ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА, ИХ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЁМЫ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА, ИХ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЁМЫ

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕЛО. МНОГОГРАННИК

Определение: Объединение ограниченной пространственной области и ее границы называется геометрическим телом.

Граница – поверхность геометрического тела.

Пространственная область – внутренняя область геометрического тела.

Определение: Многогранником называется геометрическое тело, поверхностью которого является конечное число многоугольников, каждая сторона любого многоугольника является стороной двух и только двух граней, не лежащих в одной плоскости. Многоугольники – грани многогранника.

Вершины и стороны граней – вершины и ребра многогранника.

Многогранники классифицируются по числу граней: тетраэдр (четырехгранник), пентаэдр (пятигранник), гексаэдр (шестигранник), октаэдр (восьмигранник), додекаэдр (двенадцатигранник), икосаэдр (двадцатигранник).

Определение: Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

ПРИЗМА. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Определение: Многогранник, две грани которого многоугольники, принадлежащие параллельным плоскостям, а остальные грани – параллелограммы, называется призмой. Многоугольники, принадлежащие параллельным плоскостям – основания призмы. Параллелограммы – боковые грани призмы.

Стороны параллелограммов, соединяющие соответствующие вершины оснований призмы – боковые ребра призмы.

А₁А₂…А_пВ₁В₂…В_п – п-угольная призма;

А₁А₂…А_п; В₁В₂…В_п – основания п-угольной призмы;

А₁В₁В₂А₂; …; А₁В₁В_пА_п – боковые грани п-угольной призмы;

А₁В₁; А₂В₂; …; А_пВ_п – боковые ребра п-угольной призмы.

Свойства:

Основания призмы равны и параллельны.

Боковые ребра призмы равны и параллельны.

 

Определение: Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны к основаниям (Рис.1.), в противном случае призма называется наклонной (Рис. 2.).

Рис.1. Рис. 2. Рис.3.

Призма называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной, … в зависимости от того, какой многоугольник лежит в ее основании.

Определение: Перпендикуляр, проведенный из какой - либо точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы (Рис. 3.).

В₁М ^ А₁А₂А₃ ; О₁О₂ ^ А₁А₂А₃ ;

В₁М = О₁О₂ = h – высота призмы.

Замечание: Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Определение: Прямая призма называется правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники.

Замечание: Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.

Справка:

1. Правильный четырехугольник – квадрат;

2. Правильный треугольник – равносторонний треугольник;

3. Правильный шестиугольник.

Определение: Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом (Рис. 1.).

Определение: Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны основаниям (Рис. 2.).

Определение: Прямой параллелепипед, основания которого прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом. (Рис. 3.)

Определение: Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются линейными размерами (измерениями) прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота). (Рис. 3.)

Определение: Прямоугольный параллелепипед, все линейные размеры которого равны между собой, называется кубом. (Рис. 4.)

Свойства:

1. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
3. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов его линейных размеров. d ² = а ² + b ² + с ²
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Упражнения:

1. Определить диагонали прямоугольного параллелепипеда по его измерениям:

a) 8, 9, 12;

B) 12, 16, 21.

1. Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 м, стороны основания равны 8 м и 6 м, а одна из диагоналей основания равна 12 м. Определить диагонали параллелепипеда.

Справка: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

1. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 5 см и 3 см, а одна из диагоналей равна 4 см. Найти большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ, образует с плоскостью основания угол 60°.
2. В правильной четырехугольной призме площадь основания равна 144 см², а высота равна 14 см. Определить диагональ этой призмы.

ПОВЕРХНОСТЬ ПРИЗМЫ

Определение: Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

Определение: Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

Определение: Перпендикулярным сечением призмы называется многоугольник, полученный при пересечении призмы плоскостью, перпендикулярной ее ребрам.

Теорема: Площадь боковой поверхности призмы равна произведению бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения.

Дано:

АВСDА₁В₁С₁D₁ – призма;

А А₁ = l;

l ^ КLMNP;

Р _^ = Р(КLMNP)

Доказать:

Следствие: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту.

; ;

Упражнения:

Дана наклонная треугольная призма, две боковые грани которой взаимно перпендикулярны, их общее ребро равно 9,6 см и находится на расстоянии 4,8 см и 14 см от двух других рёбер. Найти площадь боковой поверхности призмы.

6. В прямоугольном параллелепипеде его измерения относятся как 1:2:3 (3:7:8). Площадь полной поверхности параллелепипеда равна 352 см². Найти его измерения.

7. Найти площадь полной поверхности прямого параллелепипеда, стороны основания которого равны 8 дм и 12 дм и образуют угол 30°, а боковое ребро равно 6 дм.

8. Площадь полной поверхности куба равна 36 см². Определить его диагональ.

9. Найти ребро куба, если площадь его полной поверхности равна 24 м².

В прямом параллелепипеде стороны основания равны 10 см и 17 см, одна из диагоналей основания равна 21 см. Большая диагональ параллелепипеда равна 29 см. Определить площадь полной поверхности параллелепипеда.

15. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 3 см и 8 см, угол между ними равен 60°. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 220 см². Определить площадь полной поверхности параллелепипеда, площадь меньшего диагонального сечения.

16. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 9 см. Площадь полной поверхности призмы равна 144 см². Определить сторону основания и боковое ребро призмы.

ОБЪЕМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОБЪЕМОВ

1. Два равных многогранника имеют один и тот же объём, независимо от их расположения в пространстве.
2. Объём многогранника, представляющего собой сумму двух смежных многогранников, равен сумме объёмов этих многогранников.
3. Если из двух многогранников первый целиком содержится внутри второго, то объём первого многогранника не превосходит объёма второго многогранника.

Определение: Многогранники, имеющие равные объёмы, называются равновеликими.

Определение: За единицу объёма принимается объём куба, ребро которого равно единице длины.

ОБЪЁМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ

Теорема: Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его линейных размеров.

– линейные размеры (измерения)

Теорема: Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту призмы.

Дано:

ABCA₁B₁C₁ – прямая призма;

– основание призмы;

; ;

ОБЪЁМ НАКЛОННОЙ ПРИЗМЫ

Теорема: Объём наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения призмы на её боковое ребро.

Дано:

- наклонная призма;

- боковое ребро;

- перпендикулярное сечение;

Доказать:

Следствие: Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту призмы.

Упражнения:

1. В наклонном параллелепипеде стороны перпендикулярного сечения, равные 3 см и 4 см, образуют между собой угол 30°. Боковое ребро параллелепипеда равно 1 дм. Найти объём параллелепипеда.

2. Основанием призмы является правильный треугольник со стороной 4 см. Боковое ребро призмы равно 6 см и составляет с плоскостью основания угол 60°. Найти объём призмы и площадь перпендикулярного сечения призмы.

3. Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм, один из углов которого равен 30°. Площадь основания параллелепипеда равна 16 дм². Площади боковых граней параллелепипеда равны 24 дм² и 48 дм². Найти объём параллелепипеда.

4. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания относятся как 7:24, а площадь диагонального сечения равна 50 см². Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

5. В основании прямой призмы лежит ромб со стороной а и углом 60^°. Сечение, проведённое через большую диагональ основания и вершину тупого угла другого основания, есть прямоугольный треугольник. Найти площадь полной поверхности призмы.

6. Площади боковых граней прямой треугольной призмы равны 425 см², 250 см², 225 см², а площадь основания призмы равна 100 см². Найти объём призмы.

7. Дан наклонный параллелепипед, основание которого – квадрат со стороной 5 дм. Найти объём параллелепипеда, если одно из боковых рёбер образует с каждой прилежащей стороной основания угол 60^° и равно 1 м.

Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 1 м, а основание 1 м 20 см. Боковое ребро призмы равно высоте основания, опущенной на его боковую сторону. Найти площадь полной поверхности призмы.

Рис. 1. Рис. 2.

Упражнения:

1. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 26 см. Найти высоту пирамиды.
2. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 3 см и 7 см и диагональю 6 см. Высота пирамиды равна 4 см и проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма. Найти боковые рёбра пирамиды.
3. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания равна 8 см. Найти боковое ребро пирамиды.
4. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник, у которого основание равно 6 см и высота равна 9 см. Боковые рёбра пирамиды равны между собой и каждое содержит 13 см. Найти высоту пирамиды.
5. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с основанием 12 см и боковой стороной 10 см. Боковые грани пирамиды образуют с основанием равные двугранные углы по 45°. Найти высоту пирамиды.

Точка О одинаково удалена от вершин треугольника АВС, следовательно, она является центром окружности, описанной около этого треугольника. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, есть середина гипотенузы. Точка О - середина гипотенузы.

.

ОБЪЁМ ПИРАМИДЫ

Теорема: Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания пирамиды на её высоту.

Дано:

SABC - пирамида;

S(ABC)= S_осн.

SО ^ АВС; SО = h.

Доказать:

9. ОБЪЁМ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ

Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁ - усечённая пирамида;

S(ABCD) = S_н.о.; S (A₁B₁C₁D₁) = S_в.о.

h - высота усечённой пирамиды;

Определить: V_ус.пир.-?

.

Упражнения:

1. Диагональ квадратного основания правильной пирамиды равна 6 см, высота пирамиды равна 15 см. Найти её объём.
2. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 14 дм, сторона её основания равна 2 дм. Найти объём пирамиды.
3. Основанием пирамиды является ромб со стороной 15 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Большая диагональ основания равна 24 см. Найти объём пирамиды.
4. Найти объём усечённой пирамиды, если площади её оснований равны 98 см² и 32 см², а высота соответствующей полной пирамиды равна 14 см.
5. В пирамиде через середину высоты проведена плоскость, параллельная её основанию. Определить объём образовавшейся усечённой пирамиды, если высота данной пирамиды равна 18 см, а площадь её основания равна 400 см².
6. Найти объём треугольной пирамиды, боковые рёбра которой попарно перпендикулярны и равны 10 см, 15 см, 9 см.
7. В треугольной усечённой пирамиде высота равна 10 см, стороны нижнего основания равны 27 м, 29 м, 52 м, а периметр верхнего основания равен 72 м. Найти объём усечённой пирамиды.
8. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 40 см и 10 см. Площадь её полной поверхности равна 3400 см². Найти объём усечённой пирамиды.

ЦИЛИНДР. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА.

Определение: Геометрическое тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон, называется прямым круговым цилиндром.

Определение: Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

AB – ось симметрии, высота цилиндра; AB = H;

AD – радиус основания цилиндра; AD = R.

Определение: Расстояние между плоскостями оснований является высотой прямого кругового цилиндра.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.

Два круга являются основаниями прямого кругового цилиндра. Отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и перпендикулярный плоскостям оснований, называется образующей прямого кругового цилиндра.

Определение: Прямоугольник, одна сторона которого равна длине окружности основания цилиндра, а другая – его высоте, называется разверткой боковой поверхности цилиндра.

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром.

Определение: Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.

Сечения цилиндра.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Две его стороны − образующие цилиндра, а две другие − параллельные хорды оснований.

В частности, прямоугольником является осевое сечение. Осевое сечение - сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию − круг.

Сечение цилиндра плоскостью не параллельной основанию и его оси – овал.

Теорема: Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту (S_бок. = 2πRH, где R − радиус основания цилиндра, Н − высота цилиндра).

Определение: Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.

S_осн. = πR² S_бок. = 2πRH S_полн.= 2πRH + 2πR².

Рассмотрим п -угольную прямую призму. При п→∞ периметр многоугольника, лежащего в основании призмы, будет стремиться к длине окружности основания цилиндра, площадь многоугольника, лежащего в основании призмы, будет стремиться к площади круга, являющегося основанием цилиндра. Объём п -угольной прямой призмы будет стремиться к объёму прямого кругового цилиндра.

Определение: Призма называется вписанной в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра.

Определение: Цилиндр называется вписанным в призму, если его основания вписаны в основания призмы.

Упражнения:

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найти: высоту, радиус основания, площадь основания цилиндра.

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 см², а площадь основания - 5 см². Найти высоту цилиндра.

3. Радиус основания цилиндра равен 4 см, а площадь его осевого сечения равна 72 см². Найти объём цилиндра.

Квадрат со стороной, равной а, вращается вокруг внешней оси, которая параллельна его стороне. Ось удалена от квадрата на расстояние, равное стороне квадрата. Найти площадь полной поверхности и объём тела вращения.

11. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит квад­рат со сто­ро­ной 2. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

12. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

13. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке №1.

14. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке №2.

Определение: Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

Определение: Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор круга, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги – длине окружности основания конуса.

Сечения конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усечённым конусом.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.

Определение: Осевым сечением конуса называется сечение, проходящее через ось конуса.

Вывод: Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса.

Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:

S_бок. = πRL, где R – радиус основания, L – длина образующей.

Площадь полной поверхности конуса находится по формуле:

S_полн. = πRL + πR², где R – радиус основания, L – длина образующей.

Объём кругового конуса равен V = 1/3 πR²H, где R – радиус основания, Н – высота конуса.

Определение: Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса.

Определение: Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

Упражнения:

1. Равнобедренный треугольник с углом при вершине 120^° и боковой стороной в 20 см вращается вокруг основания. Найти объём тела вращения.

2. Найти высоту конуса, если площадь его боковой поверхности равна 427,2 см² и образующая – 17 см.

Прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 см и 4 см, вращается вокруг оси, параллельной гипотенузе и проходящей через вершину прямого угла. Найти площадь полной поверхности и объём тела вращения.

УСЕЧЕННЫЙ КОНУС. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА

Определение: Усечённым конусом называется часть конуса, заключённая между его основанием и сечением, параллельным основанию. Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усеченного конуса.

Определение: Геометрическое тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной основаниям, называется прямым круговым усечённым конусом.

Определение: Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса, заключенная между основаниями.

Определение: Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями.

Задача: Пусть дан усеченный конус, радиусы оснований и высота которого известны: r = 5, R = 7, Н = Ö60. Найдите образующую усеченного конуса.

Определение: Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью усеченного конуса. Сечение, проходящее через ось, называется осевым. Осевое сечение является равнобедренной трапецией.

Задача: Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус верхнего основания, высота и образующая: R = 6, Н = 4, L = 5.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S_бок = π(R + r)L,

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, L – длина образующей.

Площадь полной поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S_полн. = πR² + πr² + π(R + r)L,

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, L – длина образующей.

Объём усечённого конуса можно найти следующим образом:

V = 1/3 πH(R² + Rr + r²),

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, Н – высота конуса.

Упражнения:

Из истории возникновения.

Шаром принято называть тело, ограниченное сферой, т.е. шар и сфера – это разные геометрические тела. Однако оба слова «шар» и «сфера» происходят от одного и того же греческого слова «сфайра» - мяч. При этом слово «шар» образовалось от перехода согласных сф в ш. В XI книге «Начал» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы. Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники.

Определение: Геометрическое тело, полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра, называется шаром.

Определение: Радиусом сферы (шара) называется отрезок, соединяющий центр сферы (шара) с любой её точкой.

Определение: Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две любые её точки.

Определение: Диаметром сферы называется хорда, проходящая через её центр.

Сечение шара плоскостью.

Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Сечение, проходящее через центр шара, называется диаметральным сечением (большим кругом).

Касательная плоскость к сфере.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

1. Площадь сферы: S=4πR², R – радиус сферы

2. Объем шара:

Упражнения:

Площади многоугольников

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА, ИХ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЁМЫ

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: