ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ГЕНЕРИРУЕМОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПО БЛИЗОСТИ ЕЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ К ТЕОРЕТИЧЕСКОМУ

Такая оценка проводится с помощью критерия , сущность которого для нашего случая сводится к следующему. (Символ – это условное обозначение распределения, а не квадрат переменной χ).

Сгенерируем n чисел. Разобьем диапазон значений полученных чисел на k не обязательно равных интервалов так, чтобы в каждом из них содержалось не менее 5 чисел. (Оптимальное значение k определяется из выражения .) Для каждого интервала определим количество реально попавших в него чисел n_i и количество чисел, могущих в него попасть теоретически np_i, где p_i - теоретическая вероятность попадания числа в i–й интервал.

Вычислим величину

, (20)

представляющую собой взвешенную сумму квадратов отклонений реальных и теоретических значений вероятностей попадания числа в i–й интервал.

Случайная величина обладает тем свойством, что ее распределение не зависит от распределения исследуемых чисел, а только от количества интервалов k, а точнее, от параметра – числа степеней свободы, определяемого здесь как , где s – число используемых ограничений, например таких

где – среднее значение случайной величины на i–ом интервале,

.

В нашем случае и известны (мы генерируем случайные величины с заданными значениями m_ξ и D_ξ), поэтому число степеней свободы .

Для распределения имеются таблицы (см. табл. 4), по которым, зная конкретное значение и , можно найти вероятность q того, что величина, распределенная по закону , превзойдет это значение.

Проверку гипотезы о совпадении полученного распределения с теоретическим производят следующим образом.

Задавшись вероятностью q (0.01, 0.05, 0.1), по находят в таблице –распределения значение . Если определенное по формуле (20) значение не превосходит , то гипотеза о совпадении полученного и теоретического распределения принимается. Если , то эта гипотеза отвергается.

Следует отметить, что проверка гипотезы по критерию сама по себе не дает доказательства, правильна или ложна эта гипотеза. Она лишь указывает степень согласия гипотезы с результатами эксперимента.

Критерий проверки (вероятность q) выбирают таким, чтобы вероятность отвергнуть гипотезу, когда она верна, была малой. Поэтому q выбирают обычно равной одному из значений 0.01, 0.05, 0.1.

Замечание: Критерием можно пользоваться и без таблиц, если применить формулу Романовского

Если , то согласие между эмпирическим и теоретическим распределениями можно считать удовлетворительным.

4. ЗАДАНИЕ для самостоятельной РАБОТЫ

1. Составить программу генерирования случайных чисел с равномерным распределением на интервале (0, 1), обеспечив возможность варьирования параметров , a, b, M.

Программа должна содержать подпрограммы определения математического ожидания, дисперсии, величины и нормированной автокорреляционной функции.

Проанализировать полученные значения автокорреляционной функции, определить n_нач. и скорректировать подпрограммы так, чтобы исключить n_нач .

Произвести проверку гипотезы о равномерности распределения.

Пример окна программы п. 1, составленной в DELPHI, показан на рис.2.

2. Составить программу генерирования бесповторных случайных чисел для n = 16, обеспечив возможность варьирования начального значения X₀ .

Программа должна содержать подпрограммы определения математического ожидания, дисперсии, величины и нормированной автокорреляционной функции.

Проанализировать полученные значения автокорреляционной функции, определить n_нач. и скорректировать программу так, чтобы исключить влияние n_нач .

Произвести проверку гипотезы о равномерности распределения.

Рис. 3

3. Составить программу генерирования случайных чисел с заданным законом распределения. Программа должна содержать подпрограммы определения математического ожидания, дисперсии, величины и нормированной автокорреляционной функции.

Произвести проверку соответствия полученного закона распределения случайных чисел заданному.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В чем заключается сущность теоремы, на которой базируется моделирование случайных чисел на ЭВМ?

2. Какие методы моделирования на ЭВМ случайных чисел с различными законами распределения вы знаете?

3. Приведите рекуррентные формулы генерирования случайных чисел с равномерным законом распределения на интервале (0, 1).

4. Приведите формулу моделирования равномерного распределения на интервале (a, b).

5. Приведите формулу моделирования экспоненциального распределения.

6. Приведите формулу моделирования нормального распределения с параметрами M_x= 0, D_x= 1.

7. Приведите формулу моделирования распределения Эрланга.

8. Приведите формулу моделирования распределения .

9. Как определяется вероятность k–ого события?

10. Как определяется k–е событие, если его вероятность задана?

11. Почему можно применить односторонний предел в формуле (15)?

12. Приведите формулу распределения Пуассона.

13. В чем различие распределений Паскаля и биномиального?

14. Как генерируются бесповторные случайные числа?

15. Как проверить наличие начального неслучайного участка в программе генерирования случайных чисел? Как избавиться от его влияния?

16. Как определить период последовательности генерируемых чисел?

17. Какие критерии оценки близости распределения Вы знаете?

18. Приведите условия принятия гипотезы об эквивалентности математических ожиданий.

19. Приведите условия принятия гипотезы об эквивалентности дисперсий.

20. В чем заключается сущность критерия ?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982. – 296 с.

2. Айвазян С.А., Мешалкин Л.Д., Енюков И.С. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичной обработки данных. М.: Финансы и статистика, 1985. – 470 с.

3. Давидович М.И., Петрович М.Л. Статистическое оценивание и проверка гипотез. М.: Финансы и статистика, 1989. – 191 с.

4. Гилл А. Линейные последовательностные машины. М.: Наука, 1974. –288 с.

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. – 720 с.

Учебное издание

Дорошенко Александр Николаевич,

Федоров Валентин Николаевич

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: