Моделирование непрерывных распределений

Большинство методов моделирования случайных величин на ЭВМ с различными законами распределения основано на использовании следующей теоремы:

Если случайная величина x имеет плотность распределения f (x), то распределение случайной величины y=F (x) является равномерным на интервале (0,1).

Здесь под F (x) понимается интегральная функция распределения случайной величины x.

Следовательно, можно поступить наоборот: построить функцию распределения F (x); выбрать случайное значение y из равномерного распределения в интервале (0,1) и определить то значение аргумента х, для которого F (x)= y.

Полученная таким образом случайная величина x будет иметь заданную функцию распределения F (x).

Эта же задача может быть решена не только графическими построениями, но и рядом других способов. В частности, аналитический способ основан на обратном преобразовании x = F ^–1(y), где F ^–1 – функция, обратная F.

Это преобразование сводится к решению интегрального уравнения относительно x_i

, (1)

т.е. определяется такое значение x_i, при котором функция распределения равна y_i = ξ _i, где ξ _i – значение случайной величины, равномерно распределенной на интервале (0,1).

В общем случае применение аналитических способов решения этого уравнения связано со значительным расходом машинного времени. Однако в частных случаях, когда решение уравнения (1) можно получить в явном виде, этот способ очень удобен.

Одним из наиболее экономных (по затратам машинного времени) методов получения случайных чисел с заданным законом распределения является способ кусочной аппроксимации плотности распределения f (x).

Сущность этого метода состоит в том, что область возможных значений случайной величины х разбивается на n интервалов, количество которых определяется точностью аппроксимации плотности распределения f (x). Левую границу k –го интервала обозначим а_k.

Будем считать, что в пределах интервала (а_k, а_{k +1}), значение функции f_k (x) не изменяется, тем самым мы заменяем кривую f (x) ступенчатой функцией.

Если случайным образом из n интервалов выбрать интервал (а_k, а_{k +1}), то получение случайного числа х_i с плотностью f (x) сводится к формированию равномерного распределения в интервале (а_k, а_{k +1})

. (2)

Для использования этой формулы необходимо располагать n значениями а_k, которые рассчитываются для заданного закона распределения f (x) и вводятся в оперативную память ЭВМ в порядке возрастания. Простейшая процедура расчета величин а_k основана на предположении, что вероятность попадания в любой из n интервалов одинакова и равна, очевидно, 1/ n. Это означает, что мы выбираем такие интервалы, в которых приращение функции распределения F (x) при переходе от k –го к (k +1)–му интервалу было постоянным и равным 1/ n, т.е.

. (3)

Вследствие нелинейности функции распределения F (x) (за исключением равномерного распределения) длина интервалов (а_k, а_{k +1}) получается различной.

Начальное значение а_k = а ₀ всегда известно – оно равно минимальному значению случайной величины х. Следовательно, соотношение (3) позволяет последовательно вычислить все а_k (k = 1, …, n), т.е. решается оно относительно верхнего предела интегрирования. Значение n обычно принимается равным 2 ^m, где m =4…6 (n =16…64).

Для организации случайной выборки k –го интервала из равномерного распределения извлекается случайное целое число и первые m разрядов используются в качестве адреса для выбора из таблицы значений а_k и а_{k +1}. Затем по формуле (2) определяется значение х_i, при этом используется уже новое случайное число .

Данный метод формирования случайных чисел находит широкое практическое применение благодаря своей универсальности и экономичности. Его недостатком является неравномерная точность аппроксимации.

Из рассмотрения методов моделирования случайных величин следует, что для их реализации необходимо иметь случайную величину ξ с равномерным распределением либо на интервале (0,1), либо на интервале (а_k, а_{k +1}), в общем случае на интервале (a, b).

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: