Ординарность потока означает, что событие в нем за достаточно малый промежуток времени, либо наступают по одному, а не серией.

Поток событий наз-ся стационарным если вероятность наступления того, или иного числа событий, за какой либо промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от момента его начала.

Т.о стационарность потока означает, что его числовые характеристики, не зависят от времени.

Поток событий обладающий свойствами ординарности и отсутствия последствий наз-ся ПУАССОНОВСКИМ.

Пуассоновский поток обладающий свойством стационарности наз-ся простейшим Пуассоновским потоком.

Простейший Пуассоновкий поток является самым простым с точки зрения его матричного описания, а вот регулярный поток не смотря на простоту физического описания простейшим не является. И для его описания нужен сложный матричный аппарат.

Интенсивностью или средней плотностью потока, наз-ся среднее число событий потока, наступающих в ед времени причем эта ед выбирается от масштаба и характеристики потока событий.

Несколько потоков называются сравнимыми по интенсивности, если интенсивность любого из них не превосходит суммы интенсивности всех остальных потоков.

Простейший Пуассоновский поток в силу своей стационарности не меняет интенсивность с течением времени.

У не стационарного Пуас потока интенсивность зависит от времени.

Полезная роль простейшего потока состоит в том, что суммарный поток образуемый взаимным наложением достаточно большого числа сравнимых по интенсивности потоков, каждый из которых обладает свойством стационарности, ординарности и отсутствием последствий можно приближенно считать простейшим и приближение будет тем точнее, чем больше число слагаемых потоков.

Случайные процессы. Марковские случайные процессы.

Переход СМО из одного состояния в другое происходит случайным образом и представляет собой случайный процесс. Работа СМО — случайный процесс с дискретными состояниями, поскольку его возможные состояния во времени можно заранее перечислить. Причем переход из одного состояния в другое происходит скачкообразно, в случайные моменты времени, поэтому он называется процессом с непрерывным временем. Таким образом, работа СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Например, в процессе обслуживания оптовых покупателей на фирме «Кристалл» в Москве можно фиксировать заранее все возможные состояния простейших СМО, которые входят во весь цикл коммерческого обслуживания от момента заключения договора на поставку ликеро-водочной продукции, ее оплаты, оформления документов, отпуска и получения продукции, погрузки и вывоза со склада готовой продукции.

Из множества разновидностей случайных процессов наибольшее распространение в коммерческой деятельности получили такие процессы, для которых в любой момент времени характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в настоящий момент и не зависят от предыстории — от прошлого. Например, возможность получения с завода «Кристалл» ликероводочной продукции зависит от наличия ее на складе готовой продукции, т.е. его состояния в данный момент, и не зависит от того, когда и как получали и увозили в прошлом эту продукцию другие покупатели.

Такие случайные процессы называются процессами без последствия, или марковскими, в которых при фиксированном настоящем будущее состояние СМО не зависит от прошлого. Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским случайным процессом, или «процессом без последствия», если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени t₀ вероятность любого состояния t > t₀ системы S_i в будущем (t > t₀) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = t₀) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние, т.е. от того, как развивался процесс в прошлом.

Марковские случайные процессы делятся на два класса: процессы с дискретными и непрерывными состояниями. Процесс с дискретными состояниями возникает в системах, обладающих только некоторыми фиксированными состояниями, между которыми возможны скачкообразные переходы в некоторые, заранее не известные моменты времени. Рассмотрим пример процесса с дискретными состояниями. В офисе фирмы имеются два телефона. Возможны следующие состояния у этой системы обслуживания: S₀ — телефоны свободны; S₁ — один из телефонов занят; S₂ – оба телефона заняты.

Процесс, протекающий в этой системе, состоит в том, что система случайным образом переходит скачком из одного дискретного состояния в другое.

Процессы с непрерывными состояниями отличаются непрерывным плавным переходом из одного состояния в другое. Эти процессы более характерны для технических устройств, нежели для экономических объектов, где обычно лишь приближенно можно говорить о непрерывности процесса (например, непрерывном расходовании запаса товара), тогда как фактически всегда процесс имеет дискретный характер. Поэтому далее мы будем рассматривать только процессы с дискретными состояниями.

Марковские случайные процессы с дискретными состояниями в свою очередь подразделяются на процессы с дискретным временем и процессы с непрерывным временем. В первом случае переходы из одного состояния в другое происходят только в определенные, заранее фиксированные моменты времени, тогда как в промежутки между этими моментами система сохраняет свое состояние. Во втором случае переход системы из состояния в состояние может происходить в любой случайный момент времени.

На практике процессы с непрерывным временем встречаются значительно чаще, поскольку переходы системы из одного состояния в другое обычно происходят не в какие-то фиксированные моменты времени, а в любые случайные моменты времени.

Для описания процессов с непрерывным временем используется модель в виде так называемой марковской цепи с дискретными состояниями системы, или непрерывной марковской цепью.

Рассмотрим математическое описание марковского случайного процесса с дискретными состояниями системы S₀, S₁, S₂ (см. рис. 6.2.1) и непрерывным временем. Полагаем, что все переходы системы массового обслуживания из состояния S_i в состояние S_j происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями l _ij, а обратный переход — под воздействием другого потока l _ij, Введем обозначение р_i как вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии S_i. Для любого момента времени t справедливо записать нормировочное условие — сумма вероятностей всех состояний равна 1:

Проведем анализ системы в момент времени t, задав малое приращение времени Dt, и найдем вероятность p₁(t + Dt) того, что система в момент времени (t + Dt) будет находиться в состоянии S₁, которое достигается разными вариантами:

а) система в момент t с вероятностью p_i(t) находилась в состоянии S_i и за малое приращение времени Dt так и не перешла в другое соседнее состояние — ни в S₀, ни в S₂. Вывести систему из состояния S₁ можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью (l₁₀ + l₁₂), поскольку суперпозиция простейших потоков также является простейшим потоком. На этом основании вероятность выхода из состояния S₁ за малый промежуток времени Dt приближенно равна (l₁₀ + l₁₂)×Dt. Тогда вероятность невыхода из этого состояния равна [1 — (l₁₀ + l₁₂) × Dt]. В соответствии с этим вероятность того, что система останется в состоянии S₁ на основании теоремы умножения вероятностей, равна:

б) система находилась в соседнем состоянии S₀ И за малое время Dt перешла в состояние S₁. Переход системы происходит под воздействием потока l₀₁ c вероятностью, приближенно равной l₀₁ Dt.

Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S₁, в этом варианте равна p₀(t) l₀₁Dt;

в) система находилась в состоянии S₂ и за время Dt перешла в состояние S₁ под воздействием потока интенсивностью l₂₁ с вероятностью, приближенно равной l₂₁Dt. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S₁, равна p₂(t)l₂₁Dt.

Применяя теорему сложения вероятностей для этих вариантов, получим выражение:

p₁(t + Dt) = p₁(t) [ 1 – (l₁₀ + l₁₂) Dt ] + p₀(t) l₀₁Dt + p₂(t)l₂₁Dt,

p₁(t + Dt) – p₁(t) ₌ p₀(t)l₀₁ + p₂(t)l₂₁ – p₁(t)(l₁₀ + l₁₂).

Переходя к пределу при А/ -^ О, приближенные равенства перейдут в точные, и тогда получим производную первого порядка

Проводя рассуждения аналогичным образом для всех других состояний системы, получим систему дифференциальных уравнений, которые называются уравнениями А.Н. Колмогорова:

Для составления уравнений Колмогорова существуют общие правила.

Уравнения Колмогорова позволяют вычислить все вероятности состояний СМО S _i в функции времени p_i(t). В теории случайных процессов показано, что если число состояний системы конечно, а из каждого из них можно перейти в любое другое состояние, то существуют предельные (финальные) вероятности состояний, которые показывают на среднюю относительную величину времени пребывания системы в этом состоянии. Если предельная вероятность состояния S₀ равна p₀ = 0,2, то, следовательно, в среднем 20% времени, или 1/5 рабочего времени, система находится в состоянии S0. Например, при отсутствии заявок на обслуживание k = 0, p0 = 0,2, следовательно, в среднем 2 ч в день система находится в состоянии S₀ и простаивает, если продолжительность рабочего дня составляет 10 ч.

Поскольку предельные вероятности системы постоянны, то, заменив в уравнениях Колмогорова соответствующие производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим СМО. Такую систему уравнений составляют по размеченному графу состояний СМО по следующим правилам: слева от знака равенства в уравнении стоит предельная вероятность р_i рассматриваемого состояния S₁ умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, выводящих (выходящие стрелки) из данного состояния S_i систему, а справа от знака равенства — сумма произведений интенсивности всех потоков, входящих (входящие стрелки) в состояние S_i систему, на вероятность тех состояний, из которых эти потоки исходят. Для решения подобной системы необходимо добавить еще одно уравнение, определяющее нормировочное условие, поскольку сумма вероятностей всех состояний СМО равна 1:

Например, для СМО, имеющей размеченный граф из трех состояний S₀, S₁, S₂ рис. 6.2.1, система уравнений Колмогорова, составленная на основе изложенного правила, имеет следующий вид:

Для состояния S₁ ® (l₁₀ + l₁₂) = p₀l₀₁ + p₁l₂₁

Пример 1. Составим систему уравнений Колмогорова в общем виде для случая, когда граф состояний имеет вид (рис. 6.2.2):

Плотность вероятностей этих переходов указана рядом с соответствующими стрелками. Пользуясь приведенными выше правилами, получаем систему уравнений:

К этим уравнениям надо добавить еще начальные условия. Например, если при t = 0 система S находится в состоянии S₁, то начальные условия можно записать так:

Переходы между состояниями СМО происходят под воздействием поступления заявок и их обслуживания. Вероятность перехода в случае, если поток событий простейший, определяется вероятностью появления события в течение времени Dt, т.е. величиной элемента вероятности перехода l_ij D t, где l_ij — интенсивность потока событий, переводящих систему из состояния / в состояние j (по соответствующей стрелке на графе состояний).

Если все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет марковским случайным процессом, т.е. процессом без последствия. В этом случае поведение системы достаточно просто определяется, если известны интенсивность всех этих простейших потоков событий. Например, если в системе протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем, то, записав систему уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эту систему при заданных начальных условиях, получим все вероятности состояний как функции времени:

Во многих случаях на практике оказывается, что вероятности состояний как функции времени ведут себя таким образом, что существует

независимо от вида начальных условий. В этом случае говорят, что существуют предельные вероятности состояний системы при t ®¥ и в системе устанавливается некоторый предельный стационарный режим. При этом система случайным образом меняет свои состояния, но каждое из этих состояний осуществляется с некоторой постоянной вероятностью, определяемой средним временем пребывания системы в каждом из состояний.

Вычислить предельные вероятности состояния p_i можно, если в системе положить все производные равными 0, поскольку в уравнениях Колмогорова при t ®¥ зависимость от времени пропадает. Тогда система дифференциальных уравнений превращается в систему обычных линейных алгебраических уравнений, которая совместно с нормировочным условием позволяет вычислить все предельные вероятности состояний.

Пример 2. Запишем систему алгебраических уравнений для вычисления предельных вероятностей состояний системы, изображенной на рис. 6.2.2.

тогда из записанной ранее в примере 1 системы уравнений Колмогорова получаем:

И, Кроме того, мы должны учесть нормировочное условие:

Любое из уравнений записанной системы можно исключить, использовав вместо него нормировочное условие.

Вопрос 58. Классификация СМО в коммерческой деятельности (по числу каналов, по характеру расположения, по характеристике каналов).

По числу каналов обслуживания СМО разделяются на одноканальные л = 1 и многоканальные, для которых л > 2. Одноканальные например: выполняемые на рабочем месте операции одним бухгалтером, менеджером, коммерсантом, товароведом, экономистом, торговым аппаратом. В зависимости от взаимного расположения каналов системы подразделяются на СМО с параллельными и с последовательными каналами. В СМО с параллельными каналами входной поток заявок на обслуживание является общим, и поэтому заявки в очереди могут обслуживаться любым свободным каналом, например официантами в ресторане. В таких СМО очередь на обслуживание можно рассматривать как общую. В СМО с последовательным расположением каналов каждый канал может рассматриваться как отдельная одноканальная СМО или фаза обслуживания. Очевидно, выходной поток обслуженных заявок одной СМО является входным потоком для последующей СМО.

В зависимости от характеристик каналов обслуживания многоканальные СМО подразделяются на СМО с однородными и неоднородными каналами. Отличие состоит в том, что в СМО с однородными каналами заявка потока может обслуживаться любым свободным каналом, а в СМО с неоднородными каналами отдельные заявки обслуживаются только специально для этой

Цели предназначенными каналами. В кафе, например, посетитель проходит несколько разных по своему содержанию операций обслуживания, каждая из которых может быть представлена в виде простейшей одноканальной СМО, называемой фазой обслуживания, а в целом весь процесс обслуживания только посетителей может быть представлен в виде структурной модели многофазной СМО.

Вопрос 59. Классификация СМО в коммерческой деятельности (по возможности образования очереди, по характеру очереди, по организации потока заявок, по характеру дисциплины).

СМО в зависимости от возможности образования очереди подразделяются на два основных типа: СМО с отказами обслуживания и СМО с ожиданием (очередью) обслуживания. В СМО с отказами возможен отказ в обслуживании, если все каналы уже

заняты обслуживанием, а образовывать очередь и ожидать обслуживание нельзя. В то же время СМО с ожиданием подразделяются на СМО с неограниченным ожиданием, или с неограниченной очередью ИЛИ временем ожидания и СМО с ограниченными ожиданиям и или очередью, в которых накладываются ограничения на максимально возможную длину очереди или на максимально возможное время пребывания заявки в очереди время работы системы.

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: