В) Операторные уравнения (преобразование Лапласа).

Довольно часто можно встретить заблуждение, состоящее в том, что понятия комплексный коэффициент передачи (ККП) и передаточная функция это практически одно и то же, они отличаются только обозначением аргументов и поэтому области их применения одинаковы. Это происходит потому, что обычно автоматчики рассматривают линеаризованные модели САР с приращениями воздействий и реакций относительно некоторого стационарного режима. Такая модель предполагает, что начальные условия для приращений являются нулевыми.

Отметим, что и операторный и спектральный методы существует объективно. Это значит, что исследователь, даже не понимая, не думая об их существе, а следуя их алгоритмам может получать правильное решение задачи, например о переходном процессе в коммутируемой цепи.

На самом деле, ККП и передаточная функция отличаются и по смыслу, и по кругу решаемых ими задач. Если ККП это первый уровень обобщения понятия коэффициент усиления, когда учитываются зависимость величины усиления устройства от частоты усиливаемого им синусоидального сигнала, а также зависимость фазовой задержки от частоты сигнала, проходящего систему, то передаточная функция это следующий, второй уровень обобщения. Передаточная функция может все то, что может комплексный коэффициент усиления, но в добавок она позволяет учитывать и начальные условия системы, а следовательно, описывать и рассчитывать переходное процессы, связанные с рассогласованием в нулевой момент подачи воздействия на систему и ее начальным состоянием, описываемым начальными условиями.

Итак, основное практическое отличие передаточной функции от ККП состоит в том, что она позволяет учитывать начальные условия, а значит, описать и переходный процесс, связанный с этими начальными условиями. Основывается это на том, что изображение производной выходного сигнала учитывает эти самые начальные условия, в то время как ККП их не учитывает, полагая, что переходные процессы, связанные с подачей синусоид на систему закончились там же, в минус бесконечности, когда эти синусоиды начались, были поданы на систему (см. выше).

Для рассматриваемого примера (2.1) заменим в уравнении воздействие и отклик их лапласовыми изображениями. Если начальные условия не нулевые, то изображения производных включают их явно, поскольку [3]:

Подставив изображения выходного и входного сигналов в (2.1) получим:

Как видно, начальные условия модифицируют изображение входного сигнала добавлением к нему слагаемого Nu(p), деленного на коэффициент усиления системы, а выражение для передаточной функции W(p) действительно совпадает с точностью до обозначений с выражением для комплексного коэффициента передачи W(jω) (3.4) системы. При нулевых начальных условиях Nu(p) = 0.

Выражение (3.13) можно, ввиду справедливости принципа суперпозиции, представить в виде двух уравнений

На первый взгляд может показаться, что первое уравнение дает, как и комплексный коэффициент передачи, принужденную составляющую реакции системы, а второе – свободную. Но это не так. Первое уравнение, записанное для нулевых начальных условий, в общем случае имеет в решении и принужденную, и свою свободную компоненты, в то время как для второго принужденная равна нулю и решение совпадает со свободной компонентой этого уравнения, определяемой начальными условиями. Поэтому полная свободная компонента для (3.7) равна сумме свободных компонент первого и второго уравнений.

Если передаточная функция отличается от ККП только обозначением аргумента, то действительно ли операторный метод учитывает нулевые начальные условия? Да, действительно учитывает. Проиллюстрируем это рисунком:

Рис. 3.10. Выходные сигналы (красные линии) колебательного звена, заданного передаточной функцией (3.14), и их производные (синие линии) при гармонических воздействиях (коричневые пунктирные линии) с разными начальными фазами, равны нулю при t =0. Начальные условия нулевые. Виден переходный процесс. Решение получено операторным методом. Передаточная функция учитывает нулевые начальные условия (и выходные сигналы, и их первые производные в нулевой момент времени равны нулю) и определяет переходный процесс

Порядок определения реакции системы с помощью операторного метода иллюстрируется рисунком:

Что же позволяет операторному методу учитывать начальные условия? В нем предполагается, что все сигналы, подаваемые на систему, начинаются не раньше, чем в нулевой момент времени. Точнее, если использовать теорему об изображении задержанного сигнала, то область аргументов можно расширить и на отрицательные конечные значения времени, но это не изменяет существа дела. Изображение Лапласа, в отличие от спектра, использующего для представления сигнала только синусоиды, использует значительно более широкий класс элементарных сигналов, т.н. э-синусоиды, синусоиды различных частот и начальных фаз, амплитуды которых увеличиваются или уменьшаются с течением времени по экспоненциальному закону:

Операторный метод учитывает начальное, в общем случае не равное нулю значение воздействия. Поэтому есть возможность отнести начальные условия к воздействию, модифицировав его см. (3.15). Но и при нулевых начальных условиях может возникнуть переходный процесс, обусловленный несоответствием подаваемого на систему воздействия этим нулевым начальным условиям. Операторный метод работает и здесь. В этом отличие операторного метода от спектрального: начало воздействия в нулевой момент времени в общем случае приводит к переходному процессу и операторный метод должен его описать и делает это.

Рассмотрим для примера реакцию апериодического звена на синусоидальное воздействие, вычисленное различными методами: решением дифференциального уравнения, с помощью передаточной функции, т.е. операторным методом, и с помощью комплексного коэффициента передачи

Рис.3.12. Реакции апериодического звена на синусоидальные воздействия, поданные бесконечное время назад и в нулевой момент времени, вычисленные различными методами

Коричневая кривая (до t = 0 пунктирная, а затем сплошная) это воздействие x(t) = sin(10t) на апериодическое звено. Решение У_фурье(t) (синяя линия), найденное с помощью комплексного коэффициента передачи имеется на всей временной оси и не содержит переходного процесса, он закончился бесконечное время назад.

Решения У_лапл(t) и У_дифур(t) (красные сплошная и пунктирная, приподнятая для удобства сравнения на 0.1, линии) получены с помощью передаточной функции и дифференциального уравнения соответственно, для синусоидального воздействия x(t) = sin(10t)·1₀(t) (сплошная коричневая линия), включенного в нулевой момент времени, и начального условия y(0) = y0 = 1. Решения становятся отличными от нуля в положительные моменты времени, они совпадают и содержат переходный процесс. Ф(t) ≡ 1_о(t) – единичная ступенчатая функция Маткада.

Решение У_лапл0(t) (черная линия) получено с помощью передаточной функции для нулевого начального условия y(0) = 0 и содержит переходный процесс. Установившееся значение здесь такое же, как и у всех остальных решений.

Как видно, по окончании переходных процессов, к концу первой секунды, все решения совпадают (напомним, что У_дифур(t) – поднята на 0.1), т.е. дают принужденную составляющую решения дифференциального уравнения (установившийся режим).

Таким образом, передаточная функция и дифференциальное уравнение учитывают начальные условия, а комплексный коэффициент передачи не учитывает. Оно и понятно, с помощью ККП решалась задача, когда синусоида начинается в минус бесконечности, что не возможно для операторного метода, для которого сигналы начинаются в нулевой, момент времени. Изображения же, как полной синусоиды, так и синусоиды, начинающейся в нулевой момент времени совпадают и Маткад это подтверждает:

Преобразование Лапласа просто «не видит» значений сигнала при отрицательных значениях времени, даже если они там не равны нулю.

Отметим, что в операторном методе, как и в методе дифференциального уравнения можно задать начальные условия так, чтобы переходный процесс в момент подачи воздействия на систему не возник:

Рис.3.13. Реакция апериодического звена на последовательность прямоугольных импульсов при различных начальных условиях. Линия кирпичного цвета отображает реакцию нижнего апериодического звена на периодическую последовательность прямоугольных импульсов, начавшихся в минус бесконечности, тогда же начался и закончился и переходный процесс. Фиолетовая линии это реакция верхнего звена с начальным условием y(0) = 1.47259, соответствующим текущему значению выходного сигнала нижнего звена в момент времени -1.9 сек, когда на верхние звенья начинает поступать та же последовательность импульсов, что и на нижнее звено. Зеленая линия – выходной сигнал звена с нулевым начальным условием. Фиолетовая линия перешла в установившийся режим без переходного процесса, в отличие от зеленой. Для удобства сравнения фиолетовая линия приподнята, а зеленая опущена на 0.1

На рис. 3.13 анализируется апериодическое звено. Оно первого порядка, поэтому для него задается всего одно начальное условие: y(-1.9) или y(-∞). В случае звена второго порядка потребуется задавать два начальных условия, например y(0) и y’(0), для звена третьего – три и т.д.

Если ККП характеризуется АЧХ и ФЧХ, которые можно наглядно представить графически, то с передаточной функцией обычно работают аналитически, что уменьшает наглядность этого аппарата, он воспринимается формально. Современные программные инструменты, например Маткад, позволяют представить и модуль, и аргумент передаточной функции в трехмерном пространстве:

Рис.3.14. (анимация, 4 кадра). Модуль передаточной функции апериодического звена как функция комплексного аргумента, действительная часть которого затухание, а мнимая – частота. Передаточная функция имеет полюс в точке (-5, 0j)

Это наглядно, но практически пользоваться трехмерным графиком не очень удобно.

Т.о. и спектральный, и операторный метод не определяют в явном виде раздельно принужденную и свободную составляющие решения дифференциального уравнения, но с их помощью можно находить отдельно как установившийся, так и переходный процессы, соответствующим образом поставив задачу. Например, так, чтобы установившееся значение было заведомо равно нулю. Тогда все решение даст переходный процесс. Или наоборот, задать начальные условия так, чтобы отсутствовала свободная составляющая решения. И тогда все найденное решение и будет установившимся режимом.

8. Классические методы решения дифференциальных уравнений

9. операторные методы решения дифференциальных уравнений

Алгоритм решения дифференциальных уравнений операторным методом:
1. По заданному входному воздействию u(t) с помощью таблиц или интеграла Лапласа (2.3) находится его изображение U(p).
2. По дифференциальному уравнению составляется передаточная функция W(p).
3. Определяется изображение выходной переменной по выражению.
4. Определяется оригинал y(t) на основе обратного преобразования Лапласа с помощью таблиц по изображению Y(p).

где f(t) – оригинал, а (i = 1,2,..,n) – постоянные коэффициенты. Будем искать решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям . Обозначим изображение исходной функции , после чего найдем изображения правой и левой частей уравнения. Получив вспомогательное уравнение, разрешим его относительно X(p) и найдем оригинал его, то есть x(t).

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

Подставим в обе части этого тождества p=1. Тогда имеем

, откуда . Далее, подставляя найденные A и C в тождество, получим

Приравнивая свободные члены в обеих частях тождества, получаем уравнение для определения B:

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с

неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

, где

— основная матрица системы,

— столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на

— матрицу, обратную к матрице

Так как

, получаем

. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор

, действительно обратное правило: система

имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если

Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Устойчивость — свойство САУ возвращаться в заданный или близкий к нему установившийся режим после какого-либо возмущения.

Устойчивая САУ — система, в которой переходные процессы являются затухающими.

— операторная форма записи линеаризированного уравнения.

y _уст (y _вын) — частное решение линеаризированного уравнения.

y _п (y _св) — общее решение линеаризированного уравнения как однородного дифференциального уравнения, то есть

САУ устойчива, если переходные процессы у_n(t), вызываемые любыми возмущениями, будут затухающими с течением времени, то есть

при

Решая дифференциальное уравнение в общем случае, получим комплексные корни p_i, p_i+1 = ±α_i ± jβ_i

Каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует следующая составляющая уравнения переходного процесса:

· при ∀α_i<0 выполняется условие устойчивости, то есть переходный процесс с течением времени стремится к у_уст (Теорема Ляпунова 1);

· при ∃α_i>0, выполняется условие неустойчивости (Теорема Ляпунова 2), то есть

, что приводит к расходящимся колебаниям;

· при ∃α_i=0 и ∃α_i>0

, что приводит к незатухающим синусоидальным колебаниям системы (система на границе устойчивости) (Теорема Ляпунова 3).

12.Определение устойчивости по корням характеристического уравнения.

Теорема Ляпунова — теорема в теории вероятностей, устанавливающая некоторые общие достаточные условия для сходимости распределения сумм независимых случайных величин к нормальному закону.

Часто приходится иметь дело с такими случайными величинами, которые являются суммами большого числа независимых случайных величин. При некоторых весьма общих условиях оказывается, что эта сумма имеет распределение, близкое к нормальному, хотя каждое из слагаемых может не подчиняться нормальному закону распределения вероятностей. Эти условия были найдены Ляпуновым и составляют содержание теоремы, названной его именем.

Пусть с

,… последовательность попарно независимых случайных величин с математическими ожиданиями M

и дисперсиями D

, причём эти величины обладают следующими двумя свойствами:

1) Cуществует такое число L, что для любого i имеет место неравенство

, т, е. все значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены, относительно математических ожиданий;

Тогда при достаточно большом n сумма

имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть

математическое ожидание и дисперсия случайной величины

. Тогда

Если на вход объекта подавать периодический сигнал заданной амплитуды и частоты, то на выходе будет также периодический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе. Взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе объекта определяют частотные характеристики. Чаще всего их используют для описания одноканальных систем:

Формально обобщенная частотная характеристика

может быть получена из передаточной функции заменой p на

Составляющие обобщенной частотной характеристики

имеют самостоятельное значение и следующие названия:

вещественная частотная характеристика (ВЧХ),

амплитудная частотная характеристика (АЧХ),

Частотная характеристика

по выражению (2.42) может быть построена на комплексной плоскости. В этом случае конец вектора, соответствующий комплексному числу

, при изменении

от 0 до

прочерчивает на комплексной плоскости кривую, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Рис.2.6. Пример амплитудно-фазовой характеристики системы

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) - графическое отображение зависимости сдвига по фазе между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты,

Для определения

числитель и знаменатель W(j ) разлагаются на множители не выше второго порядка

тогда

, где знак "+" относится к i=1,2,...,l (числителю передаточной фунции), знак "-" -к i=l+1,...,L (знаменателя передаточной функции).

Каждое из слагаемых

определяется выражением

Наряду с АФХ отдельно строят и все остальные частотные характеристики. Так АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты; причем оценкой пропускания является отношение амплитуд выходного и входного сигнала. ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые системой на различных частотах.

Помимо рассмотренных частотных характеристик в теории автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики. Удобство работы с ними объясняется тем, что операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания. Построенная в логарифмическом масштабе АЧХ, называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ)

Эта величина выражается в децибелах (дб). При изображении ЛАЧХ удобнее по оси абсцисс откладывать частоту в логарифмическом масштабе, то есть

, выраженную в декадах (дек).

Рис.2.7. Пример логарифмической амплитудной частотной характеристики

В логарифмическом масштабе может быть изображена также и ФЧХ:

Рис.2.8. Пример логарифмической фазовой частотной характеристики

ЛФХ, реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы, передаточная функция которой имеет вид:

Рис. 2.9. Реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы

15. Логарифмические частотные характеристики.

При практических расчетах АСР удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат (логарифмические частотные характеристики – ЛЧХ). Они характеризуются большей линейностью и на определенных участках изменения частот могут быть заменены прямыми линиями и в целом представлены ломаными линиями. Причем отрезки прямых в большинстве случаев можно построить при помощи некоторых простых правил. Кроме того, в логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, т.к. умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.

За единицу длины по оси частот ЛЧХ принимается декада. Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением и его десятикратным значением. Отрезок, соответствующий одной декаде, равен 1.

Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)

ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – белах или децибелах (0,1 бела), сокращенно дБ (рис. 23).

Бел – единица измерения отношения мощности двух сигналов. Если мощность одного сигнала больше мощности другого в 10 раз, то эти мощности отличаются на 1 Б (lg10 = 1).

Т.к. мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды ,то

При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяется только для оси абсцисс.

Рис. 23. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

Передаточнаяфункция - выведенное идеальное (теоретическое) соотношение между входным и выходным сигналом. Устанавливает взаимосвязь между выходным электрическим сигналом датчика S и внешним воздействием: S =f(s). Представляется в виде: таблицы, графика, математического выражения.

Может быть линейной и нелинейной (например, логарифмической, экспоненциальной или степенной). Во многих случаяхпередаточная функция является одномерной (т.е. связывает выходной сигнал только с одним внешним воздействием).

Одномерную линейную функцию представляют в виде выражения:

где а - постоянная составляющая (т.е. значение выходного сигнала при нулевом входном воздействии),
b — наклон прямой, который часто называют чувствительностью датчика.
s - характеристика электрического сигнала, которую системы сбора данных воспринимают в качестве выходного сигнала датчика. В зависимости от свойств датчика это может быть амплитуда, частота или фаза.

Если датчик имеет передаточную функцию, которую невозможно описать выше приведенными аппроксимирующими выражениями, то для него применяются полиноминальные аппроксимации более высоких порядков.

Для нелинейных передаточных функций чувствительность b не является константой. Во многих случаях нелинейные датчики могут считаться линейными внутри ограниченного диапазона значений. Для более широкого диапазона значений нелинейная передаточная функция представляется в виде отрезков нескольких прямых линий: используется кусочно-линейная аппроксимация.

Для того, чтобы определить, может ли данная передаточная функция быть представлена в виде линейной зависимости, наблюдают за изменением выходных сигналов в линейной и реальной моделях при постепенном увеличении входного сигнала. Если разность сигналов не выходит за допустимые пределы, передаточную функцию данного датчика можно считать линейной.
В случаях, когда на выходной сигнал датчика оказывают влияние несколько внешних воздействий, его передаточная функция становится многомерной. Примером датчика с двумерной передаточной функцией является инфракрасный датчик температуры. Его передаточная функция:

где G – константа, связывает две температуры:
Ть — абсолютную температуру объекта измерения и
Тs — абсолютную температуру поверхности сенсорного элемента с выходным напряжением..

17. Передаточные функции соединение звеньев.

Последовательное соединение. Последовательным соединением звеньев называется такое их соединение, при котором выходная величина предыдущего звена является входной величиной последующего (рис. 2.1).

Из структурной схемы, показанной на рис. 2.1, следуют очевидные соотношения:

Подставляя выражение (2.16) для U(p) в формулу (2.17), получим

Если последовательно соединены n звеньев, то по аналогии с (2.19) можно записать

Таким образом, передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций звеньев, входящих в это соединение.

Параллельное соединение. Параллельным соединением звеньев называется такое их соединение, при котором на входы всех таким образом соединенных звеньев подается одно и то же воздействие, а выходные сигналы суммируются (рис.2.2). Необходимо найти W(p)=X(p)/F(p).

Из структурной схемы, показанной на рис. 2.2, следуют очевидные соотношения:

Если параллельно соединены n звеньев, то по аналогии с (2.21) можно записать

Таким образом, передаточная функция параллельного соединения равна сумме передаточных функций звеньев, входящих в это соединение.

Следует заметить, что при рассматриваемом соединении звеньев, выходные сигналы некоторых из них могут вычитаться. В этом случае выполняется алгебраическое суммирование передаточных функций звеньев.

Встречно-параллельное соединение звеньев (замкнутый контур). Встречно-параллельное соединением называется такое соединение звеньев, в котором имеется обратная связь.

Рассмотрим простейшую структурную схему, представленную в общем виде на рис. 2.3.

Необходимо найти три передаточные функции замкнутой системы:

3) от fз до  (передаточную функцию ошибки замкнутого контура).

Для того, чтобы понять каким образом необходимо действовать для решения поставленной задачи, подробно рассмотрим получение

По структурной схеме, показанной на рис. 2.3, можно записать следующую систему уравнений в изображениях по Лапласу:

Исключая из уравнений (2.23) - (2.25) переменные E(p) и Y(p), получим операторное уравнение замкнутого контура следующего вида:

откуда получаем искомую передаточную функцию замкнутого контура

Целесообразно проанализировать передаточную функцию (2.27), используя при этом структурную схему (рис. 2.3).

Назовем передаточную функцию от точки приложения воздействия до точки съема сигнала, считающегося выходным, передаточной функцией прямой цепи передачи воздействия и обозначим ее W П (p). Вся остальная часть контура расположена в цепи обратной связи, и ее передаточная функция W ОС (p).

Следовательно, на основе формулы (2.27) передаточную функцию замкнутой системы можно записать так

Поэтому в каждом конкретном случае для нахождения передаточной функции замкнутого контура необходимо грамотно выделить прямую цепь передачи воздействия и цепь обратной связи, найти их передаточные функции и воспользоваться формулой (2.28).

Воспользуемся этим правилом для определения двух еще не найденных передаточных функций замкнутого контура рис. 2.3. Для этого необходимо мысленно представить исходную структурную схему (рис. 2.3) в виде, показанном на рис. 2.4.

На основе структурной схемы в виде, показанном на рис. 2.4, а, фиксируем, что WП(p) = W1(p)W2(p) и WОС(p) = 1. Поэтому

Используя структурную схему в виде, показанном на рис. 2.4, фиксируем WП(p)=1 и WОС(p)=W1(p)W2(p). Поэтому

Очень важно научиться находить для каждого из воздействий и сигналов передаточные функции WП(p) и WОС(p), не перечерчивая составленную структурную схему.

Сравним найденные выше передаточные функции Wз1(p), Wз2(p), Wз3(p), определяемые формулами (2.27), (2.28), (2.29). Эти передаточные функции отличаются только числителями, имея один и тот же знаменатель. Это объясняется тем, что один и тот же замкнутый контур не может иметь разные собственные операторы.

Различие числителей полученных передаточных функций показывает, что входная величина по-разному преобразуется в выходную координату в зависимости от места приложения воздействия.

18. Связь передаточных функций и частотных характеристик.

19.Типовые динамические звенья и их характеристики.

Несмотря на различное конструктивное оформление функциональных элементов в автоматических системах имеет место общность их математических выражений, связывающих входные и выходные величины. Можно выделить ограниченное число типовых алгоритмических звеньев.

Алгоритмические звенья, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, получили название типовых динамических звеньев.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: