Лекция №11. Полигауссовы модели случайных воздействий и методы их анализа.

Рисунок 11‑1

Точка перегиба, в которой кривая распределения имеет максимальную крутизну

Случайный гауссовский процесс имеет очень важное свойство: при прохождении через линейные цепи форма распределения не изменяться, а могут изменяться только его параметры.

А поскольку в автоматике и системах автоматического управления линейные цепи являются основными, то и аппарат гауссовский распределений адекватен задаче курса. В последнее время при более точном анализе случайных процессов было выявлено много примеров, когда случайный процесс не является Гауссовским, а имеет произвольную форму. В этом случае прибегают к аппарату полигауссовых законов распределений. Случайный процесс называют полигауссовским, если соответствующая функция распределения вероятностей представляется смесью полигауссовых законов распределения.

Рисунок 11‑2

При анализе линейных цепей полигауссовский закон распределения позволяет произвольно аппроксимировать смесью гауссовских, провести схему для каждой компоненты гауссовского закона, а в итоге отклики по каждой компоненте сложить и получить результирующий отклик линейной системы на произвольное распределение.

Реализацию случайного процесса с полигауссовским распределением можно представить в виде:

Рисунок 11‑3

Марковские модели случайных процессов.

Случайный процесс, который описывается совместным распределением двух от счетов, называется Марковским.

Рисунок 11‑4

Марковские случайные процессы играют такую же роль, как и гауссовские процессы, находят широкое применение в теории случайных явлений.

Взаимоотношения между Марковскими, гауссовыми и полигауссовыми случайными процессами представляется на диаграмме случайных процессов:

Рисунок 11‑5

Ось моментов - число начальных моментных функций, которое может быть использовано для описания того или иного случайного процесса.

Гауссовским процессам на этой диаграмме соответствует пара горизонтальных прямых, показывающих, что гауссовская модель описывается двумя первыми моментами для любого множества точек на оси времени.

Марковские процессы представлены также парами, но уже вертикальных прямых. Для любых двух точек на оси времени определяется любое множество моментов.

Рассмотрим несколько пример прохождения случайных процессов через типовые линейные звенья.

Дифференцирующее звено.

На входе случайная функция x(f). Если случайный процесс дифференцируем, то можем записать:

То есть математическое ожидание производной процесса равно производной его математического ожидания.

Передаточная функция такого звена равна:

W(p)=p

Спектральная плотность выходной величины может быть получена умножением спектральной плотности входной величины на w².

S₂(w)=w²S₁(w).

Интегрирующее звено.

x(f) – случайная функция.

Тогда математическое ожидание может быть записано:

Передаточная функция идеального интегрирующего звена равна:

. Спектральная плотность выходной величины может быть получена делением спектральной плотности входной величины на w².

Такой процесс имеет корреляционную функцию вида:

Рисунок 11‑6

. Особое место занимает гауссовский нормальный процесс.

Обычно любой случайный процесс характеризуется законом распределения своих амплитуд. Закон распределения может быть произвольным, но зачастую, в силу того, что в основном все случайные физические явления подчиняются центральной предельной теореме теории вероятностей это распределение имеет гауссовский характер:

Если суммируется несколько случайных независимых явлений с произвольными законами распределения, то суммарный закон распределения стремится к гауссовскому.

11.2Средняя квадратическая ошибка системы:

Количество работы систем автоматического управления при случайных воздействиях оценивается по суммарной средней квадратической ошибке.

Для большинства случаев, когда закон распределения системы можно считать Гауссовским при расчете составляющих суммарной средней квадратической ошибки достаточно учесть математическое ожидание и корреляционную функцию ошибки или ее спектральную плотность.

На вход системы подается воздействие вида:

где x(t) – случайный сигнал;

n(t) – случайная помеха.

Рисунок 11‑7

Суммарная ошибка системы при этом равна:

проведем преобразование Лапласа:

где W₃(p)- передаточная функция замкнутой системы;

W_e(p) - передаточная функция ошибки анализируемой системы.

Таким образом, суммарная ошибка состоит из двух составляющих, одна из которых зависит от передаточной функции ошибки и определяет точность воспроизведения сигнала. Вторая обусловлена действием помехи и зависит от передаточной функции замкнутой системы.

Рассмотрим ситуацию, когда сигнал и помеха являются стационарными случайными функциями. При этом будем считать математическое ожидание помехи равным нулю, а случайный сигнал представим как:

m_x - математическое ожидание сигнала;

- случайные составляющие сигнала.

Математическое ожидание суммарной ошибки можем записать как:

Дисперсия ошибки зависит от случайных составляющих сигнала и помехи:

где s_e - средняя квадратическая ошибка системы;

e(t) - ошибка системы;

М – математическое ожидание от квадрата ошибки.

Первое слагаемое зависит от передаточной функции ошибки и от статистических характеристик сигнала. Оно определяет среднюю квадратическую ошибку воспроизведения сигнала x(t). Второе слагаемое зависит от передаточной функции замкнутой системы и характеристик помехи. Оно характеризует ошибку системы вследствие действия помехи n(t).

Последние два слагаемых – составляющие ошибки из-за корреляции сигнала с помехой и помехи с сигналом.

Суммарная средне квадратическая ошибка системы автоматического управления при действии на входе случайных воздействий.

На практике часто встречаются случаи, когда помеху можно считать белым шумом, тогда спектральная плотность ее в пределах полосы пропускания САУ постоянна.

Эффективная полоса пропускания системы равна:

Рисунок 11‑8

w_эф – основание прямоугольника, площадь которого равна площади, ограниченной графиком АЧХ.

Помехи обычно являются белыми шумами, сигналы, как правило, не относятся к белым шумам. Однако если использовать формирующий фильтр, то анализ системы относительно сигналов сводится к случаю действия на систему белых шумов.

Формирующий фильтр – устройство, позволяющее генерировать сигнал с заданной спектральной плотностью из сигнала белого шума.

Формирующий фильтр и анализируемая система образуют некоторую расширенную систему, на вход которой действует белый шум.

Рисунок 11‑9

Если помеха не белый шум, то в схему нужно также включить формирующий фильтр, который из белого шума будет генерировать случайную помеху с заданной спектральной плотностью.

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: