|
Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8
Рассмотрим монотонно убывающую последовательность Такое число Определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда Зафиксируем некоторое значение x и запишем ряд из модулей членов степенного ряда Применяя признак Даламбера, имеем
Поэтому Применяя радикальный признак Коши, имеем
Так определяется радиус сходимости степенного ряда. Затем исследуется сходимость ряда на границе интервала сходимости, в точках
Пример. Составим ряд из модулей Радиус сходимости R=5, интервал сходимости (-2, 8). Исследуем сходимость ряда на границе, подставляя точки x= -2, в исходный ряд.. В точке x = -2 имеем ряд
В точке x = 8 имеем ряд
Область сходимости исходного ряда (-2, 8].
Теорема.Степенной ряд равномерно сходится внутри интервала сходимости. Доказательство. Пусть где Тогда в области
Следствие.Внутри интервала сходимости справедливы теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании и дифференцировании ряда.
Теорема.При почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не меняется.
Доказательство. Рассмотрим ряд из модулей членов степенного ряда (это – знакоположительный числовой ряд в конкретной точке) и определим радиус сходимости по признаку Даламбера.
Продифференцируем почленно степенной ряд
Таким образом, при почленном дифференцировании радиус сходимости степенного ряда не меняется. Он не меняется и при почленном интегрировании, иначе он изменился бы при почленном дифференцировании.
Лекция 15. Ряд Тейлора Ряд Тейлора
Рядом Тейлора называется степенной ряд вида Рядом Маклоренаназывается ряд Тейлора при Теорема.Степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы. Доказательство. Пусть Так как степенной ряд сходится равномерно внутри интервала сходимости, мы можем его дифференцировать почленно. Полученный ряд будет сходиться в том же интервале, так как радиус сходимости при дифференцировании не меняется. Его вновь можно дифференцировать почленно и т.д. Вычислим коэффициенты в степенных рядах, полученных почленным дифференцированием.
Продолжая этот процесс, получим
Следствие.Разложение функции в степенной ряд единственно. Доказательство. По предыдущей теореме коэффициенты разложения функции в степенной ряд определяются однозначно, поэтому разложение функции в степенной ряд единственно.
![]() ![]() Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ![]() Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|