А) Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение наиболее общий инструмент описания системы связанных физических элементов, образующих техническое устройство или объект, способной воспринимать внешнее воздействие x(t) и характеризуемую некоторой выходной величиной y(t), известным образом зависящей от воздействия x(t). Все остальные методы описания систем прямо или косвенно вытекают из дифференциального уравнения или опираются на него.

Дифференциальное уравнение универсально и может описывать систему, как в режиме реального времени, так и апостериорно.

Напомним, как решаются дифференциальные уравнения. Рассмотрим для примера уравнение

Здесь x = x(t) задаваемое в текущем режиме или полностью известное на всем временном интервале входное воздействие на систему, а y = y(t) – искомая реакция системы на воздействие. Коэффициенты уравнения определяются моделируемой системой.

Для однозначного решения (2.1) должны быть заданы начальные условия: значения решения y(0) и его производной y’(0) по времени в начальный, например нулевой, момент времени. В физической системе эти значения определяются энергией, содержащейся в этот момент времени в элементах, способных ее накапливать, например, в электрических емкостях и индуктивностях, пружинах, подвижных массивных деталях и т.п. Кроме того, должно быть задано и входное воздействие x(t). Входным воздействием может быть произвольный сигнал, в том числе, например, пробный: ступенчатая единичная функция или синусоидальный сигнал x(t) = sin(ωt + φ), или более сложные сигналы, изменение которых во времени заранее не известно. Известными считаются и коэффициенты в (2.1), которые определяются составом и свойствами системы и, в свою очередь, характеризуют ее модель.

Методы решения дифференциальных уравнений разделяются на аналитические и численные, а кроме того, такие уравнения можно решать на аналоговых и квазианалоговых (виртуальных) вычислительных машинах. Аналитические методы дают в результате решения формулы для y(t) и используются для решения уравнений в случае известных заранее воздействий. Если входное воздействие не известно заранее и его значения поступают с течением времени от некоторого источника, то уравнение может решаться либо численно, либо на аналоговой машине.

В случае известного заранее воздействия x(t), решение (2.1) можно получить аналитически. Его удобно представлять в виде суммы принужденной y_пр(t) и свободной y_св(t) составляющих:

поскольку их легко разделить и найти по отдельности.

В устойчивых системах y_св(t) затухает с течением времени, поэтому при относительно больших значениях t, при условии, что воздействие достаточно гладкое, т.е. оно и ее младшие производные не содержат скачков (разрывов первого рода) [1], выходной сигнал системы приближается к принужденному

Математики говорят, что это частное решение неоднородного уравнения (2.1). Решение (2.3) позволяет найти принужденную компоненту как выходной сигнал при больших значениях времени, экстраполировать его на весь временной интервал, а потом найти и свободную составляющую:

Математики называют (2.4) общим решением однородного уравнения (это (2.1), в котором правая часть равна нулю).

определяется корнями p_k характеристического полинома A(p):

системы, составляемого по левой части дифференциального уравнения (2.1), а также начальными условиями y(0) и y’(0) и видом воздействия x(t), в том числе его значениями в нулевой момент времени x(0), позволяющими найти коэффициенты С1 и С2.

Рис.2.2. Решение y(t) дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях и известном заранее воздействии x(t) = sin(30t) ·1o(t) (синяя линия) складывается из принужденной y_пр(t) (фиолетовая линия) и свободной y_св(t) (зеленая линия) компонент. Свободная компонента решения, определяющая переходный процесс, определяется начальными условиями, характеризующими систему, описываемую дифференциальным уравнением, и поданным в нулевой момент на систему сигналом. Она затухает, в данном случае за 0.5 сек. В переходном процессе система «подстраивается» под внешнее воздействие, переходя к установившемуся режиму

Переходный процесс может быть вызван не только несоответствием начальных условий системы подаваемому воздействию, но и скачкообразными изменениями воздействия на систему и его младших производных, которые могут быть не известны заранее. Если САР, пусть и с некоторой ошибкой успевает отслеживать воздействие, то она находится в установившемся динамическом режиме. Но если она в какой-то момент не успевает отследить достаточно быстро изменяющееся воздействие, то появляется свободная составляющая, например, колебательная, связанная со свободным, не принужденным обменом энергией между ее накапливающими элементами, до затухания которой режим САР является переходным, а затем вновь становится установившимся.

Начальные условия удобнее всего приурочить к моменту подачи сигнала на систему, однако, это не обязательное требование. Начальные условия в принципе могут быть заданы и для других моментов времени, и эти моменты могут быть разными для значений выходного сигнала и его младших производных.

Если воздействие на систему, описание которой осуществляется дифференциальным уравнением, поступает в реальном времени и, следовательно, прогнозировать его не возможно, то понятия свободная и принужденная составляющие решения уравнения теряют смысл, поскольку они не могут быть найдены в текущем времени по отдельности, однако понятия переходный и установившийся режим могут использоваться и в таком случае.

Дифференциальное уравнение при полностью известном воздействии позволяет корректно определить понятия переходного и установившегося режима, используемые в ТАУ. Эти понятия применяются для устойчивых систем:

- переходный режим – это сумма свободной и принужденной компонент решения дифференциального уравнения в пределах временного интервала, пока свободная компонента не затухнет. Практический критерий затухания – уменьшение величины амплитуды свободной компоненты в 20 раз по сравнению с максимальным ее значением;

- установившийся режим это принужденная компонента решения дифференциального уравнения, он начинается с момента затухания свободной компоненты, совпадает с принужденной компонентой решения дифференциального уравнения и длится до возникновения нового переходного режима.

Примечание. Выявить, существует ли в данный момент при работе в текущем времени, переходный режим можно по анализу отличия ошибки регулирования от ее гладкого прогноза, осуществляемого с помощью коэффициентов ошибок

. В переходном режиме эта разность будет содержать собственные колебания системы, определяемые комплексными и действительными корнями ее характеристического полинома [1].

В ряде случаев представляется удобным описание поведения системы, ее переходного и установившегося режимов с помощью т.н. фазового портрета: графического представления взаимосвязи решения дифференциального уравнения и его производной. Часто фазовый портрет применяется для изучения свободного поведения системы, находящейся в некотором начальном состоянии, но он может быть использован также и для рассмотрения поведения системы при внешнем воздействии. Для рассмотренного выше примера синусоидального воздействия на систему (2.1) ее фазовый портрет выглядит следующим образом:

Метод дифференциального уравнения позволяет численно решать задачи в текущем времени потому, что решение находится по шагам, по мере поступления воздействия.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) описывает систему с одним входом и одним выходом. Оно может быть записано и в виде системы ОДУ. Многомерные системы, имеющие несколько входов и несколько выходов, также описываются системами ОДУ. Важным частным случаем систем ОДУ, опирающимся на мощный математический матричный аппарат линейной алгебры, является представление системы ОДУ в форме Коши, что позволяет описывать техническую или физическую линейную систему переменными состояния, в частности фазовыми переменными.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: