|
|
Условие строгой реализуемости передаточной функцииМногочлен Q(P) (характеристический многочлен звена) не имеет других корней, кроме корней с отрицательными вещественными частями (условие устойчивости характеристического многочлена). Пример. 1. Идеальный усилитель Q(P)=1 и корней нет. 2. Интегратор Q(P)=P и один вещественный корень 3. Апериодическое звено Q(P)=TP+1 и один вещественный корень 4. Колебательное звено Эти звенья являются устойчивыми по входу, за исключением интегратора. Переходная функция неограниченно растет, хотя является реакцией на единичное воздействие 1(t). Алгебраические критерии устойчивости Акцентируем теперь внимание на то обстоятельство, что проверка условия устойчивости характеристического многочлена не требует вычисления всех его корней, а лишь выяснения того, расположены ли корни только в левой полуплоскости комплексной переменной P. Нельзя ли установить этот факт, не находя корней? Ответ на этот вопрос положительный. Алгебраическая проблема проверки устойчивости многочленов была впервые поставлена Максвеллом. Детальное и простое изложение этой проблемы содержится в книге «Устойчивые многочлены» Пестиков М.М.– М. Наука, 1981 -175 с. Прежде всего, установим необходимое условие устойчивости. Теорема. Если многочлен Q(P) с Доказательство теоремы Используем разложение многочлена Q(P) на простые двучлены и трехчлены. Каждому вещественному корню Пример 1 Многочлен Выполнение условия необходимости не гарантирует устойчивости многочлена при любом n, хотя оно достаточно при n=1, и n=2. При больших (n>2) приходится использовать более сложные процедуры. Кроме того, как известно из алгебры для уравнений 3 и 4 степени имеются общие формулы для нахождения корней, а для уравнений 5степени и выше, таких формул нет. Поэтому для систем выше 2 порядка особенно важны условия, которые позволяли бы судить об их устойчивости, не вычисляя корней характеристического уравнения. Такие условия называются критериями устойчивости. Критерий устойчивости Гурвица Для формулировки критерия Гурвица составим из характеристического уравнения определитель n-го порядка.
На главной диагонали, которого располагаются коэффициенты в порядке возрастания их индексов, начиная с a1 кончая an. В каждом столбце при движении от элемента, находящегося на главной диагонали, вверх индексы коэффициентов возрастают, вниз убывают, при этом на месте элементов с индексами, превышающими n (при движении вверх) и отрицательными индексами (при движении вниз), проставляются нули. Запишем частные миноры определителя
Назовем эти миноры, включая определитель Формулировка критерия устойчивости Гурвица Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица, составленные из коэффициентов её характеристического уравнения, были больше нуля (при a0>0).
Из этого критерия следует, что при n=3, необходимое и достаточное условие устойчивости имеет вид.
Пример. Используем устойчивость системы в разомкнутом и замкнутом состояниях. Характеристическое уравнение разомкнутой системы
Характеристическое уравнение замкнутой системы.
Проверим
Критерий Льенара При выполнении условия
Пример. Имеется характеристическое уравнение.
(Необходимое условие a0>0, a1=2>0, a2=3>0, a3=4>0, a4=5>0). Согласно критерию необходимо и достаточно
Система не устойчива. Критерий устойчивости Рауса Применение критерия требует составления таблицы Рауса. Элементами её первой строки являются четные коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a0,a2 a4, … Элементы последующих строк вычисляют по приведенным в таблице формулам. Причем при вычислении элементов какой-либо i-ой строки необходимо предварительно вычислить коэффициент ri. Всего в таблице заполняют n+1 строк.
При наличии отрицательных элементов в первом столбце таблицы Рауса местами неустойчивы. Если один из элементов первого столбца равен 0, то системы на границе устойчивости характеристического уравнения имеют пару чисто мнимых корней. При равенстве нулю последнего n+1 элемента или отрицательного элемента на первом столбце. Так как при таких условиях система находится на границе устойчивости или неустойчивости. Составляя таблицу Рауса, расчет можно закончить при появлении первого нулевого или отрицательного элемента на первом столбце, т.к. система на границе устойчива или неустойчива.
Вопросы
  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
система будет неустойчива.
при Т>0 система будет устойчива.
и имеется два комплексно -сопряженных корня, 
причем вещественная часть отрицательна 
система устойчива.
устойчив, то все его коэффициенты положительны an>0.
соответствует двучлен 
, каждой паре комплексно сопряженных корней 
- трехчлен 
, если все 
, 
, то коэффициенты во всех двучленах и трехчленах положительны, следовательно, положительны и коэффициенты в многочлене Q(P), являющимся их произведением.
, заведомо неустойчив, поскольку коэффициент при P2 равен нулю.
и.т.д.
i =1,n при a0>0
. Необходимое условие не выполняется, т.к. при l коэффициент a2=0. Поэтому разомкнутая система неустойчива.
Замкнутая система устойчива.
для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными или все определители Гурвица с четными индексами, или все определители Гурвица с нечетными индексами. Следовательно, чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы
Проверим выполнение более простого второго условия.
Критерий формируют следующим образом: система устойчива, если все элементы первого столбца таблицы Рауса имеют одинаковый знак. Обычно характеристическое уравнение приводится к виду a0>0, тогда все элементы первого столбца должны быть положительными. Ci,1>0, i=2,n+1.
