ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

При решении практических задач часто приходится оперировать со случайными величинами, минимальное значение которых ограничено некоторой постоянной величиной x = b. Такие величины применяются, например, для описания времени восстановления аппаратуры. Физически это означает, что во всех случаях для устранения неисправности требуется некоторое время

Плотность вероятности этого распределения имеет вид (так называемая сдвинутая экспонента)

Математическое ожидание и дисперсия здесь равны

Рассмотрим, как получить на ЭВМ последовательность значений случайной величины с таким распределением.

После обычных преобразований получим рабочую формулу

Второе слагаемое в правой части формулы представляет собой случайную величину, подчиненную экспоненциальному распределению с параметром

. Следовательно, формирование случайной величины со сдвинутым экспоненциальным распределением сводится к получению (любым способом) экспоненциально распределенной случайной величины и суммированию ее с константой b.

Воспользуемся центральной предельной теоремой Ляпунова из теории вероятностей. В простейшей форме сущность этой теоремы состоит в том, что

закон распределения суммы m независимых случайных величин, имеющих один и тот же произвольный закон распределения, при неограниченном увеличении числа слагаемых m приближается к нормальному.

В случае равномерно распределенных в интервале (a, b) независимых случайных чисел сумма m таких чисел стремится к нормальному распределению с математическим ожиданием

Для получения последовательности нормально распределенных случайных чисел с заданными параметрами M_x,

представим случайную величину х в виде суммы

где z_i – нормально распределенная случайная величина с параметрами M_z =0,

Рассмотрим, как получить случайную величину z_i, располагая последовательностью равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел

. Согласно центральной предельной теореме имеем

ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Плотность распределения вероятностей здесь имеет вид

Рассмотрим способ формирования логарифмически нормального распределения, основанный на непосредственной связи распределения (7) с нормальным распределением. Действительно, если х – случайная величина, логарифм которой имеет нормальное распределение с параметрами

, то справедливо соотношение

где z_i – нормально распределенная случайная величина с параметрами M_z =0, σ _z =1.

Следовательно, формирование логарифмически нормального распределения сводится к получению нормированной случайной величины z_i и вычислению x_i согласно формулы (9).

Плотность распределения вероятностей для этого закона имеет вид

Математическое ожидание и дисперсия здесь равны

При целом

– это распределение Эрланга (см. ниже).

Пусть

– значения независимой случайной равномерно распределенной на интервале (0, 1) величины.

Если

то выбираем новую пару чисел

, иначе определяем

Кроме распределения Эрланга, частными случаями гамма–распределения являются

(хи–квадрат) (при β=2 и значениях α, кратных 1/2) и экспоненциальное (при

) распределения.

Плотность распределения вероятностей для этого закона имеет вид

где k принимает только целочисленные значения (k =1, 2, …).

Математическое ожидание и дисперсия здесь равны

Распределение Эрланга непосредственно связано с распределением Пуассона: если начать измерение времени в момент совершения n –го события, то случайная величина x является длительностью интервала между n –ым и n+k –ым событием пуассоновского процесса. Этот интервал равен сумме k подинтервалов, каждый из которых является случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение с интенсивностью

Отсюда следует, что случайная величина х, имеющая распределение Эрланга k –го порядка, может быть получена в виде суммы k случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение,

Плотность распределения вероятностей этого закона описывается выражением

где n – число степеней свободы, Г(n /2) – гамма функция.

Математическое ожидание и дисперсия здесь равны

Формирование распределения

(хи–квадрат) на ЭВМ основано на предельной теореме:

Сумма квадратов n независимых нормально распределенных случайных величин с математическим ожиданием m=0 и дисперсией имеет распределение с n степенями свободы.

Следовательно, процедура получения

–распределения сводится к двукратному преобразованию:

· Из равномерного распределения формируется последовательность n независимых нормально распределенных случайных величин

с параметрами

по формуле

· Производится суммирование квадратов, полученных случайных величин

имеет

–распределение с n степенями свободы.

В математической статистике это распределение называется иногда распределением t с k степенями свободы, так как описывает случайную величину

где Z и V – независимые случайные величины, причем Z распределена нормально с параметрами M_z = 0 и D_z = 1, а V подчиняется закону

с k степенями свободы.

Плотность вероятностей величины t имеет вид

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины t равны

То обстоятельство, что случайная величина t связана функциональной зависимостью (10) с другими случайными величинами, законы распределения которых известны, дает простой способ формирования распределения (11). Для этого необходимо:

· Получить реализацию нормально распределенной случайной величины Z с параметрами m_z = 0, D_z = 1

· Сформировать реализацию случайной величины V, подчиненной

–распределению:

· Выполнить вычисления согласно формуле (10).

Это распределение широко используется в дисперсионном анализе. Оно описывает случайную величину

которая функционально связана с двумя случайными величинами U и V, имеющими

–распределения с k ₁ и k ₂ степенями свободы соответственно.

Плотность вероятности этого закона имеет вид

Математическое ожидание и дисперсия для этого закона равны

Для реализации случайной величины x, подчиненной распределению Фишера, необходимо, очевидно, сформировать две случайные величины U и V, подчиненные

–распределению с k ₁ и k ₂ степенями свободы, и воспользоваться формулой (12). Тогда получим

где z_i – значения нормально распределенной случайной величины с

Плотность распределения вероятностей этого закона имеет вид

Математическое ожидание и дисперсия этого закона равны

Для случайной величины, имеющей бета–распределение, можно записать:

где

– случайная величина, имеющая хи–квадрат распределение.

то для реализации случайной величины x, подчиненной распределению (13), необходимо сформировать две случайные величины, имеющие

–распределение с m и m+n степенями свободы, а затем получить

Плотность вероятностей распределения Вейбулла имеет вид

где

– масштабный параметр; k – параметр, определяющий асимметрию и эксцесс.

Математическое ожидание и дисперсия здесь равны

Для получения этого распределения может быть непосредственно использовано соотношение

Нижний предел интегрирования равен 0, а не

, так как область существования x ограничена

Распределение Релея является частным случаем рассмотренного выше распределения Вейбулла. Действительно, при

и k = 2 получим

Для получения случайных чисел, распределенных по закону (14), справедливо соотношение

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: