материала в ходе эксплуатации оборудования, либо эксперимента с поочередным варьированием факторов. Различают несколько планов эксперимента. Один из основных – это полный фактор эксперимента (ПФЭ).

П.Ф.Э. – такое планирование эксперимента, при котором реализуются все сочетания из k факторов на выбранных уровнях.

Уровни – отдельные значения факторов, при которых проводится эксперимент.

При планировании эксперимента факторы приводятся к безразмерному виду.

Пусть требуется исследовать связь между выходом продукта в зависимости от 3-х факторов:

Y=f (Z₁, Z₂, Z₃)

Z₁ – температура, Z₂ – давление, Z₃ – время пребывания;

50⁰ С 50⁰ С

T

100, 200 – уровни исследования

Эксперимент проводится только на границах: на 2-х уровнях

Определяется ср. знач. интервала:

(1)

Точка называется основным уровнем или центром плана.

Определяется значение подинтервала (100,150), (150,200):

(2)

j – номер фактора

- интервал варьирования.

Переводим к безразмерному виду фактор :

(3)

В центре плана все факторы = 0

На верхней границе исследования значения всех безразмерных факторов = +1, на нижней границе = -1.

После этого приступают к планированию эксперимента.

Количество опытов в П.Ф.Э.: N=q^k (q – число уровней, k- количество факторов)

q=2 (опыты ставятся на верх или нижн границе)

N=2^k

План эксперимента (матрица эксперимента):

Свойства плана:

1. ∑x_jix_ui = 0; j=0…k (4)

Это свойство называется свойством ортогональности

2. ∑x_ji = 0; j=1…k (5)

3. =N; j=0…k (6)

N – число опытов

П.Ф.Э. позволяет описать область исследования уравнением регрессии, которое включает в себя как линейные эффекты, так и эффекты взаимодействия. То есть в случае 3-х факторов уравнение регрессии будет иметь след. Вид:

y=b₀+ b₁ x₁+ b₂ x₂+ b₃ x₃ +b₁₂ x₁ x₂+b₁₃ x₁ x₃+b₂₃ x₂ x₃+b₁₂₃ x₁ x₂ x₃ (7)

b₁, b_2, b₃ – линейные эффекты, остальные – эффекты взаимодействия.

Этот план можно использовать, если объект удовлетворяет уравнению (7), (если есть квадратичные эффекты, то ПФЭ не подходит)

Поставили эксперимент, получили y₁…y₈.

Нужно рассчитать коэффициенты исходя из матричного уравнения (X^TX)B=(X^TY)

X^TX=

… … …

Диагональные эксперименты – квадраты (...)

По свойствам 1,3:

X^TX = - диагональная матрица

(X^TX)^-1 =

X^TY =

b_j = (8)

Исходя из (8) вытекает:

1. Коэффициенты регрессии рассчитываются независимо друг от друга по формуле (8)

2. Коэффициенты регрессии не коррелированны между собой, а это значит, что они являются несмешанными оценками соответствующих генеральных коэффициентов.

b_j B_j

b_j – генеральная оценка B_j

(b_j учитывают только фактор x_j)

Пусть y₁…y₈ = 1…8 соответственно

= -1

x₀ – фиктивная переменная

= 0

Так как коэффициенты регрессии не коррелированны, критерий Стьюдента рассчитывается отдельно для каждого коэффициента

– ошибка коэффициента рассчитывается с учетом ковариационной матрицы X, но так как диагональные элементы ковариационной матрицы одинаковы, ошибки коэффициентов также будут одинаковы и рассчитываются по формуле

(9)

Матрица планирования обладает также свойством рототабельности.

Ошибка уравнения в соответствии с законом накопленных ошибок рассчитывается по формуле:

· · (10)

= =…= = (11)

(12)

p – радиус сферы в k-мерном пространстве из (12) вытекает:

1. Ошибка ур-я увел-ся с увел-ем радиуса сферы.

2. Ошибка ур-я для эквидистантных точек, находящихся на поверхности сферы радиуса p одинаковы.

Это свойство рототабельности.

Обработка ПФЭ состоит из 3-х основных этапов:

1. Расчет коэффициентов регрессии.

2. При наличии параллельных опытов оценка значимости коэффициентов по кр. Стьюдента по сравнению с ошибкой эксперимента.

3. Проверка адекватности уравнения по кр. Фишера.

Динамические модели, временная и операторная формы представления моделей.

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: