Параллельное соединение звеньев

При параллельном соединении звеньев входные координаты всех звеньев равны, а выходные суммируются (рис.1.23).

Для построения статической характеристики параллельных звеньев необходимо в одной системе координат с одинаковым масштабом построить статические характеристики отдельных звеньев и их ординаты сложить (рис.1.24).

Статический коэффициент передачи параллельно соединенных звеньев равен сумме коэффициентов передачи отдельных звеньев:

При последовательном соединении направленных звеньев выходные координаты предыдущего звена являются входными координатами последующего.

Для построения результирующей характеристики строятся отдельные характеристики в разных квадрантах. Наиболее простым является построение в случае трех звеньев (рис.1.25).

В первом квадранте построена статическая характеристика Хвых1 = ƒ (Хвх1) первого звена, во втором квадранте построена характеристика второго звена, в третьем – третьего. Зададимся некоторым значением Хвх1 (точка 1), ему соответствует Хвых 1, которое равно Хвх2 и т.д.

При последовательном соединении более трех звеньев сначала проводится их комбинация по три, находятся характеристики групп по три звена в каждой и аналогичным способом находится затем уже характеристика соединения.

При последовательном соединении линейных звеньев (частный случай):

результирующая характеристика Хвых3 = к1к2к3Хвх1

Таким образом, в случае последовательного соединения линейных звеньев коэффициент передачи системы К равен произведению коэффициентов передач отдельных звеньев:

Б) Пространство состояние (матричные примеры)

Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение ее состояний.

В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с MIMO-системами.

Для случая линейной системы с

входами,

выходами и

переменными состояния описание имеет вид:

— вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы

Часто матрица

является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.

Для дискретных систем запись уравнений в пространстве состояний основывается не на дифференциальных, а на разностных уравнениях.

Нелинейная динамическая система n-го порядка может быть описана в виде системы из n уравнений 1-го порядка:

Первое уравнение — это уравнение состояния, второе — уравнение выхода.

В некоторых случаях возможна линеаризация описания динамической системы для окрестности рабочей точки

В установившемся режиме

для рабочей точки

справедливо следующее выражение:

Разложение уравнения состояния

в ряд Тейлора, ограниченное первыми двумя членами даёт следующее выражение:

При взятии частных производных вектор-функции

по вектору переменных состояний

и вектору входных воздействий

получаются матрицы Якоби соответствующих систем функций:

Учитывая

, линеаризованное описание динамической системы в окрестности рабочей точки примет вид:

Отметим общие закономерности звеньев. Если коэффициенты и , то звенья имеют однозначную связь между входной и выходной величиной в статическом режиме. Они называются статическими, или позиционными. Звенья, у которых , , или и или и , обладают инерционностью (замедлением). К ним относятся звенья 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12.

У звеньев № 1, 5, 7 только два коэффициента не равны нулю. Они являются простейшими или элементарными. Все остальные могут быть образованы из элементарных путем последовательного, параллельного и встречно-параллельного соединения.

Рассмотрим свойства звеньев № 1-8. Характеристики остальных звеньев № 9, 12 могут быть получены как характеристики различных соединений звеньев № 1-8.

При рассмотрении указанных звеньев будут приведены следующие характеристики:

· уравнение звена и пример его физического представления;

· кривая разгона и импульсная переходная функция.

Временные характеристики есть реакция звена (элементов и т.д.) на апериодическое типовое воздействие. Реакция звена во времени на ступенчатое единичное воздействие 1(t) при нулевых начальных условиях называется переходной характеристикой (функцией), или кривой разгона, и обозначается через h(t).

Реакция звена во времени на -функцию при нулевых начальных условиях называется импульсной переходной характеристикой (функцией). Она обозначается через .

Рис. 24. Входное ступенчатое единичное воздействие (а)
и кривая разгона (б)

Рис. 25. Входное воздействие в виде -функции (а)
и импульсная переходная функция

Переходные и импульсные переходные функции связаны между собой соотношениями:

При помощи импульсной функции звена можно определить его реакцию на произвольное входное воздействие.

Связь между входной и выходной величинами устанавливается интегралом Дюамеля (интегралом свертки):

Переходная функция h(t) звена представляет собой решение неоднородного дифференциального уравнения звена при и при для i=1... n.

где – возмущенная составляющая, определяемая частным решением неоднородного уравнения и равна ; – свободная составляющая, определяемая частным решением соответствующего однородного дифференциального уравнения в виде:

где – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Заметим, что собственный оператор D(p) представляет собой характеристическое уравнение, корни которого есть в выражении (92).

В выражении передаточной функции звена знаменатель также представляет собой характеристическое уравнение, корни которого называются полюсами.

Корни числителя передаточной функции называются нулями. При значениях параметра P, равных нулям, передаточная функция W(P) обращается в ноль, а при значениях параметра P, равных полюсам, передаточная функция W(P) обращается в .

Звено описывается дифференциальным уравнением

Звено относится к астатическим блокам и поэтому не имеет статической характеристики.

Рис. 2.11. Переходная функция интегрирующего звена

Примеры: элементы механических систем (см. движение материальной точки, пример 2.3), описываемые уравнениями динамики вида

Звено описывается дифференциальным уравнением

Переходная функция дифференцирующего звена -

а реакция звена на линейно-нарастающий сигнал x₂=t -

При x₂ = const для любых t>0 выполняется

и, следовательно, статической характеристикой звена является прямая

Рис. 2.12. Реакция дифференцирующего звена

на линейно нарастающее воздействие

Примеры: тахогенератор (электромашинный датчик скорости), электронный дифференциатор (

Замечание 2.4. Выходом дифференцирующего звена является производная входного сигнала, т.е. его мгновенная скорость dx₂/dt. Операция нахождения текущего значения скорости x₁(t)=dx₂(t)/dt только по информации об известном в данный момент времени t сигнале x₂(t) физически не реализуема и поэтому идеальных дифференцирующих звеньев не существует. Тем не менее производная может быть приближенно рассчитана как

₁(t)=D x₂(t)/D t, где D t - интервал времени, D x₂ -соответствующее приращение сигнала x₂. При уменьшении интервала D t можно получить значение

₁(t), сколь угодно близкое к текущему значению скорости x₁(t). Следовательно, несмотря на нереализуемость (с абсолютной точностью) операции дифференцирования, теоретически возможно построение звена, которое обеспечивает нахождение производной dx₂(t)/dt со сколь угодно высокой точностью.

Рис. 2.13. Переходная функция реального дифференцирующего звена

а реакция звена на линейно-нарастающий сигнал x₁=t совпадает с переходной функцией апериодического звена, т.е.

При x₂ =const и

выполняется

, что соответствует статической характеристике звена.

При достаточно малых постоянных времени T, характеристики звена приближаются к характеристикам идеального дифференцирующего звена (см. Замечание 2.4).

Рис. 2.14. Реакция реального дифференцирующего звена

на линейно нарастающее воздействие

Инерционное звено первого порядка описывается уравнением:

Кривая разгона и импульсная переходная функция инерционного звена первого порядка приведены соответственно на рис. 30 и 31.

Рис. 30. Кривая разгона инерционного звена первого порядка

Графики АФХ, АЧХ, ФЧХ приведены на рис. 32, а, б, в.

Инерционными звеньями первого порядка являются конструктивные элементы, которые могут накапливать энергию или вещество, и обладающие свойством без изменения внешних воздействий приходить в установившееся состояние (самовыравниванием).

Примеры инерционных звеньев первого порядка приведены на рис. 33.

Запишем RC и LR четырехполюсников. Для емкости имеет место соотношение:

Или в преобразованном по Лапласу виде при нулевых начальных условиях:

Из (113) получим выражение комплексного емкостного сопротивления:

Рис. 32. Частотные характеристики инерционного звена
первого порядка

или в преобразованном по Лапласу виде при нулевых начальных условиях:

Рис. 33. RС и LR – четырехполюсники – инерционные звенья
первого порядка

Из (116) получим выражение комплексного индуктивного сопротивления:

Теперь запишем выражение выходного напряжения для RC – четырехполюсника:

то с учетом (114) и (119) выражение (118) принимает вид:

Аналогично запишем выражение выходного напряжения для LC-четырехполюсника:

то с учетом (117) и (123) выражение (122) примет вид:

Однако общепринята запись передаточной функции звеньев второго порядка в другом виде:

Звенья второго порядка, таким образом, характеризуются тремя параметрами. Это коэффициент передачи, постоянная времени и коэффициент демпфирования x. В зависимости от величины коэффициента демпфирования различают типы звеньев: колебательное (0<x<1), консервативное (x=0) и апериодическое второго порядка (x³1).

Рассмотрим свойства колебательного звена. Выражения для его частотных функций имеют следующий вид:

Асимптотическая ЛАЧХ строится тем же приемом, что и для апериодического звена. В области низких частот Tw<<1 и в подкоренном выражении всеми членами, кроме 1, можно пренебречь. Тогда низкочастотная асимптота G(w)_нч принимает вид

В области высоких частот

(

и в подкоренном выражении можно оставить лишь

, пренебрегая остальными членами. Высокочастотная асимптота G(w)_вч описывается формулой:

Эта асимптота имеет наклон минус 40 дБ/дек. Сопрягаются асимптоты на частоте

, как показано на рис.2.17.

Точная ЛАЧХ

несколько отличается от асимптотической

. Максимальная ошибка - в районе около сопрягающей частоты. Для упрощенных расчетов можно считать, что наибольшая ошибка будет при

В районе

точная ЛАЧХ идет ниже асимптотической при

и выше - при

. При значениях

ошибка становится существенной (более трех децибел) и ее необходимо учитывать, используя приведенную выше формулу либо поправочные кривые из справочной литературы.

Представление о динамических свойствах звена можно получить из переходной характеристики, представленной на рис.2.18.

Примером звена второго порядка может служить колебательный контур (см. схему на рис.2.5 и вывод передаточной функции в примере 2.4).

Консервативное звено - частный случай колебательного звена, когда отсутствует демпфирование. Если обратиться к приведенному выше примеру (см. рис.2.5), то должны отсутствовать потери в контуре (выполняться условие R=0). В этом случае колебания стали бы незатухающими, и переходная характеристика описывалась бы выражением:

На сопрягающей частоте ЛАЧХ консервативного звена имеет всплеск бесконечной амплитуды, т.е. претерпевает разрыв, а ЛФЧХ из нулевого значения скачком достигает значения минус p.

При x ³ 1 передаточную функцию звена второго порядка можно преобразовать следующим образом:

То есть апериодическое звено второго порядка не является типовым или элементарным, так как его можно представить двумя последовательно соединенными более простыми звеньями - апериодическими первого порядка.

Определить, при каком соотношении параметров элементов схемы колебательный контур (см. рис.2.5) является колебательным звеном.

Запишем полученную в примере 2.4 передаточную функцию с использованием коэффициента демпфирования:

контур будет являться апериодическим звеном второго порядка. При этом следует обратить внимание на то, что лишь с позиций математического описания схему можно представить как последовательное соединение двух апериодических звеньев первого порядка. Расчленить же принципиальную схему на два участка, каждый из которых был бы соответствующим апериодическим звеном первого порядка, невозможно.

При параллельном соединении звеньев входные координаты всех звеньев равны, а выходные суммируются (рис.1.23).