Частица в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

U имеет вид:

Это описание потенциальной ямы. Б. рассматривать стац сост, (т.к. U не зав от t), => определяемое УШ

Учтём Wпот с пом гр условий: ψ(0)= ψ(а)=0 (частица не м проёти ч-з стенку, т.е. волн. ф-я =0)

Ψ(х)≡0, х?[0;a] но волн ф-я д.б. непрерывной

В большинстве задач д.б. такая производная

УШ оказалось таким же как и для свободной частицы, но н. учитывать граничные условия

- такой вид имеет решение УШ

Из требования ψ(0)=0 => ψ(х)=Csinkx

Используем 2 гр усл-е ψ(а)=0 =>

ka = πn, n=1,2,…-гл квант число

Определим константу С:

Волновая ф-я получилась вещественной (координатная часть)

Стац сост всегда м. опис-ся вещ-ым:

Из (*) и(**) квантовая

Интерпретация рез-та имеет больш смысл

Амплитуда одинакова.

По сути это стоячая волна.

Чем уже яма, тем > Емин.

В частности такого рода задачи хорошо описывают состояние элекрона в проводнике достат больш размеров:нуклон в ядре, но это грубая модель.

(!)Волновая ф-я принимает «0» значение – это Узел волн-й ф-ии. Кол-во узлов = n-1 эта особ-ть всегда реализована.

В классической Ф энергия может принимать любые значения, а в квантовой получились квантованными:

Это говорит о том, что квантовая стремится к классической при предельном переходе.

Делаем преобразование координаты х’=х+а/2

д/конкретизации ф-ии

р = ±1чётность сост (кв число) – отраж св-во физ с/с. Это пол-ся в том случ если Wпот симметрична. Т.е. U(-x)=U(x) (чётная)

12.. Прямоуг. бескон. потенц. барьер.

Рас-м горку с высотой H и на неё накатывается объект: 1 если -прохождение

2 если -отражение,

Барьер бесконечной протяженности: .

Запишем исходное Ур-е Шредингера если { , то если { , то обозначим за

Слева от барьреа частица свободна и ф-ция состояния известна: .. Справа от барьера потенц. энергия постоянна, и ф-ция состояния имеет вид: ,

. - это волна, падающая на барьер слева(А-волна произвольная, остальные выраж. ч/з неё, В-отражённая волна). (1 слаг) – волна, прошедшая за барьер во 2 область(прошедшая). (2 слаг) – волна, идущая во второй области налево(волна к-я имеет место под барьером). D=0 отражается не от него. Задача в том, чтобы рассчитать вероятность отражения от барьера и проникновения за барьер частиц в случаях U < E, U > E. Задача – в нахождении коэфф. A,B,C-const.

где =n-концентрация, плотность потока числа частиц равна -импульс k-волновое число. Определим плотность падающего потока

. Коэфицент прохождения-

(т.е. какая то доля частиц проникает ч/з барьер и продолжает движение). Коэфицент отражения (доля отразилась от барьера)

Используем граничные условия .

Получим , , . Также . получили 2 ур-я

решаем с-му и находим умножая 2-е ур-е на g т.к. , то приводим к общему знаменателю

найдём , если мы проверим, то получим что общий поток Далее нас интересует отраженная и прошедшая через барьер волна: , .

1 случай. Здесь Е-частицы U-пот. Барьера. и Т.о. поток частиц с энергией, превыш. частоту барьера, частично отражается и частично проникает за него. если

классический случай

2 случай. . (дефицит энергии)

где вещ. действительная величина. т.е. весь поток отражается

Здесь , т.е. имеется некоторая вероятность прохождения за барьер. . Т.к. , то корень – мнимый. . Такова вероятность проникновения частицы за барьер.

13.Потенциальный барьер конечной ширины. Туннельныйэффект. ,U(x)=U при , U(x)=0 при , где а – ширина барьера. Ввиду малых радиусов сила отталкивания велика. Т.е. трудность ядерного синтеза. Слева от барьера частица свободна и ф-ция состояния известна: . . - это волна, падающая на барьер слева(A – падающая, B - отраженная) Внутри барьера потенц. энергия постоянна и , (1слаг -С) – волна, прошедшая за барьер во внутреннюю область. (2слаг -D) – волна, идущая во второй области обратно, отразившись от второй стенки барьера. Справа от барьера ф-ция состояния имеет вид: , . (1слаг-F) волна прошедшая через барьер. 2слаг - G=0, т.к. справа на барьер волна не идет. Задача в том, чтобы рассчитать вероятность отражения от барьера и проникновения в барьер и за барьер частиц в случаях U ₀< E, U ₀> E. Задача – в нахождении коэфф. B,C,D,F через А. Рассмотрим - плотность потока вероятности, где - концентрация, , т.е. . Тогда - плотность потока падающих частиц. отраженных в 1ю область. - прошедших во 2ю область (во внутрь барьера)и падающих на вторую стенку барьера. отраженные от 2й стенки внутри барьера. - прошедших сквозь 2ю стенку, т.е. сквозь барьер. Тогда коэффициент прохождения барьера, а - коэффициент отражения. Используем граничные условия , и , . Получим . Изначально 1 случай. .

.Если тогда Коэффициент у отраженной волны не равен 0. Т.е. имеется вероятность отражения частицы обратно в 1 область. Т.о. поток частиц с энергией, превыш. частоту барьера, частично отражается и частично проникает за него. 2 случай. . Здесь, имеется некоторая вероятность прохождения за барьер. Т.к. , то корень – мнимый. , где , тогда получаем .

Зная, что , получаем , тогда . Если , то и , получаем Упрощается формула или можно записать . Эту формулу можно обобщить для барьера произвольной формы, разобьем барьер на множество узеньких барьеров и сведем задачу к предыдущей, т.е. - для случая произвольной формы. Туннельный эффект. Выше был рассмотрен случай когда - дефицит энергии при бесконечно протяженном барьере. Т.е. , где - действительная.Вероятность отражения . Т.е. частицы (некоторые из них) проходят за барьер на небольшую глубину, а затем возвращаются в первую среду. (Полное внутреннее отражение света). Тогда волновая функция имеет вид - вид затухающей экспоненты.. . Но если сужать барьер будет заметно прохождения частицы через барьер Т.о. имеется отличная от 0 вероятность прохождения через потенц. барьер, при условии что кин-кая энергия мкч-цы меньше потенц. высоты барьера. Это туннельный эффект. Нужно малая масса частицы, небольшой дефицит энергии и небольшая ширина барьера. Туннельный переход объясняет a-распад ядер (преодоление a частицей потенц. барьер притяжения ядерных сил), движения электрических зарядов в полупроводнике, эмиссия электронов с “холодной” пов-ти металла. Также реакции ядерного синтеза – слияние легких ядер в тяжелые, идет с преодолением потенц. барьера электрич. отталкивания ядра. Преодолеть барьер – за счет высокой скорости ядер.

14. Кв-вый гармонический осциллятор –

Колебательная сис-ма, облдающ. Определенной энергией

Это сис-ма, описанная ур-ем U=kx²/2, где k- коэф-нт жесткости

- это заданный параметр – частота осциллятора

Ур-ние Шредингера будет иметь вид:

Будем рассматривать решение удовлетворяющее условию

Ур-е Эрмита:

Умножим ур-е Эрмита на ћ/mω

x₀- это амплитуда нулевых колебаний осц-ра.

Введём безразмерную координату: Z=x/x₀

(1)

где

Уравнение (1) –это диф-ное ур-е Эрмита,

Ур-ние (1) имеет решение удовлетворяющее требованию , при условии что λ=2n+1 – нечетных, где n = 0,1,2,3,...

где H_n полином Эрмита

Отнормируем на еденицу:

Окончательно получаем:

Энергия осциллятора квантована. Имеется дискретный набор уровня или значения энергии расположенных на равных растояниях друг от друга. Растояние между осью и n=0 равно ћω/2, между всеми остальными уровнями -

Движение на микроуровне принципиально неинючтожимо

(промежуток )

(промежуток )

(промежуток )

Получили дискретный энергетический спектр. При переходе ч-цы с одного эн-кого ур-ня на соседний либо изл-ся, либо погл-ся квант эн-гии величиной ћω.(хвосты представляют из себя подобие туннельного эффекта).

Выводы

1. В стац-ных полях, типа потенц-ной ямы возможны стац. сост-я с дискр-ми ур-нями эн-гии.

2. Мин-ные знач-я эн-гии таких систем отличны от 0. Это соотнош-е невозможностей абс. покоя и абс. локализации ч-цы в некот. точке простр-ва (принцип необходимости Гейзенберга)

3. В стац-ых сост-ях коор-та и импульс не имееют определённых значений → разделить эн-гию на кин. и потенц-ю невозможно.

4. Квантование эн-гии характерно для связанных состояний или финитного движения (сис-ма локализована), если дв-ние инфинитно (дв-ние ч-цы не ограничено), то эн-гия прин-ет непрерывный ряд значений.

5. Квантовые ч-цы или микроч-цы способны проникать в классически недоступные обл-ти простр-ва (тунельный эффект).

2 1. Уравнение Шредингера в операторной форме. Гамильтониан. Эволюция среднего значения физической величины.

Уравнение Шредингера в операторной форме.Гамильтониан.

- оператор полной энергии(универсальное выражение и для классич-х и для квант-х величин).

Применив оператор полной эн-гии к волне де Бройля получим:

( - постулат)

- уравнение шредингера в операторной форме.

Оператор энергии является универсальным, он относится к нерелятивиской и к релятивиской механике. С помощью уравнения Шредингера можно описать систему частиц в операторной форме.

Уравнение Шредингера в операторной форме:

(Если Гамильтониан () не зависит главным образом от времени, то ур-ние Шред-ра допускает разделение переменных)

,

где

- временная часть

- пространств-я часть.

- стац-е ур-е Шред-ра в операторном виде.

То есть допустимые конкретные значения энергии квантовой системы представляет собой собственные значения оператора гамильтона, а волновые функции стационарного состояния – собственные функции.

Гамильтониан системы частиц.

Эволюция среднего значения физической величины.

Есть ч-ца к/т описана волновой ф-ей

Дифференцируя по времени это выражение можно проигнорировать, что А – это оператор, а не какая то функция. Но мы не имеем права этот оператор куда-либо перемещать.

Замена:

После чего получаем:

-оператор произвольной вел-ны A по t

Рассмотрим случай когда опер-р стационарен, т. е. не зав-т от t

если оператор коммутирует с гамильтанианом , т.е. выполняется равенство , то среднее значение соответствующей физич. вел-ны сохр-ся →

для сохранения величины , которой соответствует стационарный оператор, достаточно что бы этот оператор коммутировал с гамильтонианом.

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: