Частица в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

Это описание потенциальной ямы. Б. рассматривать стац сост, (т.к. U не зав от t), => определяемое УШ

Учтём Wпот с пом гр условий: ψ(0)= ψ(а)=0 (частица не м проёти ч-з стенку, т.е. волн. ф-я =0)

УШ оказалось таким же как и для свободной частицы, но н. учитывать граничные условия

Волновая ф-я получилась вещественной (координатная часть)

В частности такого рода задачи хорошо описывают состояние элекрона в проводнике достат больш размеров:нуклон в ядре, но это грубая модель.

(!)Волновая ф-я принимает «0» значение – это Узел волн-й ф-ии. Кол-во узлов = n-1 эта особ-ть всегда реализована.

В классической Ф энергия может принимать любые значения, а в квантовой получились квантованными:

Это говорит о том, что квантовая стремится к классической при предельном переходе.

р = ±1чётность сост (кв число) – отраж св-во физ с/с. Это пол-ся в том случ если Wпот симметрична. Т.е. U(-x)=U(x) (чётная)

Рас-м горку с высотой H и на неё накатывается объект: 1 если

-прохождение

Запишем исходное Ур-е Шредингера

если {

, то

если {

, то

обозначим за

Слева от барьреа частица свободна и ф-ция состояния известна:

.. Справа от барьера потенц. энергия постоянна, и ф-ция состояния имеет вид:

- это волна, падающая на барьер слева(А-волна произвольная, остальные выраж. ч/з неё, В-отражённая волна).

(1 слаг) – волна, прошедшая за барьер во 2 область(прошедшая).

(2 слаг) – волна, идущая во второй области налево(волна к-я имеет место под барьером). D=0 отражается не от него. Задача в том, чтобы рассчитать вероятность отражения от барьера и проникновения за барьер частиц в случаях U < E, U > E. Задача – в нахождении коэфф. A,B,C-const.

где

=n-концентрация, плотность потока числа частиц равна

-импульс k-волновое число. Определим плотность падающего потока

(т.е. какая то доля частиц проникает ч/з барьер и продолжает движение). Коэфицент отражения

(доля отразилась от барьера)

решаем с-му и находим умножая 2-е ур-е на g

т.к.

, то

приводим к общему знаменателю

найдём

если мы проверим, то получим что общий поток

Далее нас интересует отраженная и прошедшая через барьер волна:

1 случай.

Здесь Е-частицы U-пот. Барьера.

Т.о. поток частиц с энергией, превыш. частоту барьера, частично отражается и частично проникает за него. если

где

вещ. действительная величина.

т.е. весь поток отражается

Здесь

, т.е. имеется некоторая вероятность прохождения за барьер.

. Т.к.

, то корень – мнимый.

. Такова вероятность проникновения частицы за барьер.

13.Потенциальный барьер конечной ширины. Туннельныйэффект.

,U(x)=U при

, U(x)=0 при

, где а – ширина барьера. Ввиду малых радиусов сила отталкивания велика. Т.е. трудность ядерного синтеза. Слева от барьера частица свободна и ф-ция состояния известна:

- это волна, падающая на барьер слева(A – падающая, B - отраженная) Внутри барьера потенц. энергия постоянна и

(1слаг -С) – волна, прошедшая за барьер во внутреннюю область.

(2слаг -D) – волна, идущая во второй области обратно, отразившись от второй стенки барьера. Справа от барьера ф-ция состояния имеет вид:

. (1слаг-F) волна прошедшая через барьер. 2слаг - G=0, т.к. справа на барьер волна не идет. Задача в том, чтобы рассчитать вероятность отражения от барьера и проникновения в барьер и за барьер частиц в случаях U ₀< E, U ₀> E. Задача – в нахождении коэфф. B,C,D,F через А. Рассмотрим

- плотность потока вероятности, где

- концентрация,

, т.е.

. Тогда

- плотность потока падающих частиц.

отраженных в 1ю область.

- прошедших во 2ю область (во внутрь барьера)и падающих на вторую стенку барьера.

отраженные от 2й стенки внутри барьера.

- прошедших сквозь 2ю стенку, т.е. сквозь барьер. Тогда

коэффициент прохождения барьера, а

- коэффициент отражения. Используем граничные условия

. Получим

. Изначально

1 случай.

.Если

тогда

Коэффициент у отраженной волны не равен 0. Т.е. имеется вероятность отражения частицы обратно в 1 область. Т.о. поток частиц с энергией, превыш. частоту барьера, частично отражается и частично проникает за него. 2 случай.

. Здесь, имеется некоторая вероятность прохождения за барьер. Т.к.

, то корень – мнимый.

, где

, тогда получаем

Зная, что

, получаем

, тогда

. Если

, то

, получаем

Упрощается формула

или можно записать

. Эту формулу можно обобщить для барьера произвольной формы, разобьем барьер на множество узеньких барьеров и сведем задачу к предыдущей, т.е.

- для случая произвольной формы. Туннельный эффект. Выше был рассмотрен случай когда

- дефицит энергии при бесконечно протяженном барьере. Т.е.

, где

- действительная.Вероятность отражения

. Т.е. частицы (некоторые из них) проходят за барьер на небольшую глубину, а затем возвращаются в первую среду. (Полное внутреннее отражение света). Тогда волновая функция имеет вид

- вид затухающей экспоненты..

. Но если сужать барьер будет заметно прохождения частицы через барьер Т.о. имеется отличная от 0 вероятность прохождения через потенц. барьер, при условии что кин-кая энергия мкч-цы меньше потенц. высоты барьера. Это туннельный эффект. Нужно малая масса частицы, небольшой дефицит энергии и небольшая ширина барьера. Туннельный переход объясняет a-распад ядер (преодоление a частицей потенц. барьер притяжения ядерных сил), движения электрических зарядов в полупроводнике, эмиссия электронов с “холодной” пов-ти металла. Также реакции ядерного синтеза – слияние легких ядер в тяжелые, идет с преодолением потенц. барьера электрич. отталкивания ядра. Преодолеть барьер – за счет высокой скорости ядер.

Колебательная сис-ма, облдающ. Определенной энергией

Это сис-ма, описанная ур-ем U=kx²/2, где k- коэф-нт жесткости

- это заданный параметр – частота осциллятора

Будем рассматривать решение удовлетворяющее условию

Ур-ние (1) имеет решение удовлетворяющее требованию

, при условии что λ=2n+1 – нечетных, где n = 0,1,2,3,...

Энергия осциллятора квантована. Имеется дискретный набор уровня или значения энергии расположенных на равных растояниях друг от друга. Растояние между осью и n=0 равно ћω/2, между всеми остальными уровнями -

Движение на микроуровне принципиально неинючтожимо

Получили дискретный энергетический спектр. При переходе ч-цы с одного эн-кого ур-ня на соседний либо изл-ся, либо погл-ся квант эн-гии величиной ћω.(хвосты представляют из себя подобие туннельного эффекта).

1. В стац-ных полях, типа потенц-ной ямы возможны стац. сост-я с дискр-ми ур-нями эн-гии.

2. Мин-ные знач-я эн-гии таких систем отличны от 0. Это соотнош-е невозможностей абс. покоя и абс. локализации ч-цы в некот. точке простр-ва (принцип необходимости Гейзенберга)

3. В стац-ых сост-ях коор-та и импульс не имееют определённых значений → разделить эн-гию на кин. и потенц-ю невозможно.

4. Квантование эн-гии характерно для связанных состояний или финитного движения (сис-ма локализована), если дв-ние инфинитно (дв-ние ч-цы не ограничено), то эн-гия прин-ет непрерывный ряд значений.

5. Квантовые ч-цы или микроч-цы способны проникать в классически недоступные обл-ти простр-ва (тунельный эффект).

2 1. Уравнение Шредингера в операторной форме. Гамильтониан. Эволюция среднего значения физической величины.

Уравнение Шредингера в операторной форме.Гамильтониан.

- оператор полной энергии(универсальное выражение и для классич-х и для квант-х величин).

Применив оператор полной эн-гии к волне де Бройля получим:

Оператор энергии является универсальным, он относится к нерелятивиской и к релятивиской механике. С помощью уравнения Шредингера можно описать систему частиц в операторной форме.

(Если Гамильтониан (

) не зависит главным образом от времени, то ур-ние Шред-ра допускает разделение переменных)

То есть допустимые конкретные значения энергии квантовой системы представляет собой собственные значения оператора гамильтона, а волновые функции стационарного состояния – собственные функции.

Эволюция среднего значения физической величины.

Дифференцируя по времени это выражение можно проигнорировать, что А – это оператор, а не какая то функция. Но мы не имеем права этот оператор куда-либо перемещать.