Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Расчет сжато-изгибаемых деревянных элементов на прочность по деформированной схеме





4.11. При расчете сжато-изгибаемых элементов на прочность по краевым напряжениям учитывается добавочный момент в деформируемом стержне от продольной сжимающей силы Nс в упругой постановке решения данной задачи. Расчетный деформационный изгибающий момент Mд при этих условиях равен сумме моментов от поперечной нагрузки и продольной силы Mд = M + Nсfд, где fд - полный прогиб от действия M и Nс.

В случае симметричного изгиба шарнирно закрепленного по концам стержня, нагруженного синусоидальной или распределенной (с допустимой погрешностью) поперечной нагрузкой, справедлива известная зависимость fд = f/(1 - Nс/Nэ), f = M/Nэ, откуда fд = M/(Nэ - Nс), соответственно

Mд = M + NсM/(Nэ - Nс) = M[1 - Nс/(Nэ - Nс)] = M/(1 - Nс/Nэ) = M/ξ,

где Nэ - критическая сжимающая сила по Эйлеру и

ξ = 1 - Nэ/Nэ = 1 - Nс/(φ0RсFбр).

Соответственно в формуле (30) СНиП II-25-80 для любой гибкости φ определяется по формуле (8) СНиП II-25-80 φ = 3000/λ2 и может быть больше единицы. После подстановки выражения для φ в (30) получим ξ = 1 - λ2N/(3000RсFбр).

Для шарнирно закрепленного по концам сжато-изгибаемого стержня постоянного сечения при симметричной нагрузке из общего решения дифференциального уравнения изогнутой оси в тригонометрических рядах имеем

Mд = , (10)

где Mi - коэффициенты в формуле разложения эпюры моментов M от поперечной нагрузки

(11)

Если учесть, что

1 + Nс/(Nэi2 - Nс) = 1/(1 - Nс/Nэi2) и Nс/Nэ = 1 - ξ, то

Mд = (12)

Представим

Mд = βнM/ξ,

где

βн = (ξ/M) (13)

Из анализа знаменателей членов данного ряда следует, что для

i = 1 1 - (1 - ξ)/i2 = ξ, а для i ≥ 3 1 - (1 - ξ)/i2 ≈ 1,

где из (13) получаем

βн = (M1/M) + ξ (14)

Обозначим

M1/M = m, а так как ,

то

(1/M) = 1 - m,

откуда с учетом (14) получаем

βн = m + ξ(1 - m). (15)



Таблица 16

αн = 1,62 αн = 0,81 αн = 1,22 αн = 2,44/(3 - 4а2/l2) αн ≈ 1
m = 2/π m = 4/π m = 8/π2 m = 4lsin (aπ/l)/(π2а) m = 32/π3

Для определения величины деформационного момента Mд вместо формулы Mд = βнM/ξ, в которой коэффициент, учитывающий схему поперечной нагрузки, введен в числитель, в нормах соответствующий коэффициент перенесен в знаменатель и принята формула

Mд = M/(Kнξ), (16)

где коэффициент Kн = αнξ(1 - αн) вводится прямым образом к ξ, что логичнее.

Выражение для Kн по структуре аналогично выражению для βн. Значения самих коэффициентов m и α (табл. 16), βн и Kн связаны между собой αн ≈ 1/m; Kн ≈ 1/βн. Коэффициенты αн и Kн находятся из приближенной зависимости с погрешностью, не превышающей 3 % для αн и 1,5 % - для Кн.

4.12. При разложении несимметричной нагрузки на симметричную C и кососимметричную K составляющие, соответствующие им формы деформирования, выражаются в виде одной и двух полуволн с гибкостями λс = l/r, λк = l/(2r) и одинаковой сжимающей силой Nс для определения коэффициентов ξс и ξк.

Здесь l - длина всего стержня, шарнирно закрепленного по концам;

r - радиус инерции поперечного сечения в плоскости деформирования.

Рис. 5. Пример разложения несимметричной схемы нагружения на симметричную и кососимметричную

Рис. 6. Расчленение разнозначной эпюры моментов

Если коэффициенты αнс ≠ 1 и αнк ≠ 1, то формула (32) СНиП II-25-80 принимает следующий вид

Mд = Mс/(Kнсξс) + Mк/(Kнкξк). (17)

Когда в пределах каждой половины кососимметричного нагружения сохраняется асимметрия, производить дальнейшее разбиение на C и K не следует, так как возникающая при этом погрешность незначительна.

Пример разложения несимметричной схемы нагружения на C и K показан на рис. 5, значения коэффициентов αнс и αнк приняты по табл. 16. При разнозначной эпюре моментов она расчленяется на плюсовую и минусовую, а затем, если одна из них или обе несимметричные, производится их разделение на C и K (рис. 6.)

4.13. Для решения задачи в случае постоянной сжимающей силы по длине стержня, шарнирно закрепленного по концам, применим принцип суперпозиции. Значение момента M для расчетного сечения в пролете при этом условии выражается ввиде алгебраической суммы его составляющих

Mд = . (18)

Сжимающая осевая сила N при шарнирном закреплении стержня по концам не влияет на величины опорных моментов и они не будут изменяться.

Для расчетной схемы по рис. 6 момент в пролете

Mд = -M1/(Kн1ξс) + M2(l/2 - x)/(Kн2ξкl/2) + Mx/(Kизξс),

где

M1 = (MА + MВ)/2, MА > MВ; M2 = (MА - MВ)/2;

Mx = qx(l - x)/2;

используя формулу (31) СНиП II-25-80 и коэффициенты из табл. 16, находим

Kн1 = 0,81 + 0,19ξс; Kн2 = 1,62 - 0,62ξк; Kиз ≈ 1;

ξс = 1 - λ2сN/(3000RсF); ξк = 1 - λ2кN/(3000RсF);

λс = l/r = 2λк.

4.14.При расчете сжато-изгибаемых стержней, заделанных одним или обоими концами, необходимо учитывать упругость их защемления. Это объясняется невозможностью обеспечить для деревянных элементов жесткое защемление из-за возникающих напряжений смятия поперек волокон и соответствующих им больших деформаций, а также других причин, приводящих к повороту торцового сечения. Данное обстоятельство учитывается при расчете на устойчивость центрально сжатых элементов путем увеличения значений коэффициента μ0 (см. п. 4.21 СНиП II-25-80).

Опорные моменты в стержне i - j с упругим защемлением обоих концов равны

Mi = miM0j + KjM0i)/[2(KiKj - β2)]; (19)

Mj = mjM0i - KiM0j)/[2(KiKj - β2)].

Опорный момент в стержне ij с упругим защемлением одного i-го конца следует определять по формуле:

(20)

В формулах (19) и (20) приняты следующие обозначения:

M0 - опорный момент при жестком защемлении определяется: при действии поперечной нагрузки и продольной силы по табл. 17.5; при перемещении опор и действии продольной силы - по табл. 17.6.

(«Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический», кн. 2, М., 1973 г.);

mi(j) = μi(j)l/(EJ) - безразмерный параметр упругого защемления (μ - коэффициент жесткости опоры, имеющий размерность момента);

Ki(j) = 0,5mi(j) + α,

где α, β, - функции аргумента , где N - продольная сила («Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический», М., 1960, табл. 16.30).

Значения параметра упругого защемления m принимаются по экспериментальным данным. При отсутствии таких данных допускается принимать mi(j) = 5,4 для стержня на двух опорах и mi(j) = 9,9 для стержня с одним свободным концом, что соответствует указанному выше увеличению коэффициента μ0.

4.15. Расчет сквозных конструкций с неразрезными сжато-изгибаемыми поясами следует производить по деформированной схеме, как правило, на ЭВМ по стандартным программам.

Допускается приближенно определять деформационные узловые изгибающие моменты в поясах, используя значения осевых усилий и перемещений узлов из расчета конструкции по недеформированной схеме как шарнирно-стержневой статически определимой системы. Пояс рассматривается далее как неразрезная балка, испытывающая воздействие осевых сил, поперечной нагрузки и осадки опор (перемещений соответствующих узлов конструкций). Расчет пояса следует вести в соответствии с п. 17.3.4 («Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический», кн. 2, М., 1973). При расчете методом перемещений (уравнение трех углов поворота) для определения части грузовой реакции (опорного момента защемления) rkо, вызванной осадкой опор, следует пользоваться данными табл. 17.7 того же справочника.

Помимо указанных в пункте 17.3.4 методов расчета при числе неизвестных более двух возможно также применение метода последовательных приближений [способ распределения моментов, см. п. 5.8.1 («Справочник проектировщика Расчетно-теоретический», М., 1960 г.)]. При расчете по деформированном схеме, в отличие от обычного расчета, коэффициенты распределения неуравновешенного момента в i-м узле равны

Ki,i-1 = -ri,i-1/(ri,i-1 + ri,i+1);

Ki,i+1 = -ri,i+1/(ri,i-1 + ri,i+1),

а коэффициент передачи (переноса) равен

μ = β/α,

где r - единичные реакции (моменты защемления от единичного поворота узла), значения которых:

В приведенных формулах α, β, - функции Н.В. Корноухова (см. «Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический». М., 1980, табл. 16.30).

Наибольшее значение деформационного изгибающего момента в стержне i - j длиной l определяется исходя из известных величии концевых (опорных) деформационных моментов Mдi и Mдj, поперечной нагрузки и постоянного осевого усилия N по методике, приведенной ниже.

Положительным считается момент, растягивающий нижнее волокно. Деформационный изгибающий момент в точке с координатой (расстоянием от i-го конца стержня) x определяется по формуле

Mдx = Asin (vx/l) + Bcos (vx/l) + C, (21)

где

A = Aо + ΣAп;

B = Bо + ΣBп;

C = ΣCп;

(индекс «о» относится к членам, определяемым величиной опорных деформационных моментов; индекс «п» - видом и величиной поперечной нагрузки).

Значения коэффициентов Aп, Bп и Cп вычисляются, используя табл. 17. Коэффициенты Aо и Bо равны

Aо = (Mдi - Mдj cos v)/sin v;

Bо = Mдi,

где

.

Величины A, B, C необходимо вычислить отдельно для каждого участка по длине стержня с границами в точках приложения сосредоточенных сил. При этом независимо от рассматриваемого участка всегда учитывается вся поперечная нагрузка, действующая на стержень.

Таблица 17

Коэффициент уравнения моментов Схема нагрузки
при xKl при x > Kl
Aп ql2cos2 θ(1 - cos v)/(v2 sin v) Plcos θ sin [(1 - K)v]/(v sin v) -Plcos θ sin (Kv)/(v tg v)
Bп ql2cos2 θ/v2 Plcos θsin (Kv)/v
Cп -ql2cos2 θ/v2

4.16.Координаты сечений с экстремальными значениями изгибающих моментов определяются по формулам

xэ1 = 0

xэк = lψк/v, (K = 2, 3, …), (22)

где

ψк = arcsin (A/M) + (K - 2)π;

M = S(B) ;

Рис. 7. Схема загружения стержня

Отбор пригодных значений xэ производится из условия 0 ≤ xэкl. При xэк < 0 принимается xэк = 0, при xэк > l принимается xэк = l. После каждого вычисления xэ необходимо дополнительно проверять принадлежность точки тому участку, для которого определены параметры A, B и C. Если это не выполняется, то следует вновь вычислить указанные параметры, исходя из принадлежности точки следующему участку, и заново определить xэ.

Если при этом окажется, что xэ принадлежит не данному, а предыдущему участку, то принимается

xэк = xгр,

где xгр - координата границы между рассмотренными участками.

Экстремальные значения деформационных моментов Mэк определяются из (21) при x = xэ по (22).

Наибольший по абсолютной величине деформационный изгибающий момент в пределах пролета i - j определяется сравнением его экстремальных значений.

Пример. Определить наибольший деформационный изгибающий момент в стержне 1-2 по рис. 7. Стержень имеет постоянное сечение с изгибной жесткостью EJ = 1600 кН×м2.

Стержень разбит по длине на три участка с границами в точках приложения сосредоточенных сил. Коэффициенты A, B, и C уравнения моментов будем определять отдельно для каждого участка.

Вычислим параметр сжимающей нагрузки v и другие величины, необходимые для расчета

= = 1,5; v2 = 2,25; sin v = 1; cos v = 0,0707; tg v = 14,1.

Относительная координата точки приложения первой сосредоточенной силы K1 = xгр1/l = 1/3, второй силы K2 = xгр2/l = 2/3. Соответственно

sin [(1 - K1)v] = 0,841; sin (K1v) = 0,479;

sin [(1 - K2)v] = 0,479; sin (K2v) = 0,841,

cos θ = 1.

Вычислим коэффициенты уравнения моментов

Aо = (Mд1 + Mд2cos v)/sin v = (-9 + 7×0,0707)/1 = -8,5 кН×м;

Bо = Mд1 = -9 кН×м.

Вторые слагаемые коэффициентов A, B, C, зависящие от вида и величины поперечной нагрузки, будем вычислять отдельно для каждого участка.

Участок 1.

ΣAп = ql2cos2 θ(1 - cos v)/(v2sin v) + P1lcos θsin [(1 - K1)v]/(v sin v) +P2cos θsin [(1 - K2)v]/(vsin v) = 13×32×12(1 - 0,0707)/(2,25×1) + 5×3×1×0,841/(1,5×1) + 5×3×1×0,479/(1,5×1) = 61,52 кН×м;

ΣBп = ql2cos2 θ/v2 = 13×32×12/2,25 = 52 кН×м;

ΣC = -ql2cos2 θ/v2 = -13×32×12/2,25 = -52 кН×м.

Участок 2.

ΣAп = ql2(1 - cos v)cos2 θ/(v2sin v) - P1lcos θsin (K1v]/(vtg v) + P2lcos θsin [(1 - K2)v]/(vsin v) = 13×32(1 - 0,0707)12/(2,25×1) - 5×3×1×0,479/(1,5×14,1) + 5×3×1×0,479/(1,5×1) = 52,77 кН×м;

ΣBп = ql2cos2 θ/v2 + P1lcos θsin (K1v)/v = 13×32×12/2,25 + 5×3×1×0,479/1,5 = 56,79 кН×м;

ΣCп = -ql2cos2 θ/v2 = -13×32×12/2,25 = -52 кН×м.

Участок 3.

ΣAп = ql2(1 - cos v)cos2 θ/(v2sin v) - P1lcos θsin (K1v)/(vtg v) - P2lcos θsin (K2v)/(vtg v) = 13×32(1 - 0,0707)12/(2,25×1) - 5×3×1×0,479/(1,5×14,1) - 5×3×1×0,841/(1,5×14,1) = 47,39 кН×м;

ΣBп = ql2cos2 θ/v2 + P1lcos θsin (K1v)/v + P2lcos θsin (K2v)/v = 13×32×12/2,25 + 5×3×1×0,479/1,5 + 5×3×1×0,841/1,5 = 65,2 кН×м;

ΣCп = -ql2cos2 θ/v2 = -13×32×12/2,25 = -52 кН×м.

Коэффициенты A, B, и C равны

C = ΣCп = -52 кН×м на всех участках.

Определим для всех участков :

Координата первой точки экстремального значения момента xэ1 = 0. Для второй точки, предполагая, что она находится на первом участке, определим

ψ2 = arcsin (A/M) = arcsin (53,02/68,3) = 0,889,

тогда

xэ2 = ψ2l/v = 0,889×3/1,5 = 1,78 > xгр1.

Наше предположение оказалось неверным. Определим заново значение ψ2, предполагая, что точка находится в пределах второго участка,

ψ2 = arcsin (A/M) = arcsin (44,27/65,14) = 0,747.

Соответствующая координата

xэ2 = ψ2l/v = 0,747×3/1,5 = 1,494 м.

Эта точка находится в пределах второго участка, так как

xгр1 < xэ2 < xгр2.

Определим параметр ψ3 третьей точки, предположив, что она расположена на втором участке,

ψ3 = arcsin (A/M) + π = arcsin (44,27/65,14) + 3,14 = 3,89.

Соответственно,

xэ3 = ψ3l/v = 3,89×3/1,5 = 7,78 м > xгр2.

В предположении, что третья точка находится на третьем участке, находим

ψ3 = arcsin (A/M) + π = arcsin (38,89/68,3) + 3,14 = 3,75

и

xэ3 = 3,75×3/1,5 = 7,5 > l.

Из этого следует, что xэ3 = l.

Вычислим значение изгибающего момента в точке xэ2:

Mэ2 = Asin (vxэ2/l) + Bcos (vxэ2/l) + C = 44,27 sin (1,5×1,494/3) + 47,79cos (1,5×1,494/3) - 52 = 13,15 кН×м.

Таким образом, экстремальные значения изгибающий момент имеет на концах стержня (Mэ1 = Mд1 = -9 кН×м и Mэ3 = Mд3 = -7 кН×м) и в одной точке в пролете.

По абсолютной величине наибольшим является момент в пролете

Mэ2 = Mд2 = 13,15 кН×м.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.