|
Теоремы о нулях аналитической функции. ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4 Пусть f(z) аналитична в окрестности т. . Для того что бы была 0 функции кратности n ó чтобы в некоторой окружности т. f(z) имела бы вид , где , f(z) аналитична в U() I. Теорема о нулях аналитической функции. Пусть а- ноль функции порядка f (z) аналитична в точке а,а в самой точке f (a) = 0 => f (z) 0 в U(a) y a такая окрестность, где нет больше нулей, кроме точки а; нули аналитической функции изолированы £ 1) f (z)= в U(a) f(a) первый коэф. f (a)=0= в U(a) 2) f(z) a – ноль порядка n => -аналитична в U(a) U(a) => f(z) f(z) нет других нулей кроме а нули аналит. функции изолированы друг от другаT II. Теорема о нулях аналитической функции (следствие).
аналитична в , и в
где а-ноль f(z) но начиная с некоторого № много => не изолированный ноль => то (по I. теор. о нулях) Замечание: Если в Т II типа не аналитичной обл.D, то это любая точка f(z) Теорема Лорана. (1) Ряд Лорана сх-ся, если сх-ся правильная и главная части. Теорема. Если ряд Лорана сх-ся, то он сх-ся в некотором кольце. f(z)= Теорема Лорана. Если f(z)-аналит. в r< , то f(z)= c Неравенство Коши. f(z) огран. в r< <R: M
-неравенство Коши
Классификация изолированных особых точек аналитической функции. Опр. Пусть f(z)-аналит. : 0< .Тогда a-изолированная особая точка f(z). Классификация изолированных особых точек: 1. a-устранимая особая точка(у.о.т.), если ; f(a)=A 2. a-полюс: ; a-полюс f(z) a-нуль 3. a-существенно особая точка(с.о.т.), Пр. 1) f(z)= , z=0 f(z)={
2) f(z)= , b-полюс 3) f(z)=sin , z=0 не f(z =sin f(z Ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки. f(z)-аналит. По т.Лорана:f(z)= Т. a-у.о.т. в ряде Лорана в ) отсутствует главная часть разложения. Док-во: Необходимость. a-у.о.т.: в ) .
Достаточность. f(z)= f(a)=c . Конец. Замечание. У.о.т. будет, если в нек. окрестности . Ряд Лорана в окрестности полюса. Т. (критерий полюса): a-полюс f(z) в главной части ряда Лорана для f(z) конечное число членов. (Н) a-полюс f(z) a-нуль : = , 0, ) f(z)= (Д) f(z)= f(z)= f(z)= Опр. a-полюс f(z) степень m для наз-ся порядком полюса.Очевидно, если a-нуль порядка m для , то a-полюс порядка m для f(z).Очевидно, a-полюс f(z): ) f(z)= , Пр. f(z)= z=0; Следствие. a-с.о.т. главная часть ряда Лорана содержала бесконечное число слагаемых.
Теорема Сохоцкого. Если a -с.о.т., то для любого комплексного числа a, в том числе и для , найдётся {z Вычисление вычетов аналитической функции.
1/2 i (t)dt=resz=af(z)=C-1 УОТ res=0 СОТ Ряд Лорана C-1 – коэффициент при -1 степени Простой полюс resz=af(z)=limz=a(z-a)f(z) Простой полюс f(z)= где Тогда resf(z)= Если полюс кратности m: Resz=af(z)=1/(m-1)! * limz=adm-1/dzm-1(f(z)*(z-a)m) Resf(z)=res m= (m-1)(a)/(m-1)!
Основная теорема теории вычетов. Пусть функция f(z) регулярна в односвязной области В за исключением конечного числа особых точек и пусть - замкнутая кривая лежащая в области D и содержащая внутри себя точки z1,z2…. Тогда f(z)dz=2 i resf(z) (1) Где кривая ориентирована положительно □ Пусть k – окружность достаточно малого радиуса с центром в точке zk ориентированная против часовой стрелки. В силу следствия к теореме интегральной Коши (кривые оринтированы так что при обходе каждой из кривых область D остается слева) имеем f(z)dz= f(z)dz откуда используя то что f(z)dz=2 i resf(z) (при Z=a) Мы и получает исходную форумулу (1) ■
Вычисление определенных интегралов с помощью теории вычетов. 1)
R(sin ,cos )d замена z=ei |z|=1 2) f(z)dz=2 i resf(z) (Imzk>0) 3) ei f(x)dx=2 i res(f(z)*ei ) (Imzk>0) 2 i res(f(z)*ei ) = I ReI= cos xf(x)dx ImI= sinx)dx
Теорема единственности. F(z) и g(z) – аналитичны в некоторой области D и их значения совпадают на некоторой последовательности точек F(zn)=g(zn) zn D zn a D при n f(z) g(z) во всей области D □ Берем (z)=f(z)-g(z) (zn)=f(zn)-g(zn)=0 zn – нули функций по условию zn a при n и по теореме о нулях функции U(a) такая что (z)=0 для z1 D z1)=0 окружности t1 бесконечно много нулей (z) t1-предельная точка множества U(t1) такой что (z) 0 и так далее z1 U(tk) z1)=0 (z) 0 в области D ■
Аналитическое продолжение Г-функции. F(z),f(z) аналитична в D1 D1 D в D1 функции неразличимы F(z) аналитически продолжает f(z) на D
F(z)= e-ttz-1dt= e-t= (-1)tn/(n)! |tz-1|=tx-1 ограничена F1= e-ttz-1dt= (-1)ntn+z-1/(n)! dt= (-1)n/(n)!*tn+z/n+z|01= (-1)n/(n)!*1/(n+z) Особые точки n=-z Г(x)= e-ttx-1dt Г(x+1)=xГ(x) Rez>0 Г(z+1)=zГ(z) Г(z)=Г(z+1)/z Rez>-1 z 0 Г(z+2)=z2Г(z) Rez>-2 z 0,1 Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|