первого порядка (без повторных опытов)

Два латинских куба размера n первого порядка ортогональны, если при наложении их друг на друга каждый элемент одного куба встречается с каждым элементом другого куба n раз. Два таких ортогональных куба, наложенные друг на друга, представляют греко-латинский куб размера n первого порядка. Планирование по схеме греко-латинского куба первого порядка позволяет ввести в эксперимент пятый фактор. Если совместить три ортогональных латинских куба и более, то получится гипер-греко-латинский куб. Полная система ортогональных латинских кубов размера n первого порядка, составляющих полностью ортогональный гипер-греко-латинский куб, не может включать более

кубов. Существование таких систем доказано для n, представляющего собой простое число или целую положительную степень простого числа.

В латинских кубах первого порядка все факторы устанавливаются на одинаковом количестве уровней, равном n — размеру куба, и все линейные эффекты определяются с одинаковой точностью, максимальной для данного числа опытов. В латинском кубе второго порядка один фактор устанавливается на л²-уровнях, а все остальные факторы — на n -уровнях. На рис. 23 изображен латинский куб размера n — 3 второго порядка. Факторы А, В, С имеют три уровня: 0, 1, 2, а фактор D — девять уровней: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, расположенных по схеме латинского куба (табл. 23). Планирование по схеме латинского куба может быть очень полезно на первых этапах исследования процесса при выборе оптимальной комбинации качественных факторов.

Таблица 23. Латинский куб второго порядка (n =3, r =2)

Пример 4. Латинский куб второго порядка был использован при разработке композиций нового полимерного материала на основе полиэтилена высокого давления, обладающего повышенной жесткостью и способностью перерабатываться методом термоформования. Рассматривалась трехкомпонентная система: ПЭВД, наполнитель, эластифицирующая добавка. Изучались свойства композиций с тремя видами эластифицирующих систем, девятью типами наполнителей, в которых менялись на трех уровнях количество добавок и количество наполнителя. Тип добавки

: СКЭП (1); ИСТ-30 (2); ДСТ-30 (3); количество добавки

: 3 (1); 5 (2); 10 (3); количество наполнителя

: 5 (1); 10 (2); 15 (3); тип наполнителя

: тальк — Т(0); аэросил — А(1); слюда — С(2); Т: А = 1: 1(3);

Т: А = 1: 0,5(4); Т: А = 0,5: 1(5); А: С = 1: 1(6); А: С = 1: 0,5(7); А: С = 0,5: 1(8).

Опыты проводились в лабораторных условиях. Пригодность разрабатываемого пластического материала к переработке и эксплуатации оценивалась по четырем показателям:

— модуль упругости при изгибе, МПа;

— разрушающее напряжение при разрыве, МПа;

— относительное удлинение при разрыве, %; D — обобщенный безразмерный критерий качества (обобщенная функция желательности).

Решение. План эксперимента и результаты испытаний образцов приведены в табл. 24 (см. также табл. 23).

Для выделения факторов, существенно влияющих на показатели качества, был проведен дисперсионный анализ результатов в предположении линейной математической модели (III. 108). Дисперсионный анализ проводился в следующем порядке. Для четырех показателей качества

и D подсчитывались: 1) итоги для каждого фактора на всех уровнях (табл. 25):

Таблица 25. Итоги по разным уровням факторов

3) сумма квадратов итогов по фактору

, деленная на

Таким же образом определялись эти величины для остальных факторов;

7) корректирующий член, равный квадрату общего итога, деленному на число опытов

Далее определялись суммы квадратов для всех источников дисперсии

12) общая сумма квадратов равна разности между суммой квадратов всех наблюдений и корректирующим членом:

13) остаточная сумма квадратов служит для оценки ошибки эксперимента

Результаты дисперсионного анализа для всех четырех показателей качества представлены в таблице.

Для выбора оптимальной композиции эффекты факторов на разных уровнях были сопоставлены при помощи множественного рангового критерия Дункана (см. табл. 7 приложения). При этом поскольку тип добавки

значимо влияет только на

(см. таблицу), была выбрана добавка, обеспечивающая максимальную прочность при изгибе. Ошибка среднего значения

равна

Была выбрана добавка типа ДСТ-30. Этот тип добавки существенно отличается от добавки типа СКЭП и незначимо от ИСТ-30.

В связи с тем, что факторы

по-разному влияют на показатели качества (табл. 25), оптимальная композиция была выбрана на основании факторного анализа обобщенной функции желательности D. Была определена ошибка среднего значения D: для факторов

Средние значения D 0,336 0,457 0,463 0,527 0,573 0,575 0,642 0,643 0,697

На основании дисперсионного и факторного анализа были выбраны следующие композиции:

Свойства оптимальных композиций приведены в таблице.

Методы дисперсионного анализа и тесно связанного с ним планирования эксперимента в настоящее время довольно широко применяются для решения прикладных задач в химии и химической технологии.

Дисперсионный анализ использует свойство аддитивности дисперсии изучаемой случайной величины и дает возможность разложить ее на компоненты, обусловленные действием независимых факторов.

Основные положения дисперсионного анализа даются в данной главе без доказательств.

Приведены алгоритмы обработки наблюдений для однофакторного и двухфакторного анализов.

Рассмотрены методы планирования экспериментов по схеме латинского, греко-латинского, гипер-греко-латинского квадратов и латинских кубов первого и второго порядков, дающие возможность существенно сократить перебор уровней, пожертвовав при этом наименее существенной при данной постановке задачи информацией.

1. Для каких задач эффективно применение дисперсионного анализа?

2. Какие модели используются в дисперсионном анализе? Каковы особенности интерпретации результатов при использовании различных моделей?

3. Что такое латинские квадраты и как они применяются в планировании экспериментов?

4. Сколько факторов и на скольких уровнях позволяют ввести в эксперимент латинские квадраты, гипер-греко-латинские квадраты, латинские кубы первого и второго порядков?

5. Оценить значимость различия в производительностях реакторов. Средняя производительных четырех параллельно работающих реакторов представлена в таблице:

6. Оценить влияние температуры и значимость различия между марками стали на скорость коррозии. В таблице приведены значения скорости коррозии (мм/год) в полифосфорной кислоте при различной температуре для четырех марок стали.

7. Латинский квадрат 3X3 (табл. 14) был использован для анализа процесса перекристаллизации биологически активного вещества. Факторы и их уровни приведены в таблице:

План эксперимента и результаты опытов — выход биологически активного вещества y приведены в таблице:

1. Оценить значимость факторов методами факторного и дисперсионного анализов.

2. Провести анализ параметрической чувствительности процесса кристаллизации к
изменению уровней факторов.

3. Определить оптимальную комбинацию уровней факторов, обеспечивающую наибольший выход биологически активного вещества.

1. Выборочный коэффициент корреляции. Методы корреляционного и регрессионного анализов широко применяются для выявления и описания зависимостей между случайными величинами по экспериментальным данным. Для экспериментального изучения зависимости между случайными величинами X и Y производят некоторое количество n независимых опытов. Результат i -го опыта дает пару значений

, i = 1, 2, …, п.

О наличии или отсутствии корреляции между двумя случайными величинами качественно можно судить по виду поля корреляции, нанеся точки

на координатную плоскость. Положительная корреляция между случайными величинами представлена на рис. 24, а. Еще более ярко выраженная корреляция, близкая к линейной функциональной, показана на рис. 24, б. На рис. 24, в приведен пример сравнительно слабой отрицательной корреляции, а на рис. 24, г — пример фактически некоррелированных случайных величин.

Для количественной оценки тесноты связи служит выборочный коэффициент корреляции.

Как было показано (см. гл. II), состоятельными и несмещенными оценками для математических ожиданий

служат выборочные средние:

Состоятельными и несмещенными оценками дисперсий

служат выборочные дисперсии:

Наконец, состоятельной и несмещенной оценкой ковариации

служит выборочная ковариация:

По этим оценкам получают выборочный коэффициент корреляции:

Выборочный коэффициент корреляции

дает состоятельную, но смещенную оценку для коэффициента корреляции генеральной совокупности, эта оценка имеет смещение, равное

. Величина смещения убывает обратно пропорционально числу опытов n и при

составляет менее 1%.

Выборочный коэффициент корреляции

, так же как и

— коэффициент корреляции генеральной совокупности, по абсолютной величине не превосходит единицы:

Выборочный коэффициент корреляции не изменяется при изменении начала отсчета и масштаба величин X и Y (см. свойства коэффициента корреляции генеральной совокупности, с. 25). Это свойство позволяет существенно упростить вычисления.

Коэффициент корреляции одинаково отмечает долю случайности и криволинейность связи между X и Y. Зависимость между X и Y может быть близкой к функциональной, но существенно нелинейной, а коэффициент корреляции будет значительно меньше единицы.

При достаточно большом объеме выборки n выборочный коэффициент корреляции

приближенно равен генеральному коэффициенту

. Однако оценить возникающую при этом погрешность затруднительно. Для этого нужно знать распределение

как случайной величины. Это распределение зависит от генерального коэффициента корреляции

, который неизвестен. Для проверки гипотезы об отсутствии корреляции необходимо проверять, значимо ли отличается

от нуля. Для проверки нулевой гипотезы H°:

можно использовать нормальное распределение со стандартом:

Если в качестве доверительной вероятности взять

, коэффициент корреляции находится в следующих доверительных границах:

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что зависимость между случайными величинами существует, если 0 не содержится внутри доверительного интервала, т. е. если

При малом числе экспериментов и сравнительно высокой корреляции распределение коэффициента корреляции существенно отличается от нормального (рис. 25, a).Для построения доверительного интервала можно воспользоваться преобразованием Фишера:

Распределение z является почти неизменным по форме при меняющихся

и n и c возрастанием n быстро приближается к нормальному (рис. 25, б)со средним, равным

Тогда с доверительной вероятностью

значение неизвестного

находится в пределах

где

— квантиль нормального распределения. При доверительной вероятности

, отсюда

можно найти доверительные границы для генерального коэффициента корреляции, подставляя

в формулу (IV.5).

2. Коэффициенты частной корреляции. При исследовании зависимости величины у от двух факторов

наличие корреляции между у и

и корреляции между

будет влиять на корреляцию между у и

. Для того чтобы устранить влияние

,необходимо измерить корреляцию между у и

, когда

постоянно. Для этой цели в статистике применяют частные коэффициенты корреляции:

Частный коэффициент корреляции

оценивает степень влияния фактора

на у при условии, что влияние

на у исключено. В обозначении частного коэффициента корреляции этот исключенный фактор поставлен в индексе после точки. При изучении зависимости у от трех факторов

частный коэффициент корреляции между у и

при условии, что

будут постоянными, можно вычислить по формуле

При переходе от парных коэффициентов корреляции к частным может существенно измениться не только величина коэффициента корреляции, но и знак. Проиллюстрируем это на примере.

Исследовалась скорость коррозии (K)образцов стали, содержащих серу (S), фосфор (Р) и медь (Cu) в растворе лимонной кислоты.

На основании выборки из 39 опытов были получены значения коэффициентов парной корреляции:

По формуле (IV.12) найдем частные коэффициенты корреляции, исключив влияние одного из факторов:

Сопоставление величин парных и частных коэффициентов корреляции показывает, что влияние, например, фосфора на скорость коррозии при постоянном содержании меди больше, чем при переменном, а влияние фосфора на скорость коррозии при постоянном содержании серы меньше, чем при переменном:

Частные коэффициенты корреляции, вычисленные по формуле (IV.14) в предположении, что устранено влияние двух факторов, приведены ниже:

Коэффициент парной корреляции между скоростью коррозии и содержанием фосфора при меняющихся концентрациях меди и серы положительный

; частный коэффициент корреляции

Таким образом, анализ корреляции дал возможность установить характер и степень влияния количества серы, фосфора и меди, содержащихся в стали, на скорость ее коррозии в растворе лимонной кислоты.

В общем случае для расчета коэффициентов частной корреляции можно воспользоваться выборочной корреляционной матрицей:

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: