|
|
Теоремы о нулях аналитической функции. ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4 Пусть f(z) аналитична в окрестности т. I. Теорема о нулях аналитической функции. Пусть а- ноль функции порядка f (z) аналитична в точке а,а в самой точке f (a) = 0 => f (z) y a £ 1) f (z)= f(a) первый коэф. f (a)=0= 2)
f(z) нули аналит. функции изолированы друг от другаT II. Теорема о нулях аналитической функции (следствие).
но начиная с некоторого №
Замечание: Если в Т II типа
Теорема Лорана. (1) Ряд Лорана сх-ся, если сх-ся правильная и главная части. Теорема. Если ряд Лорана сх-ся, то он сх-ся в некотором кольце. f(z)= Теорема Лорана. Если f(z)-аналит. в r< c Неравенство Коши. f(z) огран. в r<
Классификация изолированных особых точек аналитической функции. Опр. Пусть f(z)-аналит. Классификация изолированных особых точек: 1. a-устранимая особая точка(у.о.т.), если 2. a-полюс: 3. a-существенно особая точка(с.о.т.), Пр. 1) f(z)=
2) f(z)=
3) f(z)=sin не
Ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки. f(z)-аналит. По т.Лорана:f(z)= Т. a-у.о.т.
Необходимость. a-у.о.т.:
Достаточность. f(z)=
Замечание. У.о.т. будет, если в нек. окрестности Ряд Лорана в окрестности полюса. Т. (критерий полюса): a-полюс f(z) (Н) a-полюс f(z) f(z)= (Д) f(z)= f(z)= Опр. a-полюс f(z) Пр. f(z)= Следствие. a-с.о.т.
Теорема Сохоцкого. Если a -с.о.т., то для любого комплексного числа a, в том числе и для Вычисление вычетов аналитической функции.
1/2 УОТ СОТ Простой полюс resz=af(z)=limz=a(z-a)f(z) Простой полюс f(z)= Тогда resf(z)= Если полюс кратности m: Resz=af(z)=1/(m-1)! * limz=adm-1/dzm-1(f(z)*(z-a)m) Resf(z)=res
Основная теорема теории вычетов. Пусть функция f(z) регулярна в односвязной области В за исключением конечного числа особых точек и пусть
Где кривая ориентирована положительно □ Пусть
Мы и получает исходную форумулу (1) ■
Вычисление определенных интегралов с помощью теории вычетов. 1)
2)
3)
2 ReI=
Теорема единственности. F(z) и g(z) – аналитичны в некоторой области D и их значения совпадают на некоторой последовательности точек F(zn)=g(zn) zn □ Берем zn для z1 точка множества z1
Аналитическое продолжение Г-функции. F(z),f(z) аналитична в D1 D1 F(z) аналитически продолжает f(z) на D
F(z)= F1= Особые точки n=-z Г(x)= Г(x+1)=xГ(x) Rez>0 Г(z+1)=zГ(z) Г(z)=Г(z+1)/z Rez>-1 z Г(z+2)=z2Г(z) Rez>-2 z   Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
. Для того что бы 
, где 
, f(z) аналитична в U(
0 в U(a)
такая окрестность, где нет больше нулей, кроме точки а; нули аналитической функции изолированы
в U(a)
в U(a)
f(z) 
a – ноль порядка n => 
-аналитична в U(a) 
аналитична в 
, и 
в 
где 
а-ноль f(z)
много => не изолированный ноль => то 
(по I. теор. о нулях)
аналитичной обл.D, то это любая точка f(z)
, то f(z)= 
<R: 
M
-неравенство Коши
: 0< 
.Тогда a-изолированная особая точка f(z).
; f(a)=A
; a-полюс f(z) 
a-нуль 
, z=0
f(z)={ 
, b-полюс
, z=0
f(z 
=sin 
f(z 
) отсутствует главная часть разложения.
Док-во:
в 
.
f(a)=c 
. Конец.
.
a-нуль 
, 
0, 
f(z)= 
наз-ся порядком полюса.Очевидно, если a-нуль порядка m для 
, 
z=0; 
, найдётся {z 
i 
(t)dt=resz=af(z)=C-1
где 
m= 
(m-1)(a)/(m-1)!
- замкнутая кривая лежащая в области D и содержащая внутри себя точки z1,z2…. Тогда
f(z)dz=2 
resf(z) (1)
f(z)dz откуда используя то что 
f(z)dz=2 
R(sin 
f(z)dz=2 
f(x)dx=2 
) (Imzk>0)
xf(x)dx ImI= 
D zn 
a 
(z)=0
z1)=0 
окружности t1 бесконечно много нулей 
D в D1 функции неразличимы 
e-ttz-1dt= 
e-t= 
(-1)tn/(n)! |tz-1|=tx-1 ограничена
e-ttz-1dt= 
(-1)ntn+z-1/(n)! dt= 
0