Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ





Дискретные распределения случайных величин применяют для описания поведения случайных событий.

Алгоритм моделирования на ЭВМ случайных событий с известным законом распределения вероятностей сводится к следующему.

Пусть заданы значения вероятностей P1, P2,…, Pn для независимых событий A1, A2,…, An, образующих полную группу. Нужно определить в каждом испытании, какое из этих событий произошло.

Разобьем отрезок [0,1] на n отрезков так, чтобы длина i–го отрезка равнялась вероятности Pi. Выберем из равномерного в интервале (0,1) распределения случайное число и определим, на какой участок попадает это число. Попадание случайного числа на k–й участок фиксируем как факт свершения события Ak . На ЭВМ этот процесс сводится к выбору случайного числа и проверке условия

. (15)

Для фиксированного неравенство выполняется лишь при одном значении k. Это значение k и определяет номер события Ak , которое произошло в данном опыте. Cвершение события Ak означает, что случайная величина x приняла значение k.

В рассматриваемых ниже законах суммы вероятностей монотонно возрастают с ростом i, поэтому вместо неравенства (15) можно использовать одностороннюю границу вида

(16)

а поиск значения x производить последовательным вычитанием Pi из до первого результата, не превышающего 0. Значение i, при котором это произойдет, и принимается за значение случайной величины x.

Вычисления реализуются достаточно просто, так как для рассматриваемых законов очередное значение вероятности Pi+1 определяется по рекуррентной формуле вида

Pi+1 = Pi r(i) ,

где r(i) – определяется законом распределения случайной величины.

Распределение Пуассона

Это распределение описывает поведение редких событий и широко применяется в теории массового обслуживания, в теории надежности и ряде других областей науки и техники. Оно задается рядом распределения



где – вероятность того, что случайная величина x примет значение m .

Для этого распределения справедливо

что используется обычно для предварительной проверки того, что случайная величина x подчиняется закону Пуассона.

Для этого закона неравенство (16) имеет вид

где

Геометрическое распределение

Это распределение задает вероятность того, что некоторое событие A произойдет в первый раз после точно k опытов, если вероятность появления события в одном опыте равна p,

где k – целое число,

Математическое ожидание и дисперсия этого распределения равны

Неравенство (16) здесь имеет вид

где

Для этого закона можно получить и другое выражение, удобное для вычислений. Действительно, для интегрального закона этого распределения имеем

Воспользовавшись формулой суммы x членов геометрической прогрессии со знаменателем 1 – p, получим

Поэтому для определения x здесь можно применить неравенство

Решение находится последовательным увеличением x до тех пор, пока правая часть неравенства станет не меньше .

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

При этом распределении вероятность того, что случайная бесповторная выборка объемом n содержит точно x элементов типа A, если эта выборка производится из генеральной совокупности из N элементов, среди которых M = pN элементов принадлежат типу A, равна

Математическое ожидание и дисперсия этого распределения равны

Здесь p доля элементов типа A в генеральной совокупности N.

При моделировании такого распределения используется выражение

Распределение Паскаля

Это распределение задается рядом

Вероятность есть вероятность появления события в m–й раз после точно m+x–1 опытов при вероятности появления события в одном опыте равной p.

При m =1 распределение Паскаля сводится к геометрическому.

Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения равны

Значение x при заданном m определяется решением неравенства (16), где

Биномиальное распределение

Для этого распределения вероятность того, что в серии из n опытов событие A, имеющее вероятность появления в одном опыте p, произойдет ровно x раз, задается рядом

Математическое ожидание и дисперсия этого распределения равны

Моделирование этого распределения сводится к получению последовательности целочисленных значений x при заданных p и n, которые определяются решением неравенства (16), где









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.