Функции Грина в теории систем автоматического управления

Для описания нелинейных детерминированных систем очень полезным является понятие функции Грина.

Пусть L представляет собой операторы дифференцирования, интегрирования и умножения на константу.

Например: ;

где - выходной процесс, - входной процесс, a₀, a₁, a₂ - постоянные коэффициенты. Это линейные уравнения второго порядка. Видно, если - является решением уравнения , то - также решение. Если y и z - решения уравнения, то и , то есть

y+ z - также являются решением.

Рассмотрим x₁ решение уравнения и решение x₂ решение уравнения . Тогда . Это наш первый и очень полезный результат из которого вытекает следующее очень важное заключение:

Любое сложное входное воздействие можно представить в виде суммы составляющих, для каждой из которых уравнение можно решить отдельно. Складывая затем эти решения, можно получить решение, соответствующее полному входному воздействию .

1. то есть ;

Например - ряд Фурье.

2. можно выбрать и другой набор

Эти импульсные функции единичной интенсивности. Отклик на такой импульс имеет характер затухающих колебаний.

Общее решение получается в результате интегрирования по всем откликам, соответствующим импульсам, которые образуют входное воздействие. В этом заключается идея метода функций Грина.

Понятие функции Грина

Чтобы решить уравнение , где L= p линейный дифференциальный оператор. Предположим, что мы нашли оператор, обратный к L (обозначим его через L^-1), такой что (где I - тождественный оператор). Например, если , то L^-1 является оператором интегрирования ; .

Для дифференциального оператора общего вида можно предположить, что L^-1 представляет собой интегральный оператор с ядром , то есть

1.

Если найдено ядро G, то с помощью этого равенства можно найти решение дифференциального уравнения. Причем - это функция Грина, которая является очень полезным понятием. Это мы раскроем чуть позже.

Действуя вновь оператором по (1), получаем

2.

Поскольку оператор интегрирования и дифференцирования являются линейными, то их можно поменять местами. Тогда первая часть

3.

И поскольку слева, очевидно стоит , то получаем

4.

Известно, что , должно иметь следующие соотношение

5.

Из уравнения (5) вытекает очень важный факт, что ядро , которое называется функцией Грина, удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, если входное воздействие заменить на d - функцию.

Оказывается функция Грина имеет простой физический смысл: это отклик на единичное импульсное воздействие

Простые системы типа "вход-выход" и функция Грина

x(t) y(t)

Система называется инвариантной во времени (или систем с постоянными параметрами). Если входное воздействие возрождает отклик .

Если входным сигналам x₁(t) и x₂(t) соответствуют выходные сигналы y₁(t) и y₂(t) и при этом входной сигнал (а₁ и а₂ - константы) и???? выходной сигнал - то система называется линейной.

при - условие физической реализуемости.

Для стационарных систем

.

Типовые звенья САУ.

Полиномы числителя и знаменателя передаточной функции можно разложить на простейшие множители по их корням.

здесь μ = b0/a0 – константа.

Возможны два случая:

• Корни вещественные. Оставляем скобки без изменения.

• Пара комплексно сопряженных корней вида: p1,2= α ± j β - объединяем их и раскрываем скобки (p- α +j β )(p- α -j β )= p2-2 α p + β 2 + α 2 -полином имеет вещественные коэффициенты.

После такого представления в числителе и знаменателе будет некоторое количество скобок первого порядка, соответствующих вещественным корням, и некоторое количество скобок второго порядка, соответствующих комплексно – сопряженным корням. При этом все числовые коэффициенты в скобках будут вещественными.

Рассмотрим каждую такую скобку, как элементарную передаточную функцию, практически реализуемую в силу вещественности коэффициентов.

(6.22)

Σ = n+m, если все корни вещественные;

Σ < n+m, если есть комплексные корни.

Принято выносить общий множитель К за скобки так, чтобы свободный член всех скобок был равен 1. Тогда К называют коэффициентом усиления. Заметим, что W(0) = К = bm/an. Это значит, что К есть коэффициент усиления на нулевой частоте -"постоянном токе".

Итак, любая Wi (р) может быть одного из следующих видов:

1. К - Усилительное звено.

2. p - Дифференцирующее звено.

3. 1/p - Интегрирующее звено (интегратор).

4. K/(Tp+1) - Инерционное (апериодическое) звено.

5. K/(T2p+2dTp+1) - Колебательное звено.

6. K(Tp+1) - Форсирующее звено.

7. K(T2p+2dTp+1) - Форсирующее звено 2-го порядка.

Замечание:

форсирующее звено (4) является комбинацией (суммой) усилителя и дифференциатора;

звенья (2), (6), (7) не является в строгом смысле реализуемыми.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: