Перевод чисел между системами счисления 2«8«16

Интерес к двоичной системе счисления вызван тем, что именно эта система используется для представления чисел в компьютере. Однако двоичная запись оказывается громоздкой, поскольку содержит много цифр, и плохо воспринимается и запоминается человеком из-за зрительной однородности (все число состоит из нулей и единиц). Поэтому в нумерации ячеек памяти компьютера, записи кодов команд, нумерации регистров и устройств используются системы счисления с основаниями 8 и 16; выбор именно этих систем счисления обусловлен тем, что переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется, как будет показано ниже, весьма простым образом.

Пользуясь алгоритмами, сформулированными в предыдущих разделах, можно заполнить таблицу 2.2 и таблицу 2.3.

Примем без доказательства две теоремы.

Теорема 1. Для преобразования целого числа А_p®А_q в том случае, если основания систем счисления связаны соотношением q=p^r, где r – целое число большее 1, достаточно А_р разбить справа налево на группы по r цифр и каждую из них независимо перевести в систему q. (При необходимости исходное число следует дополнить незначащими нулями слева до группы в r цифр.)

Пример 9.

Выполнить преобразование 110001₂®А₈.

Решение.

Исходное число разбивается на группы по три разряда справа налево (8=2³, следовательно, r=3) и каждая тройка в соответствии с таблицей 2 переводится в 8-ричную систему счисления независимо от остальных троек:

110001

6 1

Следовательно, 110001₂=61₈. Аналогично, разбивая А₂ на группы по 4 двоичные цифры и дополняя старшую группу незначащими нулями слева, получим 110001₂=31₁₆.

Таблица 2.2 – Двоично-восьмеричная таблица

Таблица 2.3 – Двоично-шестнадцатеричная таблица

Теорема 2. Для преобразования целого числа А_p®А_q в том случае, если системы счисления связаны соотношением p=q^r, где r – целое число большее 1, достаточно каждую цифру А_р заменить соответствующим r-разрядным числом в системе счисления q.

Пример 10.

Выполнить преобразование D3₁₆® А₂.

Решение.

D3₁₆=11010011₂

D 3

Переходы А₈®А₁₆ и А₁₆®А₈, очевидно, удобнее осуществлять через промежуточный переход к двоичной системе. Например, 123₈=001010011₂=53₁₆.

Арифметические операции

Сложение

Таблицы сложения для двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления представлены на рисунке 2.1.

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Сложение Сложение

В двоичной системе в восьмеричной системе

Сложение в шестнадцатеричной счисления

Рисунок 2.1 – Таблицы сложения для двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

Пример 11.Сложить десятичные числа 15 и 6 в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Решение.

Двоичная: 1111₂+110₂ Восьмеричная: 17₈+6₈ Шестнадцатеричная F₁₆+6₁₆

1111 17 F

+ 0110 + 06 + 6

10101 25 15

Ответ: 15+6=21₁₀=10101₂=25₈=15₁₆.

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

10101₂=2⁴+2²+2⁰=16+4+1=21₁₀,

25₈=2*8¹+5*8⁰=16+5=21₁₀,

15₁₆=1*6¹+5*16⁰=16+5=21₁₀.

Пример 12. Сложить десятичные числа 141,5 и 59,75 в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Решение.

Двоичная: 10001101,1₂+111011,11₂ Восьмеричная: 215,4₈+73,6₈

1000110,10₂ 215,4₈

+ 11101,11₂ + 73,6₈

11001001,01₂ 311,2₈

Шестнадцатеричная 8D,8₁₆+3B,C₁₆

8D,8₁₆

+ 3B,C ₁₆

C9,4₁₆

Ответ: 141,5₁₀+59,75₁₀=201,25₁₀=11001001,01₂=311,2₈=C9,4₁₆.

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001,01₂=2⁷+2⁶+2³+2⁰+2^-2=201,25₁₀;

311,2₈=3*8²+1*8¹+1*8⁰+2*8^-1=201,25₁₀;

C9,4₁₆=12*16¹+9*16⁰+4*16^-1=201,25₁₀.

Вычитание

Пример 13. Вычесть единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆.

Решение.

Двоичная: 10₂ – 1₂ Восьмеричная: 10₈ – 1₈ Шестнадцатеричная 10₁₆–1₁₆

10₂ 10₈ 10₁₆

– 1₂ – 1₈ – 1₁₆

1₂ 7₈ F₁₆

Пример 14. Вычесть число 59,75 из числа 201,25 в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Решение.

Двоичная: 11001001,01₂–111011,11₂ Восьмеричная: 311,2₈–73,6₈

11001001,01 311,2

– 00111011,11 – 73,6

10001101,10 215,4

Шестнадцатеричная C9,4₁₆+3B,C₁₆

C9,4

– 3B,C

8D,8

Ответ: 201,25₁₀–59,75₁₀=141,5₁₀=10001101,1₂=215,4₈=8D,8₁₆.

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

10001101,1₂=2⁷+2³+2²+2⁰+2^-1=141,5₁₀;

215,4₈=2*8²+1*8¹+5*8⁰+4*8^-1=141,5₁₀;

8D,8₁₆=8*16¹+D*16⁰+8*16^-1=141,5₁₀.

умножение

Выполняется умножение многозначных чисел в различных позиционных систем счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо брать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Таблицы умножения для двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления представлены на рисунке 2.

Умножение умножение

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: