Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Система передачи информации





 

В системах автоматики и телемеханики, проводной и радиосвязи сигнал передается на более или менее далекое расстояние чаще всего в виде электромагнитного возмущения. Поэтому физической величиной, определяющей характер сигнала, обычно является напряжение (или ток), изменяющееся во времени по определенному закону, отображающему передаваемое сообщение. В теоретических исследованиях сигнал, независимо от его физической природы, заменяется математическим представлением в виде некоторой функции времени, описывающей закон изменения во времени, заложенный в реальном сигнале.

Сигнал будем называть регулярным, если его математическим представлением является заранее заданная функция времени f(t). Другими словами, регулярный сигнал соответствует известному сообщению.

Изучение свойств различного вида регулярных сигналов, связанных с их передачей, позволяет перейти к исследованию более сложных сигналов, имеющих характер случайных процессов.

Выражение регулярного сигнала определенной функцией времени называют временным представлением сигнала. Форма записи функции может быть различной. В частности, при некоторых ограничениях, функция времени, заданная на некотором отрезке времени, может быть представлена в виде тригонометрического ряда, каждый член которого является простейшей гармонической функцией времени (косинус, синус). Эти функции называются гармониками, и каждой из них принадлежат определенные амплитуда, частота и фаза. Множество амплитуд, частот и фаз называют спектром рассматриваемого сигнала. Функция времени находится в однозначном соответствии с принадлежащим ей спектром. На этом основании временное представление сигнала может быть заменено так называемым частотным представлением. Оба представления адекватны. Выбор того или иного представления зависит от физических и математических особенностей рассматриваемой задачи.



К основным типам регулярных сигналов относятся: периодический, почти периодический и непериодический.

Периодический сигнал представляется функцией времени, удовлетворяющей условию

 

 

, (1.1)

 

где t – любой момент времени на интервале -¥ £ t£+¥ , а T – некоторая постоянная.

Наименьший конечный промежуток времени Т, удовлетворяющий условию (1.1), называется периодом.

 

Периодический сигнал физически неосуществим, так как реальный сигнал не может продолжаться вечно; он всегда имеет начало и конец. Однако абстрактный смысл периодического сигнала не мешает его широкому использованию в теоретических исследованиях и получению результатов, соответствующих наблюдаемым в действительности. Дело в том, что регулярный сигнал, воздействующий на какое-либо устройство, можно считать существовавшим бесконечно долго, если рассматривается только установившийся режим, который не зависит от начальных условий.

Простейшим и наиболее распространенным периодическим сигналом является гармонический сигнал (рис. 1.1), выраженный косинусоидальной (или синусоидальной) функцией времени.

 

 

, или , (1.2)

 

где U(t)– мгновенное значение напряжения; Um – его амплитуда; W1= 2p/T – угловая частота; T – период; y1 – начальная фаза; j1 = y1–90°.

На рис. 1.2 показан график периодического несинусоидального напряжения, которое получается при непрерывно повторяющейся зарядке конденсатора от источника напряжения U0и его разрядке через активное сопротивление.

 

       
 
u(t)
   
u(t)
 


       
 
T
 
U0
 


       
 
   
 


Um

u2
u1
t
t

j1
t2
t1

 
t4
t3
T
T

       
   
W1t
 
 

 

 


Рис. 1.1. Синусоидальное напряжение Рис. 1.2. Периодическое несинусоидальное напряжение

 

 

Функция, описывающая данный процесс, имеет вид

 

(1.3)

 

Коэффициенты a1 и a2 показывают скорость зарядки и разрядки и зависят от емкости конденсатора и величин активных сопротивлений цепей зарядки и разрядки.

В общем виде это напряжение, как и другие периодические функции f(t), можно записать так:

, (1.4)

где n – любое целое положительное или отрицательное число; T – период.

В математике функция, представляемая в виде суммы гармонических составляющих с произвольными частотами, получила название почти периодической функции. Почти периодические функции обладают многими замечательными свойствами, и их исследованиям отведено большое место в современной теории функций. Одно из основных свойств заключается в том, что для данных функций может быть определен приближенный период (почти-период). В системах телемеханики встречаются сигналы, частоты гармоник которых не находятся в простых кратных соотношениях. Подобные сигналы называют почти периодическими.

Непериодическим называется регулярный сигнал, определяемый непериодической функцией, т.е. функцией, которая не удовлетворяет условию (1.1) на всем интервале времени -¥ £ t £ +¥. Такой сигнал представляется функцией, заданной в пределах конечного (t1 £ t £ t2) или полубесконечного (t1 £ t < ¥) промежутка времени, вне которого она принимается тождественно равной нулю. Форма сигнала может быть практически любой и, в частности, обладать периодичностью в пределах времени своего существования (например, конечный или полубесконечный отрезок синусоиды).

В зависимости от структуры информационных параметров различают сигналы:

1) непрерывные по множеству и времени, или просто непрерывные (рис. 1.3, а);

2) дискретные по множеству и времени, или просто дискретные (рис. 1.3, б);

3) непрерывные по времени и дискретные по множеству (рис. 1.3, в);

4) непрерывные по множеству и дискретные по времени (рис. 1.3, г).

 

       
 
   


 

 


а б

 


г

Рис. 1.3. Виды сигналов в системах телемеханики

 

 

Периодические сигналы

Представление периодического сигнала суммой гармонических составляющих осуществляется с помощью разложения в ряд Фурье функции (1.1), которая является временным представлением сигнала. Если функция f(t)задана на интервале времени t1£ t£ t2и повторяется с периодом T=2p/W1= t2 - t1, то тригонометрическая форма ряда Фурье для нее может быть записана следующим образом:

 

= , k = 1, 2, …. (1.5)

 

 

Амплитуды косинусоидальных и синусоидальных членов в разложении (1.5) определяются выражениями:

 

; (1.6)

 

. (1.7)

 

Слагаемое

 

(1.8)

 

 

является постоянной составляющей сигнала, которая, как это следует из (1.8), равна среднему значению функции f(t) за период.

Амплитуда и фаза k-й гармоники, как это следует из (1.5), связаны с величинами и соотношениями:

 

 

, , ;

 

. (1.9)

 

Весьма удобной является комплексная форма записи ряда Фурье, к которой легко перейти, если в разложении (1.5) выразить тригонометрические функции через показательные, воспользовавшись известными формулами:

 

; . (1.10)

 

В результате получим

 

, (1.11)

где и – комплексные амплитуды, связанные с и соотношениями

 

, (1.12)

 

. (1.13)

 

Таким образом, комплексные амплитуды и являются комплексно-сопряженными величинами. Действительно, каждое слагаемое первого ряда в выражении (1.11) можно представить как вектор на комплексной плоскости (рис. 1.4), вращающийся с частотой kW1 (т.е. в положительном направлении отсчета углов – против направления движения часовой стрелки). Каждое слагаемое второго ряда – вектор, вращающийся в обратном направлении.

 

 
 


·
A
kW1

 
 

 

 


Рис. 1.4. Векторная диаграмма комплексно-сопряженных величин

 

Так как и – комплексно-сопряженные величины, то сумма векторов в любой момент времени дает вектор, направленный по вещественной оси, т.е. k-ю гармоническую составляющую вещественной функции времени f(t). Отрицательная частота – kW1 только указывает направление вращения вектора.

Комплексная амплитуда определяется по выражению

 

. (1.14)

При k = 0

. (1.15)

 

Тогда выражение (1.11) можно переписать в виде

 

. (1.16)

 

При такой записи ряда Фурье периодический сигнал заменяется суммой простых гармонических колебаний как с положительными частотами (k > 0), так и с отрицательными (k < 0). Конечно, отрицательные частоты не имеют здесь физического смысла, а являются формальным следствием произведенного математического преобразования.

 

1.3. Спектры периодических сигналов и необходимая
ширина полосы частот

Дискретный спектр.

Представить сигнал с заданным периодом T рядом Фурье – это значит найти амплитуды и начальные фазы всех его гармонических составляющих. Совокупность амплитуд называют спектром амплитуд, а совокупность начальных фаз – спектром фаз. Во многих частных случаях достаточно рассчитать только спектр амплитуд сигнала, который для краткости назовем просто спектром.

Определим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис. 1.5) длительностью t и с периодом T. Напряжение такой формы действует в каналах связи и часто рассматривается как основной периодический сигнал при исследовании передачи информации по линии связи.

 
 


u(t)

           
     

 


U

t

t1 0 t2

T τ


Рис. 1.5. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

 

Для такого сигнала по формулам (1.6) – (1.8)

 

; ;

 

, т.е. или p и .

Следовательно, напряжение можно представить рядом Фурье

 

 

. (1.17)

 

Спектр амплитуд сигнала изображают в виде спектральных линий, длины которых пропорциональны амплитудам гармоник (рис. 1.6).

 

 

Ak

 

 

2p t

 
 

 


Ak

 

 


Рис. 1.6. Спектры периодически повторяющихся прямоугольных импульсов

при Q=2 и Q=6

 

Такой спектр называют линейчатым или дискретным. Спектр фаз также линейчатый, причем в рассматриваемом частном случае может иметь только два значения: 0 или p.

Непрерывная кривая, соединяющая концы линий спектра и показанная на рис. 1.5 пунктиром, носит название огибающей спектра амплитуд, которая определяется уравнением

 

, (1.18)

 

где W = kW1 для k-й гармоники.

Выражение для фазы гармоники можно записать в виде

 

. (1.19)

 

На рис. 1.7 приведены спектры фаз и их огибающие при различно выбранных началах отсчета времени. Наиболее простым получается спектр фаз при .

       
 
   
 

 

             
 
   
 
 
   
     
 

 


Рис. 1.7. Спектры фаз при различных началах отсчета времени

 

 

Кроме того, из (1.17) и рис. 1.6 следует, что периодическую последовательность прямоугольных импульсов можно рассматривать как результат наложения друг на друга бесконечного количества гармоник с частотами, кратными основной частоте W1= 2p/T, а также постоянной составляющей. Амплитуды гармонических составляющих кратных скважности Q равны нулю (например, равны нулю амплитуды четных гармоник на рис. 1.6, где принято t = T/2, и шестая, двенадцатая и т.д., где принято t = T/6).

С изменениями длительности импульса t при том же периоде следования импульсов T или с изменением периода T при постоянной длительности t спектр существенно преобразуется. Если длительность импульса растет, то увеличивается удельный вес постоянной составляющей и гармоник с небольшими порядковыми номерами, а удельный вес высших гармоник падает. Если, наоборот, уменьшить длительность импульса t, то удельный вес гармоник с небольшим порядковым номером уменьшается, а удельный вес высших гармоник растет.

При изменении не длительности импульсов t, а периода их повторения T спектр амплитуд становится реже или гуще. Так, с увеличением периода T основная частота уменьшается (W1= 2p /T) и спектр становится гуще.

 









ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2021 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.