Линеаризация исходной системы

Под синтезом системы автоматического управления понимается направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание рациональной структуры системы и установление оптимальных величин параметров ее отдельных звеньев. В данной курсовой работе понятие «синтез» будет трактоваться в очень узком смысле и рассматриваться как инженерный синтез, имеющий целью определение вида и параметров корректирующих средств, которые необходимо добавить к некоторой неизменяемой части системы, чтобы обеспечить требуемые динамические качества. При инженерном синтезе системы автоматического управления необходимо обеспечить, во-первых, требуемую точность и, во-вторых, приемлемый характер переходных процессов. Решение первой задачи в большинстве случаев сводится к определению требуемого общего коэффициента передачи разомкнутой системы и, в случае необходимости, – вида корректирующих средств, повышающих точность системы. Решение этой задачи, как правило, не сопряжено с трудностями принципиального или вычислительного характера, так как критерии точности достаточно просты для их практического использования. Решение второй задачи – обеспечение приемлемых переходных процессов – оказывается почти всегда более трудным вследствие большого числа варьируемых параметров.

В настоящее время для целей синтеза систем автоматического управления широко используются вычислительные машины, позволяющие производить полное или частичное моделирование проектируемой системы. При таком моделировании становится возможным наиболее полно исследовать влияние различных факторов: нелинейности, зависимость параметров от времени и т.п. В разделе 4 данной курсовой работы будет продемонстрировано, как применение средств моделирования позволяет сэкономить время и силы для решения задач инженерного синтеза. Однако моделирование на вычислительных машинах не может заменить расчетных методов проектирования, которые во многих случаях позволяют исследовать вопрос в общем виде и среди многих решений найти рациональное.

Итак, перед нами имеется некоторая система автоматического регулирования, которая уже имеет математическое описание в виде передаточных функций (или, так называемая, «модель вход-выход динамической системы» [5, стр. 16]). Неизменяемая часть исходной системы состоит из объекта управления, усилителя мощности и датчика обратной связи. Управление объектом управления ведется по его выходу, за которым происходит постоянное слежение через датчик обратной связи.

Перед нами стоит задача обеспечения работы данной системы с требуемой динамической ошибкой слежения и заданными в техническом задании параметрами переходного процесса. Так как мы имеем только математическое описание и не знаем, как ведет себя система, перед нами встает целый ряд более мелких задач, таких как исследование системы на устойчивость и определение показателей качества системы. Только определив показатели качества устойчивой системы, мы можем принять решение о начале синтеза.

В случае если система не будет удовлетворять требованиям технического задания, мы будем должны достроить структуру системы таким образом, чтобы придать ей необходимые нам свойства. Существует несколько подходов для решения задачи инженерного синтеза, но в данной курсовой будет продемонстрирован один наиболее часто используемый «метод желаемой ЛАЧХ».

Отметим, что усилитель мощности данной системы неидеален и имеет «зону насыщения». Это необходимо иметь в виду, так как всякая нелинейность добавляет системе свойства, присущие нелинейным системам, например, автоколебания и неабсолютная устойчивость. Однако в первом приближении можно идеализировать усилитель мощности, так как в реальных условиях предполагается, что рабочей зоной будет именно его линейная часть. Как правило, реальные механические системы обладают люфтом, обусловленным не идеальностью механического соединения или износом механической части. В дальнейшем будем полагать, что в кинематической связи объекта управления с прочими объектами системы имеется некоторый люфт.

На рисунке 1.1 представлена функциональная схема исходной системы. На ней представлены следующие элементы: ОУ – объект управления; УМ – усилитель мощности; ЭС – элемент сравнения; ДОС – датчик обратной связи; КС – кинематическая связь. ОУ имеет всего один управляемый выход Y.

Рисунок 1.1 Функциональная схема исходной системы

Элементы ОУ и ДОС являются линейными, непрерывными и могут быть представлены в виде следующих передаточных функций (значения параметров подставлены в соответствии с техническим заданием):

Элементы УМ и КС функциональной схемы 1.1 нелинейные. Всякая нелинейность может быть представлена в виде математической функции от входного сигнала нелинейности. График функции нелинейного элемента называется «статической характеристикой нелинейности». Так, УМ, согласно условию, является нелинейностью типа «ограничение», а КС представляется в виде последовательного соединения коэффициента пропорциональности и нелинейности типа «люфт». Так как техническое задание регламентирует параметры этих нелинейностей, то можно представить их графически в виде статических характеристик.

Статические характеристики УМ и КС представлены на рисунках 1.2 и 1.3 соответственно. Отметим, что статическая характеристика 1.3 характеризует нелинейную составляющую КС.

Рисунок 1.2 Статическая характеристика элемента УМ

Рисунок 1.3 Статическая характеристика нелинейной части КС

Определим размерности входных и выходных сигналов всех звеньев. На вход УМ подается сигнал с размерностью [В] и на выходе УМ размерность сигнала также [В]. ОУ преобразует [В] на входе в [рад] на выходе, т.е.

Элемент КС принимает на свой вход величину с размерностью радианы, преобразуемую элементом в величину с размерностью градусы, которая в дальнейшем отправляется на ДОС, поэтому на выходе с обратной цепи размерность будет

Таким образом, на сумматоре сравниваются сигналы с размерностью в вольтах, и ошибка также имеет размерность вольт, что не противоречит физическому смыслу.

Переведем функциональную схему в структурную (результат показан на рисунке 1.4).

Рисунок 1.4 Структурная схема СУ исходной системы

Проведем анализ устойчивости линеаризованной СУ, для чего воспользуемся алгебраическим критерием Гурвица.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Тогда характеристическое уравнение замкнутой системы примет вид

Выписав числитель характеристического уравнения, и раскрыв скобки, получим следующее полиномиальное уравнение

Необходимое условие устойчивости выполняется, так как все коэффициенты полиномиального уравнения строго положительные. Достаточный критерий Гурвица для системы 4-го порядка запишется в виде следующего неравенства

Тогда после подстановки неравенство примет следующий вид

Неравенство верное, а значит замкнутая система устойчивая.

Если качество процессов регулирования для заданных параметров не удовлетворяют поставленным требованиям, то в систему вводят дополнительные корректирующие элементы и выбирают их характеристики так, чтобы удовлетворить этим требованиям.

Простейшей коррекцией системы является ввод в прямую цепь СУ последовательного корректирующего устройства. Определить передаточную функцию такого корректирующего устройства можно с помощью одного из методов синтеза, называемого «методом логарифмических амплитудных характеристик».

Сущность метода заключается в построении желаемой ЛАЧХ системы. Тогда передаточная функция последовательного корректирующего устройства определится вычитанием из ЛАЧХ желаемой ЛАЧХ действительной. Построим действительную ЛАЧХ системы (все дальнейшие рассуждения отнесены к приложению А), воспользовавшись передаточной функцией (1.3).

Желаемая ЛАЧХ строится исходя из требований, предъявляемых к системе. Желаемая ЛАЧХ условно разделяется на три участка: низкочастотного (НЧ), среднечастотного (СЧ) и высокочастотного (ВЧ). НЧ участок отвечает за воспроизведение системой входного воздействия; СЧ участок отвечает за качество переходного процесса; ВЧ участок отвечает за подавление шумов.

Построение желаемой ЛАЧХ начнем с НЧ участка. Для системы нормируется ошибка слежения за переменным входным воздействием, определяемым в техническом задании максимальной скоростью и ускорением. В связи с этим НЧ участок должен находиться, вне так называемой «запретной области», внутри которой ошибка слежения всегда будет больше нормируемого значения. Данную зону можно охарактеризовать на плоскости ЛАЧХ «контрольной точкой», обозначаемой А_к.

НЧ участок будет состоять из двух асимптот: первая асимптота –20 дБ/дек проходит через точку А_к, пересекая ось L на уровне L_ж; другая асимптота имеет наклон –40 дБ/дек и начинается с точки А_к. Далее вторая асимптота пересекается с СЧ участком в некоторой точке, которая определяется после построения этого участка.

Фактически одну координату контрольной точки мы уже вычислили по формуле (1.6) в предыдущем разделе, так как скорость и ускорение переменного входного воздействия дают критерий по угловой частоте. Другую координату вычислим по формуле [1, стр. 362]

где e_д – граница относительной ошибки слежения.

Принимая во внимание требования технического задания, получим

Тогда постоянная времени T₁ желаемой ЛАЧХ будет равна

Минимальный коэффициент передачи системы будет рассчитываться по следующей формуле [1, стр. 363]

Таким образом, первая асимптота НЧ участка должна проходить через ось L на уровне

и точку А_k, чтобы удовлетворить требованиям по точности. Однако, не следует забывать, что асимптотическая ЛАЧХ приближенно отражает точки на частотах сопряжения. Чтобы учесть погрешность, которую вносит асимптотическая ЛАЧХ, поднимем желаемую ЛАЧХ над запрещенной зоной на 3 дБ. Тогда коэффициент передачи системы в логарифмическом масштабе будет равен

Далее после точки А_k НЧ участок продолжает асимптота –40 дБ/дек.

Построим СЧ участок, который характеризуется частотой среза и протяженностью. Установлено, что благоприятное протекание переходного процесса имеет место только в том случае, если ЛАЧХ вблизи частоты среза имеет наклон минус 20 дБ на декаду, причем длина этого участка должны быть порядка одной декады [2, стр. 60]. Значение частоты среза влияет на быстродействие системы. Определим частоту среза по номограмме Солодовникова [1, стр. 356].

Из номограммы получаем следующую зависимость для s £ 25 %

Подставив граничное значение времени регулирования, получим так называемую предельную частоту

Откуда частоту среза в первом приближении следует взять равной

Величина перерегулирования определяется протяженностью СЧ участка, которая в любом случае должна быть не меньше одной декады. Протяженность СЧ участка можно определить по второй номограмме Солодовникова [1, стр. 358], которая рекомендует запасы по модулю (в терминологии [1]) на границах СЧ участка L₁ и L₂ и запас по фазе m на СЧ участке. По номограмме рекомендуется, чтобы запасы были следующими

Из ЛАЧХ приложения А очевидно, что наращивать запас по модулю на левой границе не позволяет запретная область. Напротив, правая граница ничем не ограничена, поэтому будем продлевать асимптоту СЧ участка до того момента, пока значение L₂ не станет –20 дБ. Таким образом, постоянные времени T₂ и T₃ будут равны

Для расчета фазового сдвига на протяжении СЧ участка необходима часть ЛФЧХ между частотами w₂ и w₃. Для построения ЛФЧХ необходимо достроить желаемую ЛАЧХ ВЧ участком.

Согласно рекомендации [1, стр. 360] необходимо стараться, чтобы ВЧ участок как можно меньше отличался от исходной ЛАЧХ. Тогда составим ВЧ участок из асимптот параллельных асимптотам исходной ЛАЧХ после СЧ участка с теми же частотами сопряжения. Ориентируясь на (1.3) получим следующую частоту сопряжения

Глядя на построенную желаемую ЛАЧХ системы, можно записать следующую передаточную функцию

Тогда фазовый сдвиг и запасы по фазе на СЧ участке будут определяться так

Можно не просчитывать весь участок, а ограничиться крайними точками, тогда

т.е. запас по фазовому рассогласованию очень хорошо выдержан.

Чтобы получить передаточную функцию корректирующего устройства необходимо из ЛАЧХ желаемой вычесть ЛАЧХ действительную или, что даст тот же результат, найти отношение (2.2) и (1.3). Тогда получим

В итоге мы получили физически реализуемое корректирующее устройство. Включим корректирующее устройство в прямую цепь линеаризованной структурной схемы (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 Структурная схема скорректированной системы

Получим передаточную функцию скорректированной разомкнутой системы, умножив (1.3) на (2.4)

Теперь перед нами стоит задача оценить влияние корректирующего звена на систему, а именно как корректирующее звено повлияло на устойчивость системы и как изменило качества системы.

В данной курсовой работе была исследована и скорректирована система автоматического регулирования. В рамках синтеза в систему было внедрено корректирующее устройство, изменившее необходимые проектировщику свойства системы. В рамках исследования на систему подавались различные входные воздействия. Исследовалась как идеализированная модель системы, так и модель, которая учитывала нелинейность отдельных компонентов системы. Также был проведен анализ на возможность возникновения автоколебаний.

Большую помощь в проведенной работе оказал компьютер. Например, на компьютере было проведено имитационное моделирование, которое с достаточной точностью показало поведение системы в условиях, приближенных к реальным. В частности было продемонстрировано, как выход в зону нелинейностей системы коренным образом изменяет режим ее работы, делая его непригодным для целей автоматического регулирования.

Также большая часть расчетов была произведена в системе Mathcad,что позволило при работе с маленькими числами в меньшей мере терять в точности и автоматизировать некоторые рутинные операции в расчетах.

Вся проведенная работа является большей частью реального проектирования систем управления. Единственный этап, который был пропущен в ходе нашего «проектирования» это этап составления математической модели.

В таблице 6.1 показано как изменились показатели системы после ввода в систему корректирующего устройства.

1 Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – Изд. 4-е, перераб. и доп. – СПб, Изд-во «Профессия», 2003. – 752 с.

2 Справочник по радиоэлектронике: в 3 т. / под. ред. А.А. Куликовского. – М.: «Энергия», 1970. – Т. 3. – 816 с.

3 Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал). – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Машиностроение, 1982. – 504 с.

4 Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления / под ред. В.А. Бесекерского, – 4-е изд., стереотип. – М.: «Наука», 1972. – 587 с.

5 Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы. – 2-е изд. перераб. – М.: Учебно-методический и издательский центр «Учебная литература», 2004. – 252 с.

6 Данилов С.Н. Пакет Scilab для моделирования динамических систем: учебное пособие / С.Н. Данилов. – Тамбов: Тамбовский государственный технический университет, 2009. – 73 с.

1 Определение относительной ошибки слежения исходной системы

2 Определение прямых показателей качества исходной системы

5 Определение нулей и полюсов скорректированной системы

7 Построение переходной характеристики скорректированной системы

11 Исследование системы на возможность возникновения автоколебаний

Рисунок 1.1 Функциональная схема исходной системы

Рисунок 1.2 Статическая характеристика элемента УМ

Рисунок 1.3 Статическая характеристика нелинейной части КС

Переведем функциональную схему в структурную (результат показан на рисунке 1.4).

Рисунок 1.4 Структурная схема СУ исходной системы

Для исследования системы в первом приближении необходимо избавиться от всех ее нелинейных частей, если это возможно. В первом приближении люфтом можно пренебречь и считать его единичным усилительным звеном. Отчасти это возможно потому, что величина люфта очень мала (рисунок 1.3). Для нелинейности УМ можно использовать уравнение первого приближения, так как на интересующем нас участке эта нелинейность непрерывна.

В данном случае уравнением первого приближения для нашего нелинейного звена – это уравнение прямой вида

Ориентируясь на статическую характеристику звена (рисунок 1.2) нетрудно определить параметры прямой, а именно, что это несмещенная прямая с угловым коэффициентом

достаточно точно описывает нашу нелинейность в окрестности точки [0;0] при ограничении на входной сигнал

На рисунке 1.5 показана линеаризованная система управления. После линеаризации нелинейное звено УМ представляет обычный безынерционный усилитель, а коэффициент пропорциональности КС был объединен с передаточной функцией (1.2), так как люфтом мы пренебрегли.

Рисунок 1.5 Структурная схема СУ исходной системы после линеаризации

Проведем анализ устойчивости линеаризованной СУ, для чего воспользуемся алгебраическим критерием Гурвица.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Тогда характеристическое уравнение замкнутой системы примет вид

Тогда после подстановки неравенство примет следующий вид

Неравенство верное, а значит замкнутая система устойчивая.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: