|
|
Задача об объеме цилиндрического тела.Стр 1 из 8Следующая ⇒ Оглавление Оглавление. 2 Часть1 Кратные и криволинейные интегралы, теория поля. 4 Лекция 1. Двойной интеграл. 4 Задача об объеме цилиндрического тела. 4 Двойной интеграл 4 Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат. 6 Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла. 8 Лекция 2. Приложения двойного интеграла. 8 Приложения двойного интеграла. 10 Замечание о несобственных двойных интегралах. 12 Лекция 3 Тройной интеграл. 14 Задача о массе пространственного тела. 14 Свойства тройного интеграла. 15 Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат. 16 Лекция 4. Приложения тройного интеграла. 17 Замена переменных в тройном интеграле. 17 Приложения тройного интеграла. 18 Лекция 5 Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства. 19 Задача о массе кривой. Криволинейный интеграл 1 рода. 19 Свойства криволинейного интеграла первого рода. 20 Вычисление криволинейного интеграла первого рода. 21 Криволинейный интеграл 2 рода. 22 Свойства криволинейного интеграла 2 рода. 23 Вычисление криволинейного интеграла второго рода. 23 Лекция 6. Формула Грина. 24 Вычисление площади области по формуле Грина. 25 Полный дифференциал и его вычисление. 26 Формула Ньютона – Лейбница. 27 Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой. 28 Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала. 28 Формула Грина для многосвязной области. 29 Лекция 7. Поверхностные интегралы.. 30 Задача о массе поверхности. 30 Свойства поверхностного интеграла первого рода. 31 Вычисление поверхностного интеграла первого рода. 32 Поверхностный интеграл второго рода. 32 Запись поверхностного интеграла второго рода. 33 Лекция 8. Скалярное и векторное поля. 35 Скалярные поля. 35 Векторное поле. 36 Формула Остроградского – Гаусса. 36 Лекция 9 Формула Стокса. 41 Часть 2. Числовые и функциональные ряды.. 48 Лекция 10. Числовые ряды и их свойства. 48 Необходимый признак сходимости ряда.. 48 Критерий Коши сходимости ряда. 49 Свойства сходящихся рядов. 49 Лекция 11 Знакоположительные ряды.. 51 Интегральный признак Коши. 52 Признаки сравнения рядов. 53 Признак Даламбера. 55 Радикальный признак Коши. 57 Теорема Дирихле о возможности перестановки членов ряда в сходящихся знакоположительных рядах. 58 Лекция 12. Знакопеременные ряды.. 58 Теорема о перестановке членов в абсолютно сходящихся рядах. 59 Теорема Римана. 62 Знакочередующиеся ряды.. 63 Признак Лейбница. 63 Функциональные ряды.. 64 Лекция 13. Равномерно сходящиеся ряды.. 64 Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. 65 Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов. 66 Лекция 14. Степенные ряды.. 68 Теорема Абеля. 68 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда. 69 Лекция 15. Ряд Тейлора. 72 Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций. 72 Применение степенных рядов. 74 Ряды Фурье. 76 Лекция 16. Задача о наилучшем приближении. 76 Задача о наилучшем приближении в Rn 76 Задача о наилучшем приближении в Н (гильбертовом пространстве) 77 Лекция 17. Ряд Фурье по тригонометрической системе функций. 79 Связь между гладкостью функции и порядком малости коэффициентов Фурье. 82 Разложения в ряд Фурье функций, заданных на отрезке Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. 84 Разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке
Часть1. Кратные и криволинейные интегралы, теория поля
Лекция 1. Двойной интеграл
Задача об объеме цилиндрического тела. К определенному интегралу мы пришли от задачи о площади криволинейной трапеции. К двойному интегралу мы приходим, решая задачу об объеме цилиндрического тела. - Рассмотрим, например, прямой круговой цилиндр с высотой h и радиусом основания R его объем равен - Объем цилиндра той же высоты, в основании которого лежит эллипс с полуосями - Объем цилиндра той же высоты, с площадью основания Пусть надо вычислить объем цилиндрического тела, в основании которого лежит область
Двойной интеграл 1. 2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» Mi и вычислим в них значения функции 3. Построим интегральную сумму 4. Переходя к пределу при условии Теорема существования. Пусть функция
Замечание [2]. Предел этот не зависит от - способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А - выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения, - способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В Свойства двойного интеграла [3] 1. Линейность б) свойство однородности Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Они равны интегральным суммам для правых частей равенств, так как число слагаемых конечно. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.
2. Аддитивность. Доказательство. Выберем разбиение области D так, чтобы ни один из элементов разбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы D1, так и элементы D2. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.
3. 4. Если в области D выполнено неравенство Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу. Заметим, что, в частности, возможно 5. Теорема об оценке. Если существуют константы Доказательство. Интегрируя неравенство
6. Теорема о среднем (значении интеграла). Существует точка Доказательство. Так как функция Геометрический смысл теоремы состоит в том, что существует цилиндр постоянной высоты   ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
........... 83
по синусам и косинусам кратных дуг. 86
равен 
.
, равен 
.
с площадью 
изменяется от точки к точке так, что конец ее описывает некоторую поверхность 
(
). Тогда логично разбить область 
Организуем разбиение области D на элементы – области 
так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и 
(условие А)
, где 
- площадь 
(условие В), получим двойной интеграл как предел интегральных сумм: 
непрерывна в замкнутой односвязной области D[1]. Тогда двойной интеграл существует как предел интегральных сумм.
.
.= 
+ 
.= 
, то 
+ 
- площадь области D.
, то 
(неравенство можно интегрировать).
, что 
, то 
(свойство 4), получим 
. По свойству 1 константы 
, что 
.
непрерывна на замкнутом ограниченном множестве 
и верхняя грань 
. Выполнено неравенство 
. Деля обе части на 
, получим 
. Но число 
заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция 
функция должна принимать это значение. Следовательно, 
, объем которого равен объему цилиндрического тела 