|
Уравнения плоской и сферической волнСтр 1 из 10Следующая ⇒ На правах рукописи Физика Конспект лекций (Часть 5. Волны, волновая оптика)
Для студентов направления 230400 «Информационные системы и технологии»
Электронный образовательный ресурс
Составитель: к.ф.-м.н., доцент В.В. Коноваленко
Рассмотрен и рекомендован для использования в учебном процессе на 2013/2014 – 2015/2016 уч. г. на заседании кафедры ЕНД. Протокол № 1 от 04. 09. 2013 г.
Шахты 2013 Волновые процессы Основные понятия и определения Рассмотрим некоторую упругую среду - твёрдую, жидкую или газообразную. Если в каком-либо месте этой среды возбудить колебания её частиц, то вследствие взаимодействия между частицами, колебания будут, передаваясь от одной частицы среды к другой распространяться в среде с некоторой скоростью
Для характеристики поперечных колебаний необходимо задать положение в пространстве плоскости, проходящей через направление колебаний и направление распространения волны - плоскости поляризации. Область пространства, в которой колеблются все частицы среды, называется волновым полем. Граница между волновым полем и остальным пространством среды называется фронтом волны. Иначе говоря, фронт волны - геометрическое место точек, до которых колебания дошли к данному моменту времени. В однородной и изотропной среде направление распространения волны перпендикулярно к фронту волны. Пока в среде существует волна, частицы среды совершают колебания около своих положений равновесия. Пусть эти колебания являются гармоническими, и период этих колебаний равен Т. Частицы, отстоящие друг от друга на расстояние
вдоль направления распространения волны, совершают колебания одинаковым образом, т.е. в каждый данный момент времени их смещения одинаковы. Расстояние Геометрическое место точек, совершающих колебания в одной фазе называется волновой поверхностью. Фронт волны – частный случай волновой поверхности. Длина волны – минимальное расстояние между двумя волновыми поверхностями, в которых точки колеблются одинаковым образом, или можно сказать, что фазы их колебаний отличаются на Если волновые поверхности являются плоскостями, то волна называется плоской, а если сферами – то сферической. Плоская волна возбуждается в сплошной однородной и изотропной среде при колебаниях бесконечной плоскости. Возбуждение сферической можно представить в виде результата радиальных пульсаций сферической поверхности, а также как результат действия точечного источника, размерами которого по сравнению с расстоянием до точки наблюдения можно пренебречь. Поскольку любой реальный источник имеет конечные размеры, на достаточно большом расстоянии от него волна будет близка к сферической. В то же время участок волновой поверхности сферической волны по мере уменьшения его размеров становится сколь угодно близким к участку волновой поверхности плоской волны. Уравнение плоской волны, распространяющейся В произвольном направлении
В плоскости, отстоящей от начала координат на расстояние l, колебания будут отставать по времени на
Из аналитической геометрии известно, что расстояние от начала координат до некоторой плоскости равно скалярному произведению радиус-вектора
Вектор
Функция (22.15) даёт отклонение от положения равновесия точки с радиус-вектором
Теперь уравнение плоской волны принимает вид:
Часто оказывается полезным представить уравнение волны в экспоненциальной форме. Для этого воспользуемся формулой Эйлера:
где
Волновое уравнение Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения второго порядка, называемого волновым. Для того чтобы установить вид этого уравнения, найдем вторые производные по каждому из аргументов уравнения плоской волны (22.17):
Сложим первые три уравнения с производными по координатам:
Выразим
Сумму вторых производных в левой части (22.25) представим как результат действия оператора Лапласа на
Примечательно, что в волновом уравнении квадратный корень из величины, обратной коэффициенту при производной по времени дает скорость распространения волны. Можно показать, что волновому уравнению (22.26) удовлетворяет любая функция вида:
и каждая из них является уравнением волны и описывает некоторую волну. Энергия упругой волны Рассмотрим в среде, в которой распространяется упругая волна (22.10),
Вследствие распространения в среде волны объём
В соответствии с (22.35) модуль Юнга можно представить в виде
Рассматриваемый объём обладает также кинетической энергией:
Полная энергия объёма:
А плотность энергии:
Но
Подставим эти выражения в (22.42) и учтем, что
Таким образом, плотность энергии различна в разных точках пространства и меняется во времени по закону квадрата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно 1/2, а значит среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке среды, в которой распространяется волна:
Выражение (22.45) справедливо для всех видов волн.
Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии. Следовательно, волна переносит с собой энергию. Х.6 Излучение диполя Колеблющийся электрический диполь, т.е. диполь, электрический момент которого периодически изменяется, например, по гармоническому закону, является простейшей системой, излучающей электромагнитные волны. Одним из важных примеров колеблющегося диполя является система состоящая из отрицательного заряда Предположим, что дипольный момент изменяется по гармоническому закону:
где
Электродинамический расчет показывает, что вектор
Поскольку вектор Пойнтинга
и можно утверждать, что сильнее всего диполь излучает в направлениях, соответствующих
Поскольку
то средняя мощность
оказывается пропорциональной квадрату амплитуды дипольного момента и четвертой степени частоты. С другой стороны, учитывая, что
Это утверждение справедливо не только при колебаниях заряда, но и для произвольного движения заряда.
Волновая оптика
В этом разделе мы будем рассматривать такие световые явления, в которых проявляется волновая природа света. Напомним, что для света характерен корпускулярно-волновой дуализм и существуют явления, объяснимые только на основе представления о свете, как о потоке частиц. Но эти явления мы рассмотрим в квантовой оптике.
Общие сведения о свете
Итак, считаем свет электромагнитной волной. В электромагнитной волне колеблется
где
Плоскость, в которой колеблется
где называется показателем преломления и характеризует отличие скорости света в данной среде от скорости света в вакууме (пустоте). В большинстве случаев у прозрачных веществ магнитная проницаемость
Значение n используют для характеристики оптической плотности среды: чем больше n, тем более оптически плотной называется среда. Видимый свет имеет в вакууме длины волн в интервале ![]() Реальные приемники света не в состоянии уследить за столь быстротечными процессами и регистрируют усредненный во времени поток энергии. По определению, интенсивностью света называется модуль среднего по времени значения плотности потока энергии, переносимой световой волной:
Поскольку в электромагнитной волне
Поэтому можно считать, что Ι ~ В однородной среде I ~ A2 (8) Лучами будем называть линии, вдоль которых распространяется световая энергия. Вектор среднего потока энергии В естественном свете имеются волны с самыми различными ориентациями плоскости колебаний. Поэтому, не смотря на поперечность световых волн, излучение обычных источников света не обнаруживает асимметрии относительно направления распространения. Эта особенность света (естественного) объясняется следующим: результирующая световая волна источника складывается из волн, испущенных различными атомами. Каждый атом излучает волну в течение Плоскость колебаний каждого цуга вполне определённа. Но одновременно свои цуги излучают огромное число атомов, а плоскость колебаний каждого цуга ориентирована независимо от других, случайным образом. Поэтому в результирующей волне от тела колебания различных направлений представлены с равной вероятностью. Это означает, что, если некоторым прибором исследовать интенсивность света с различной ориентацией вектора Измерение интенсивности процесс длительный по сравнению с периодом волны, и рассмотренные представления о природе естественного света удобны при описании достаточно длительных процессов. Однако в данный момент времени в конкретной точке пространства в результате сложения векторов
Причем Свет, в котором направления колебаний вектора Если колебания светового вектора происходят только в одной плоскости, проходящей через луч, то свет называется плоско - или линейно поляризованным. Другими словами в плоско поляризованном свете плоскость колебаний имеет строго фиксированное положение. Возможны и другие виды упорядочения, то есть виды поляризации света.
Принцип Гюйгенса
В приближении геометрической оптики свет не должен проникать в область геометрической тени. В действительности свет проникает в эту область, и это явление становится тем существенней, чем меньше размеры преград. Если размеры отверстий или щелей сравнимы с длинной волны, то геометрическая оптика неприменима. Качественно поведение света за преградой объясняется принципом Гюйгенса, который позволяет построить фронт волны в момент Согласно принципу Гюйгенса каждая точка, до которой доходит волновое движение, становится точечным источником вторичных волн. Огибающая по фронтам вторичных волн дает положение фронта волны. Интерференция света
Пусть в некоторой точке среды две волны (плоско поляризованные) возбуждают два колебания одинаковой частоты и одинакового направления:
Амплитуда результирующего колебания определяется выражением:
Будем считать когерентными волны, у которых У некогерентных волн 6 Если же волны когерентные и
Но Отсутствие интерференции в быту при использовании нескольких источников света объясняется их некогерентностью. Отдельные атомы излучают импульсами в течение Реально когерентные волны получают путем разделения излучения одного источника на две части. При наложении частей можно наблюдать интерференцию. Но при этом разносить оптических длин не должна быть порядка длины цуга. Иначе интерференции не будет, т.к. накладываются различные цуги.
Разносить фаз
где Величина Если
то Если
то
КОГЕРЕНТНОСТЬ
Когерентность – согласованное протекание двух или нескольких волновых процессов. Абсолютной согласованности никогда не бывает, поэтому можно говорить о различной степени когерентности. Различают временную и пространственную когерентность.
Временная когерентность Уравнение реальных волн Мы рассмотрели интерференцию волн, описываемых уравнениями вида:
Однако такие волны являются математической абстракцией, поскольку волна, описываемая (1), должна быть бесконечной во времени и пространстве. Только в этом случае величины Реальная волна, образующаяся в результате наложения цугов от различных атомов, содержит в себе составляющие, частоты которых лежат в конечном диапазоне частот
Причем хаотические изменения функций от времени в (2) являются независимыми. Для простоты анализа положим амплитуды волн постоянными и одинаковыми (экспериментально это условие реализуется достаточно просто): Изменения частоты и фазы можно свести к изменениям только частоты или только фазы. Действительно, допустим, негармоничность функций (2) обусловлена скачками фазы. Но, по доказываемой в математике теореме Фурье, любую негармоническую функцию можно представить в виде суммы гармонических составляющих, частоты которых заключены в некоторых
где
Итак, негармоническая вследствие изменения фазы функция представима в виде суперпозиции гармонических составляющих с частотами в некотором С другой стороны, функцию с переменной частотой и фазой можно свести к функции с переменной только фазой:
Поэтому для укрощения дальнейшего анализа будем считать: т. е. реализуем фазовый подход к понятию «Временная когерентность». Полосы равного наклона Пусть тонкая плоскопараллельная пластинка освещается рассеянным монохроматическим светом. Расположим параллельно пластинке собирающую линзу, в ее фокальной плоскости – экран. В рассеянном свете имеются лучи самых разнообразных направлений. Лучи, падающие под углом Лучи, падающие под углом Роль линзы может исполнять хрусталик, а экрана – сетчатка глаза. При этом глаз должен быть аккомодирован на бесконечность. В белом свете получаются разноцветные полосы. Полосы равной толщины Возьмем пластинку в виде клина. Пусть на нее падает параллельный пучок света. Рассмотрим лучи, отразившиеся от верхней и нижней граней пластинки. Если эти лучи свести линзой в точке Если расположить экран так, чтобы он был сопряжен с поверхностью, в которой лежат точки P, Р1 Р2 то на нем возникнет система светлых и темных полос, каждая из которых образована за счет отражений от пластинки в местах определенной толщины. Поэтому в данном случае полосы называются полосами равной толщины. При наблюдении в белом свете полосы будут окрашенными. Локализованы полосы равной толщины вблизи поверхности пластинки. При нормальном падении света – на поверхности. В реальных условиях, при наблюдении окрашивания мыльных и масляных пленок наблюдается полосы смешанного типа. Дифракция света. 27.1. Дифракция света Дифракцией называют совокупность явлений, наблюдаемых в среде с резкими оптическими неоднородностями и связанных с отклонениями в распространении света от законов геометрической оптики. Для наблюдения дифракции на пути световой волны от некоторого источника помещают непрозрачную преграду, закрывающую часть волновой поверхности волны, испущенной источником. Возникающую дифракционную картину наблюдают на экране, расположенном на продолжении лучей. Различают два вида дифракции. Если лучи, идущие от источника Необходимо отчетливо представлять, что между интерференцией и дифракцией нет принципиального физического отличия. Оба явления обусловлены перераспределением энергии накладывающихся когерентных световых волн. Обычно при рассмотрении конечного числа дискретных источников света, то говорят об интерференции. Если рассматривается наложение волн от непрерывно распределенных в пространстве когерентных источников, то говорят о дифракции. 27.2. Принцип Гюйгенса – Френеля Принцип Гюйгенса позволяет в принципе объяснит проникновение света в область геометрической тени, однако ничего не говорит об интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях. Френель дополнил принцип Гюйгенса указанием на то как следует рассчитывать интенсивность излучения от элемента волновой поверхности в различных направлениях, а также указанием на то, что вторичные волны являются когерентными, и при расчете интенсивности света в некоторой точке необходимо учитывать интерференцию вторичных волн.
Результирующее колебание от всей поверхности
Дифракционная решетка Многолучевая интерференция Допустим, что в некоторую точку экрана приходит N когерентных лучей с одинаковой интенсивностью. При этом фаза каждого последующего луча сдвинута относительно предыдущего на постоянную величину Колебания,возбуждаемые лучами можно представить в виде экспонент: ………………………….. (1) ………………………….. Результирующее колебание в точке наблюдения равно сумме колебаний (1): Сумма в соотношении (2) представляет собой сумму N членов геометрической прогрессии с единичным первым членом, знаменателем Известно, что сумма членов геометрической прогрессии определяется формулой: ( ![]() ![]() Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|