МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

Исходной информацией при построении математических моде­лей процессов функционирования систем служат данные о назначе­нии и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S. Эта информация определяет основную цель моделирования систе­мы S и позволяет сформулировать требования к разрабатываемой математической модели М. Причем уровень абстрагирования зави­сит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочет получить ответ с помощью модели, и в какой-то степени определяет выбор математической схемы [4, 13, 29, 37, 42, 48].

Математические схемы. Введение понятия «математическая схе­ма» позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания системы к формальному представлению процесса ее функциониро­вания в виде некоторой математической модели (аналитической или имитационной). При пользовании математической схемой исследо­вателя системы S в первую очередь должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования. Напри­мер, представление процесса функционирования информационно-вычислительной системы коллективного пользования в виде сети схем массового обслуживания дает возможность хорошо описать процессы, происходящие в системе, но при сложных законах рас­пределения входящих потоков и потоков обслуживания не дает возможности получения результатов в явном виде [13, 21, 30, 33, 37, 41].

Математическую схему можно определить как звено при пере­ходе от содержательного к формальному описанию процесса функ­ционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т. е. имеет место цепочка «описательная модель — математическая схе­ма — математическая [аналитическая или (и) имитационная] мо­дель».

Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отражающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитывающие условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой (систе­мой) Е. При построении математической модели системы необ­ходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулирует­ся в основном выбором границы «система S - среда E >>. Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные. Причем отнесение свойств системы к основным или второстепен­ным существенно зависит от цели моделирования системы (напри­мер, анализ вероятностно-временных характеристик процесса функ­ционирования системы, синтез структуры системы и т. д.).

Формальная модель объекта. Модель объекта моделирования, т. е. системы S, можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и об­разующих в общем случае следующие подмножества:

совокупность входных воздействий на систему

совокупность воздействий внешней среды

совокупность внутренних (собственных) параметров системы

совокупность выходных характеристик системы

При этом в перечисленных подмножествах можно выделить управляемые и неуправляемые переменные. В общем случае x_i, v_l, h_k, y_j являются элементами непересекающихся подмножеств и содер­жат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

При моделировании системы S входные воздействия, воздейст­вия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид , а выходные характеристики системы являются зависимыми (эндогенными) переменными и в векторной форме имеют вид .

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором F_s, который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вид

(2.1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени для всех видов называется выходной траек­торией .Зависимость (2.1) называется законом функционирова­ния системы S и обозначается F_s. В общем случае закон функци­онирования системы F_s может быт задан в виде функции, функци­онала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования системы S являет­ся понятие алгоритма функционирования A_s, под которым понима­ется метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий , воздействий внешней среды и собственных параметров системы . Очевидно, что один и тот же закон функционирования F_s системы S может быть реализован различ­ными способами, т. е. с помощью множества различных алгорит­мов функционирования A_s.

Соотношения (2.1) являются математическим описанием поведе­ния объекта (системы) моделирования во времени t, т. е. отражают его динамические свойства. Поэтому математические модели та­кого вида принято называть динамическими моделями (системами) [4, 11,43,44].

Для статических моделей математическая модель (2.1) пред­ставляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и {X, V, Н}, что в векторной форме может быть записано как

(2.2)

Соотношения (2.1) и (2.2) могут быть заданы различными спо­собами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т. д. Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы S вконкретные моменты времени, на­зываемые состояниями. Состояние системы S характеризуется векторами

и ,

где в момент , в момент и т. д., .

Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний , то они могут быть интерпретированы как координаты точки в k -мерном фазовом пространстве, причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний называется пространством со­стояний объекта моделирования Z, причем .

Состояния системы S в момент времени полностью определяются начальными условиями [где , ]входными воздействиями , внутренними параметрами и воздействиями внешней сре­ды , которые имели место за промежуток времени t* —t₀ ,с помощью двух векторных уравнений

(2.3)

(2.4)

Первое уравнение по начальному состоянию и экзогенным переменным определяет вектор-функцию , а второе по полученному значению состояний — эндогенные переменные на выходе системы . Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход — состояния — выход» позволяет определить характеристи­ки системы

(2.5)

В общем случае время в модели системы S может рассмат­риваться на интервале моделирования (0, Т)как непрерывное, так и дискретное, т. е. квантованное на отрезки длиной временных единиц каждый, когда ,где — число интервалов дискретизации.

Таким образом, под математической моделью объекта (реаль­ной системы) понимают конечное подмножество переменных вместе с математическими связями между ними и харак­теристиками [4, 9, 10, 35].

Если математическое описание объекта моделирования не содер­жит элементов случайности или они не учитываются, т. е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия вне­шней среды и стохастические внутренние параметры отсут­ствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями

(2.6)

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

Типовые схемы. Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволя­ют описать широкий класс систем. Однако в практике моделирова­ния объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее исполь­зовать типовые математические схемы: дифференциальные уравне­ния, конечные и вероятностные автоматы, системы массового об­служивания, сети Петри и т. д.

Не обладая такой степенью общности, как рассмотренные моде­ли, типовые математические схемы имеют преимущества простоты в наглядности, но при существенном сужении возможностей приме­нения. В качестве детерминированных моделей, когда при исследо­вании случайные факторы не учитываются, для представления си­стем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени,— конечные автоматы и конечно-разностные схемы. В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем ис­пользуются вероятностные автоматы, а для представления системы с непрерывным временем — системы массового обслуживания и т. д.

Перечисленные типовые математические схемы, естественно, не могут претендовать на возможность описания на их базе всех процессов, происходящих в больших информационно-управляющих системах. Для таких систем в ряде случаев более перспективным является применение агрегативных моделей [4, 37]. Агрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов ис­следования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей.

Таким образом, при построении математических моделей про­цессов функционирования систем можно выделить следующие ос­новные подходы: непрерывно-детерминированный (например, диф­ференциальные уравнения); дискретно-детерминированный (конечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные авто­маты); непрерывно-стохастический (системы массового обслужи­вания); обобщенный, или универсальный (агрегативные сис­темы).

Математические схемы, рассматриваемые в последующих пара­графах данной главы, должны помочь оперировать различными подходами в практической работе при моделировании конкретных систем.

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: