Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой

Пусть дуга AB лежит на кусочно-гладкой поверхности S, пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные на S. Тогда следующие четыре утверждения эквивалентны.

5) не зависит от формы дуги (от пути интегрирования), а зависит только от начальной и конечной точек дуги.

6) Для любого замкнутого контура

7)

8) . - полный дифференциал.

Теперь переход от пункта 3) к пункту 2) легко сделать по формуле Стокса.

Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять по формуле

= , так как интеграл не зависит от формы дуги (пути интегрирования).

Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять также по формуле Ньютона – Лейбница

= , где - потенциал векторного поля ().

Потенциальное поле и его свойства

Векторное поле называется потенциальным, если существует такое скалярное поле (потенциал векторного поля ), что = .

Замечание. Если поле - потенциально, то = - полный дифференциал. Тогда - полный дифференциал. Поэтому свойства потенциального поля можно сформулировать и доказать как следствия теоремы о полном дифференциале.

Свойства потенциального поля.

1. Линейный интеграл потенциального поля не зависит от формы дуги L = , а зависит только от начальной и конечной точек дуги.

В самом деле, = .

2. Циркуляция потенциального поля равна нулю

Полагая дугу АВ замкнутой (A = B), получаем =

3. Потенциальное поле является безвихревым, т.е.

Оператор Гамильтона

Оператор Гамильтона .

Применим оператор Гамильтона к скалярному полю .

Оператор Гамильтона представляет собой вектор-оператор. Его можно скалярно или векторно умножить на векторное поле .

Это дифференциальные операции первого порядка над скалярным и векторным полями. От скалярного поля можно взять градиент, от векторного поля можно взять дивергенцию и ротор.

Дифференциальные операции второго порядка

В результате дифференциальных операций первого порядка мы получаем скалярные и векторные поля .

К ним вновь можно применить дифференциальные операции первого порядка.

От скалярного поля можно взять градиент, получив векторное поле .

От векторных полей можно взять ротор и дивергенцию, получив скалярные поля , и векторные поля , .

Итак, дифференциальные операции второго порядка позволяют получить скалярные поля , и векторные поля , , .

Ранее было показано, что потенциальное поле – безвихревое, т.е. =0.

Покажем, что поле ротора – соленоидальное поле, т.е. =0.

Доказательство.

= .

Три остальных векторных поля связаны друг с другом. Это становится ясным, если рассматривать векторные операции с оператором Гамильтона «набла» аналогично обычным векторным операциям. Однако, эти аналогии не совсем верны, см. подробнее о свойствах оператора «набла» выпуск 7 учебника.

= , =

Известно соотношение . Перенося это правила на действия с оператором «набла», получим

.

Здесь - оператор Лапласа (скаляр – оператор).

.

- произведение скаляр-оператора Лапласа на вектор .

Гармоническое поле

Скалярное поле называется гармоническим, если

- уравнение Лапласа.

Векторное поле называется гармоническим, если оно потенциальное (), а потенциал - гармоническое скалярное поле, т.е. .

Теорема. Для того, чтобы векторное поле было гармоническим, необходимо и достаточно чтобы оно было соленоидальным и потенциальным.

Необходимость. Если векторное поле - гармоническое, то оно потенциальное, т.е. , тогда оно соленоидально, так как .

Достаточность. Если векторное поле потенциальное, то . Так как оно еще и соленоидально, то 0 = . Следовательно, поле потенциально и его потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, поэтому векторное поле – гармоническое.

Так как гармоническое поле потенциально и соленоидально, то его свойства – свойства соленоидального поля и свойства потенциального поля.

Часть 2. Числовые и функциональные ряды

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: