|
|
Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривойПусть дуга AB лежит на кусочно-гладкой поверхности S, пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные на S. Тогда следующие четыре утверждения эквивалентны. 5) 6) Для любого замкнутого контура 7) 8)
Теперь переход от пункта 3) к пункту 2) легко сделать по формуле Стокса.
Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять по формуле
Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять также по формуле Ньютона – Лейбница
Потенциальное поле и его свойства Векторное поле Замечание. Если поле
Свойства потенциального поля. 1. Линейный интеграл потенциального поля
В самом деле, 2. Циркуляция потенциального поля равна нулю
Полагая дугу АВ замкнутой (A = B), получаем 3. Потенциальное поле является безвихревым, т.е.
Оператор Гамильтона Оператор Гамильтона Применим оператор Гамильтона к скалярному полю Оператор Гамильтона представляет собой вектор-оператор. Его можно скалярно или векторно умножить на векторное поле
Это дифференциальные операции первого порядка над скалярным и векторным полями. От скалярного поля можно взять градиент, от векторного поля можно взять дивергенцию и ротор. Дифференциальные операции второго порядка В результате дифференциальных операций первого порядка мы получаем скалярные и векторные поля К ним вновь можно применить дифференциальные операции первого порядка. От скалярного поля От векторных полей Итак, дифференциальные операции второго порядка позволяют получить скалярные поля Ранее было показано, что потенциальное поле – безвихревое, т.е.
Покажем, что поле ротора – соленоидальное поле, т.е. Доказательство.
Три остальных векторных поля связаны друг с другом. Это становится ясным, если рассматривать векторные операции с оператором Гамильтона «набла» аналогично обычным векторным операциям. Однако, эти аналогии не совсем верны, см. подробнее о свойствах оператора «набла» выпуск 7 учебника.
Известно соотношение
Здесь
Гармоническое поле Скалярное поле
Векторное поле называется гармоническим, если оно потенциальное ( Теорема. Для того, чтобы векторное поле Необходимость. Если векторное поле Достаточность. Если векторное поле
Так как гармоническое поле потенциально и соленоидально, то его свойства – свойства соленоидального поля и свойства потенциального поля.
Часть 2. Числовые и функциональные ряды   Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
не зависит от формы дуги (от пути интегрирования), а зависит только от начальной и конечной точек дуги.
. 
- полный дифференциал.
= 
, так как интеграл не зависит от формы дуги (пути интегрирования).
, где 
- потенциал векторного поля (
).
называется потенциальным, если существует такое скалярное поле 
(потенциал векторного поля 
.
= 
- полный дифференциал. Тогда 
- полный дифференциал. Поэтому свойства потенциального поля можно сформулировать и доказать как следствия теоремы о полном дифференциале.
не зависит от формы дуги L = 
, а зависит только от начальной и конечной точек дуги.
.
.
.
.
.
можно взять градиент, получив векторное поле 
.
можно взять ротор и дивергенцию, получив скалярные поля 
, 
и векторные поля 
, 
.
.
, 
. Перенося это правила на действия с оператором «набла», получим
.
- оператор Лапласа (скаляр – оператор).
.
- произведение скаляр-оператора Лапласа на вектор 
.
называется гармоническим, если
- уравнение Лапласа.
), а потенциал 
- гармоническое скалярное поле, т.е. 
.
.
. Следовательно, поле потенциально и его потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, поэтому векторное поле – гармоническое.