Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Теоремы о нулях аналитической функции.





Пусть f(z) аналитична в окрестности т. . Для того что бы была 0 функции кратности n ó чтобы в некоторой окружности т. f(z) имела бы вид , где , f(z) аналитична в U()

I. Теорема о нулях аналитической функции.

Пусть а- ноль функции порядка f (z) аналитична в точке а,а в самой точке f (a) = 0 => f (z) 0 в U(a)

y a такая окрестность, где нет больше нулей, кроме точки а; нули аналитической функции изолированы

£ 1) f (z)= в U(a)

f(a) первый коэф. f (a)=0= в U(a)

2) f(z)

a – ноль порядка n => -аналитична в U(a) U(a) => f(z)

f(z) нет других нулей кроме а

нули аналит. функции изолированы друг от другаT

II. Теорема о нулях аналитической функции (следствие).

 

аналитична в , и в

где

а-ноль f(z)

но начиная с некоторого № много => не изолированный ноль => то (по I. теор. о нулях)

Замечание: Если в Т II типа не аналитичной обл.D, то это любая точка f(z)

Теорема Лорана.

(1)

Ряд Лорана сх-ся, если сх-ся правильная и главная части.

Теорема. Если ряд Лорана сх-ся, то он сх-ся в некотором кольце.

f(z)=

Теорема Лорана. Если f(z)-аналит. в r< , то f(z)=

c

Неравенство Коши.

f(z) огран. в r< <R: M

 

-неравенство Коши

 

 

Классификация изолированных особых точек аналитической функции.

Опр. Пусть f(z)-аналит. : 0< .Тогда a-изолированная особая точка f(z).

Классификация изолированных особых точек:

1. a-устранимая особая точка(у.о.т.), если ; f(a)=A

2. a-полюс: ; a-полюс f(z) a-нуль

3. a-существенно особая точка(с.о.т.),

Пр. 1) f(z)= , z=0

f(z)={

 

2) f(z)= , b-полюс


3) f(z)=sin , z=0

не

f(z =sin f(z


Ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки.

f(z)-аналит.

По т.Лорана:f(z)=

Т. a-у.о.т. в ряде Лорана в ) отсутствует главная часть разложения.

Док-во:

Необходимость. a-у.о.т.: в ) .

Достаточность. f(z)=

f(a)=c . Конец.

Замечание. У.о.т. будет, если в нек. окрестности .

Ряд Лорана в окрестности полюса.

Т. (критерий полюса): a-полюс f(z) в главной части ряда Лорана для f(z) конечное число членов.

(Н) a-полюс f(z) a-нуль : = , 0, )

f(z)=

(Д) f(z)=

f(z)= f(z)=

Опр. a-полюс f(z) степень m для наз-ся порядком полюса.Очевидно, если a-нуль порядка m для , то a-полюс порядка m для f(z).Очевидно, a-полюс f(z): ) f(z)= ,

Пр. f(z)= z=0;

Следствие. a-с.о.т. главная часть ряда Лорана содержала бесконечное число слагаемых.

 

Теорема Сохоцкого.

Если a -с.о.т., то для любого комплексного числа a, в том числе и для , найдётся {z

Вычисление вычетов аналитической функции.

 

1/2 i (t)dt=resz=af(z)=C-1

УОТ res=0

СОТ Ряд Лорана C-1 – коэффициент при -1 степени

Простой полюс resz=af(z)=limz=a(z-a)f(z)

Простой полюс f(z)= где

Тогда resf(z)=

Если полюс кратности m:

Resz=af(z)=1/(m-1)! * limz=adm-1/dzm-1(f(z)*(z-a)m)

Resf(z)=res m= (m-1)(a)/(m-1)!

 

Основная теорема теории вычетов.

Пусть функция f(z) регулярна в односвязной области В за исключением конечного числа особых точек и пусть - замкнутая кривая лежащая в области D и содержащая внутри себя точки z1,z2…. Тогда

f(z)dz=2 i resf(z) (1)

Где кривая ориентирована положительно

□ Пусть k – окружность достаточно малого радиуса с центром в точке zk ориентированная против часовой стрелки. В силу следствия к теореме интегральной Коши (кривые оринтированы так что при обходе каждой из кривых область D остается слева) имеем

f(z)dz= f(z)dz откуда используя то что f(z)dz=2 i resf(z) (при Z=a)

Мы и получает исходную форумулу (1) ■

 

Вычисление определенных интегралов с помощью теории вычетов.

1)

 

R(sin ,cos )d замена z=ei |z|=1

2)

f(z)dz=2 i resf(z) (Imzk>0)

3)

ei f(x)dx=2 i res(f(z)*ei ) (Imzk>0)

2 i res(f(z)*ei ) = I

ReI= cos xf(x)dx ImI= sinx)dx

 

 

Теорема единственности.

F(z) и g(z) – аналитичны в некоторой области D и их значения совпадают на некоторой последовательности точек

F(zn)=g(zn) zn D zn a D при n f(z) g(z) во всей области D

□ Берем (z)=f(z)-g(z) (zn)=f(zn)-g(zn)=0 zn – нули функций по условию

zn a при n и по теореме о нулях функции U(a) такая что (z)=0

для z1 D z1)=0 окружности t1 бесконечно много нулей (z) t1-предельная

точка множества U(t1) такой что (z) 0 и так далее

z1 U(tk) z1)=0 (z) 0 в области D ■

 

 

Аналитическое продолжение Г-функции.

F(z),f(z) аналитична в D1 D1 D в D1 функции неразличимы

F(z) аналитически продолжает f(z) на D

 

F(z)= e-ttz-1dt= e-t= (-1)tn/(n)! |tz-1|=tx-1 ограничена

F1= e-ttz-1dt= (-1)ntn+z-1/(n)! dt= (-1)n/(n)!*tn+z/n+z|01= (-1)n/(n)!*1/(n+z)

Особые точки n=-z

Г(x)= e-ttx-1dt

Г(x+1)=xГ(x) Rez>0 Г(z+1)=zГ(z)

Г(z)=Г(z+1)/z Rez>-1 z 0

Г(z+2)=z2Г(z) Rez>-2 z 0,1







Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.