|
Равномерная сходимость рядов ФКП.Кр.Коши: Ряд (*) равном.сход.в обл. если при натурального.□(Необх.) Из равном. сход. (*) при , для натур. (Дост.)Из (**)по кр.Коши для числ.посл-ти с компл.числами , что при -сходится.Значит, при выполнении (**) ряд (*) сход. в к . НО в силу (**): при во всех точках обл-ти одновременно.■
Непрерывность суммы равномерно сходящихся рядов ФКП. Если ф-ии непрерывны в обл. , а ряд сход.в ней равномерно к , то непрер. в обл-ти . □Рассм. , где принадлежат обл. .Т.к. равномерная сходимость ряда ,для можно указать такое , что имеем: для ,что .Т.к. непрерна,то в для заданного и выбранного можно указать такое , что при . Из всего этого для можно указать при .■
Почленное интегрирование равномерно сходящихся рядов ФКП. n(z) равномерно сходится к f(z); fn(z) аналитична в D D (z)dz= n(z) Un(x)-непрерывен на [a,b]; n(x) равномерно сходится к S(x) на [a,b]; n(x)dx= (x)dx; □ Un(x)-непрерывен на [a,b] А S(x) – непрерывна на [a,b]; (по теореме о непрерывности суммы) 1)Un(x), S(x)- непрерывны; S1, S2; 2) n> ; x [a,b]: |S(x)-Sn(x)|< Полученный ряд имеет n конечную сумму n= n(x)dx | (x)dx- n|=| (x)dx- n(x)dx|=| (x)dx - n(x)dx|=| (x)- Sn(x)dx |<= |S(x)-Sn(x)|dx< (b-a) ■ Я теорема Вейерштрасса. Пусть ф-ии -аналит-ие в обл. ,а ряд сход.равномерно в замкн. подобласти обл-ти к ф-ии . Тогда: 1) -анал.ф-я в обл. . 2) . 3) Ряд сход. равномерно в замкн. подобласти обл-ти . □1) Рассм. внутр. ,построим односвяз.подобл. обл-ти ,содержащую внутри. -непрерывная ф-ия в обл-ти . Рассм. от по произв. контуру целиком.Т.к. в силу аналитичности : . Выполнены все усл-я т.Морера. -ф-ия аналит-ая в точки .Т.к. произвольная , -аналитическая в ■ □2) Фиксируем и выберем замкн.контур целиком и содержащим внутри. Миним. расстояние от до обозначим . Рассм. ряд . Т.к. ряд сход.равном. на в силу условий теоремы. Проинт.его почленно по и используя инт-л Коши,имеем: . Т.к. - обл-ти ,то доказано.■ □3) Рассм. подобл-ть обл-ти и постр.замкн.контур содержащий внутри, причём . Для имеем: .Причём -остаток ряда . В силу сходимости ,для можно указать такое , что на при будет равномерная оценка ,где -длина контура .Тогда , что и доказывает.■ Эти доказательства для односвязной обл. .Для многосв.рассматривается аналогично.
Я теорема Вейерштрасса.
Пусть ф-ии -аналит-ие в обл. ,непрерывные в и ряд сход.равномерно на границе этой обл-ти.Тогда ряд равном.сход. и в . □Разность частичных сумм данного ряда, ф-я ,как конечная сумма аналит-их ф-ий, явл.аналитической в и непрер.в .Из равном.сход. ,при для натурального и всех одновременно. По теор.о максимуме аналит-ой ф-ии при для натурального и для всех . Выполнен кр.Коши, что и доказывает теорему.■
Теорема Абеля. Если степенной ряд сход. в некот. ,то он абсолютно сходится в ,удовлетворяющую причём в радиуса , ряд сходится равномерно.□Обозначим . Т.к. должен сходится, то при его члены . Тогда (*). По условию сходится. Из (*) сходимость рассматриваемого ряда. Чтобы доказать равномерную сход-ть в круге достаточно, по приз. Вайерштр., построить сходящийся числовой ряд, мажорирующий данный ряд в рассматриваемой области. Такой ряд – это , тоже представляюет сумму бескон.геом. прогрессии со знаменателем ■ Круг и радиус сходимости степенного ряда. ряд сходится(круг сходимости степенного ряда, R-радиус сходимости), расходится. Если не -формула Коши-Адамара. Степенной ряд (1) внутри своего круга сходимости сходится к своей сумме f(z), которая является аналитической. Внутри круга сходимости степенной ряд можно почленно интегрировать по любой кривой, целиком лежащей в круге сходимости и почленно дифференцировать любое количество раз, при этом вновь полученные степенные ряды будут иметь тот же радиус сходимости. Пр. 1) z R= , . Теорема Тейлора. , аналитическая внутри , может быть представлена в этом круге степ.рядом , причём он определён однозначно. □Выберем , построим окружность с центром в радиуса . Имеем (*). Преобразуем: (**). . по теор. Коши можно заменить на замкн.контур ,лежащим в . , аналитическая внутри , разлаг.в нём в сходящийся степ. ряд. Коэф-ты разложения . Докажем! разложения. Пусть есть другое: где хотя бы один . Ряд сход-ся в . Из всего .?!? ! доказана. ■ Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|