Тема 4. Методы системного моделирования

Цель: дать студентам понимание общих принципов системно-

го экономико-математического моделирования на примере изуче-

Экономика представляет собой большую сложную систему.

Понятие большой системы предполагает наличие множества под-

систем, в качестве которых выступают различные производствен-

ные системы – предприятия и объединения. Рыночная экономику

характеризуется следующими условиями. Управление _______подсисте-

мами с использованием экономических, в частности, нормативных

Применение экономико-математических методов и моделей

различных уровней должно обеспечить эффективность принятия

управленческих и технологических решений, характеризующихся

динамичностью. Поэтому задачей моделирования становится не

столько получение на модели единственного оптимального для

данной ситуации решения, сколько эксперимент с моделью, по-

зволяющий ответить на вопрос «А, что будет, если...», то есть

оценка возможности, а самое главное, эффективности маневра.

Принцип оптимальности при этом остается основополагающим.

Здесь с новой остротой встает двуединая проблема: 1) оценка

результатов деятельности производственной системы и 2) оценка

затрат различного рода ресурсов с точки зрения интересов данного

предприятия и экономической системы в целом.

Исследование будем вести на простейшей модели формиро-

вания программы производства продукции в плановом периоде,

обеспечивающей ее максимальный стоимостной выпуск:

здесь: j = 1, 2,..., J – номенклатура выпускаемой продукции;

xj – переменные модели – количество единиц продукции j -го

i = 1, 2,..., I – ресурсы, необходимые для производства всех

bi – общий объем ресурса i -го вида в плановом периоде;

aij – норма расхода i -го ресурса на единицу j -го вида продук-

Это обычная задача линейного программирования на макси-

мизацию результата при ограниченных объемах ресурсов, извест-

ная из курса оптимального программирования. Она может вклю-

чать ограничения по обязательному выпуску продукции:

где j N — количество продукции j -го наименования, которое

необходимо выпустить по государственным заказам или по пря-

мым договорным обязательствам. Однако их можно легко исклю-

чить из модели, рассчитав потребности в ресурсах на обязатель-

ный выпуск и сократив общие объемы ресурсов bi. Модель тогда

можно трактовать как обеспечение довыпуска продукции из

Пусть результаты деятельности условного предприятия оце-

ниваются по показателю общей стоимости выпуска (выручка).

Предприятие в плановом периоде может выпустить три вида про-

Известны общие объемы ресурсов в плановом периоде:

- располагаемый фонд рабочего времени T = 12 (т.чел.-ч);

- выделенные лимиты сырья S = 16 (т) и материалов M = 9 (т);

- цены сырья Ps=1 (тыс. руб./т) и материалов Pm=3(тыс.руб./т).

Введем переменные х1, х2, х3 - объемы производства соответст-

вующих видов продукции в условно-натуральных единицах.

Проведем анализ модели. Рассмотрим простейшие показате-

ли эффективности использования различных видов ресурсов при

где C j – цена j -ой продукции, a ij – норма расхода i -го ре-

сурса. Данные коэффициенты отображают соотношение результа-

тов и затрат (цена в данном случае показатель результата деятель-

ности), то есть являются показателями эффективности.

Экономически эти коэффициенты можно трактовать как по-

казатели ресурсоотдачи при выпуске продукции первого, второго

и третьего видов. Так, показатель K S 1 = 5 тыс. руб./т показывает,

что при выпуске продукции 1, затрачивая 1 т сырья, в конечном

счете мы получаем результат 5 тыс. руб. Иначе можно сказать, что

K S 1 характеризует эффективность использования сырья при вы-

Анализ коэффициентов показывает, что с точки зрения тру-

дозатрат выгоднее всего продукция 1, так как у нее самый боль-

шой KТ 1 = 10. С точки зрения затрат сырья – продукция 2 (K S 2 = 10),

Производство продукции 3, несмотря на самую высокую це-

ну (С3 = 24.тыс. руб.), невыгодно с точки зрения использования

всех трех видов ресурсов, так как у нее самые низкие показатели

Такой предварительный анализ позволяет сделать вывод, что

продукция 3 не войдет в оптимальный план (ограничения на ее

обязательный выпуск отсутствуют) и она может быть исключена

Решим задачу графически (рис.4.1). Ограничения T, S, M оп-

ределяют многоугольник допустимых планов ОABС. Линии огра-

ничений в данном частном случае пересекаются в одной точке В,

Эффективность использования ресурсов можно оценить по

Необходимо определить, какие ресурсы и в каком количестве

необходимы для увеличения объема выпуска продукции С по

сравнению с полученным ранее оптимальным планом ˆ = (3,2) В Х

Предположим, что сбыт и приобретение ресурсов сырья

и материалов обеспечены. Труд является не только лимитирую-

щим, но и дефицитным ресурсом и будет ограничивать выпуск

Рис. 4.1. Графическое решение исходной задачи.

Исследование эффективности вовлечения дополнитель-

Оценим, как изменяется эффективность использования ре-

сурса (сырья) по мере его вовлечения в систему, причем для на-

глядности во всем диапазоне его изменения (от 0 и выше). При

любом объеме ресурса предприятие каждый раз выбирает опти-

мальную стратегию выпуска, соответствующую максимальному

его стоимостному объему. При исходных объемах ресурсов вре-

Это параметрическая задача, в которой параметр S Î(0,¥).

Решим ее графически и определим зависимость максимального

стоимостного выпуска от объема ресурса S в системе, то есть

Для графического решения задачи построим множество до-

пустимых решений, определяемое только постоянными ограниче-

ниями Т и М (рис. 4.2). Это многоугольник ОАBD. Теперь будем

изменять величину объема сырья S и для каждого его значения

отыскивать оптимальный план и значения целевой функции. Ре-

Пусть S = 0. В этом случае в нашей задаче выпуск продукции

невозможен, так как сырье необходимо для производства обеих ее

видов. Оптимальный план х0 = (0,0). Зададим _______небольшую величи-

ну объема сырья, например, S = 4. Ограничение по сырью примет

Множество допустимых планов OKL определяется лишь дан-

ным ограничением, остальные ресурсы M и Т при S = 4 избы-

Перемещая линию стоимости С параллельно себе, находим

точку, в которой С принимает максимальное значение. Это точка

К. Оптимальный план К х ˆ = (0,2). Подставляя значения х1= 0 и

х2= 2 в соответствующие ограничения, находим потребные объе-

мы ресурсов и значение целевой функции СК = 40 (тыс. руб.). Ре-

Заметим, что при изменении S от 0 и до 4 (т), точка опти-

мума перемещается по оси х2 вверх (на рис.4.2 изображено

стрелкой). Это движение продолжается до точки А, в которой

начинает действовать ограничение по материалам М. То есть с

увеличением S точка оптимума обязательно совпадет с точкой А.

Запишем в таблицу 4.2 значение оптимального плана К х ˆ =(0,2).

Теперь подстановкой находим значение SА =6, значение целевой

функции Cn =60 и потребные объемы ресурсов. Результаты зано-

Таким образом, при графическом решении параметрической

задачи необходимо проследить траекторию движения оптималь-

ной точки по границам области допустимых решений OABD. Так,

при S > 6 (рис. 4.2, линия HN), область допустимых планов

То есть точка оптимума движется по ограничению М из

точки А в точку В и обязательно попадает в точку В. Как и ра-

нее, заносим оптимальный план в таблицу 4.2 и пересчитываем

значение ресурса S, целевой функции и потребные значения про-

При достижении каждой вершины многоугольника OABD

необходимо проверить, сдвинется ли точка оптимума при даль-

нейшем увеличении ресурса S. Так точка В, S = 16, соответст-

вует исходной задаче. При дальнейшем увеличении ресурса S >16

в конечном счете точка оптимума попадет в точку D, что соот-

ветствует условиям задания 2 и S =24. Если S >24, например,

S =36, то ресурс сырья является избыточным и оптимальная точка

На основании таблицы 4.2 и рис.4.2 построим график зави-

симости оптимального значения стоимости выпуска от величины

Поскольку для каждого значения ресурса сырья мы искали

максимальное (а не произвольное) значение стоимости выпуска,

полученный график отражает закономерность соотношения ре-

зультатов и затрат в заданных условиях. Полученная на рис.4.3 за-

висимость называется линией невозрастающей эффективности и в

упрощенном виде отображает закон, сформулированный извест-

ным экономистом В.В. Новожиловым для условий нейтрального

научно-технического прогресса (неизменная производительность

труда, материально- и фондоемкость продукции). Суть этого зако-

на состоит в следующем. Число эффективных способов использо-

вания дефицитного ресурса всегда ограничено. Поэтому при во-

влечении ресурса в производственную систему каждая его допол-

нительная единица будет использоваться с невозрастающей эф-

фективностью (прежней или меньшей). Следствием этого закона

является то, что экстенсивное развитие в конечном счете приведет

к снижению темпов экономического роста, дефицитной экономи-

В нашем примере для роста стоимости выпуска от 0 до 60

тыс. руб. требуется вовлечение в производство 6 т сырья (точка А),

а для прироста стоимости еще на 60 тыс. руб., то есть до 120 тыс.

руб., необходимо вовлечь еще дополнительно 18 т сырья, доведя

общий его объем до 24 т. Дальнейшее увеличение выпуска при по-

Рассчитаем количественные характеристики эффективности.

Абсолютные коэффициенты эффективности считаются как

отношение абсолютных величин результата и затрат:

и показывает среднее значение результата на единицу затрат.

Они малочувствительны к пролеживанию ресурсов. Так, при S =

24 ED = 5 (рис.4.3), а при S = 36 EG = 10/3. Вместе с тем из рисунка

видно, что при S = 36 вообще не используется 36–24=12(т) ресур-

са. Учитывая характер линии эффективности, видно, что абсолют-

ные показатели не годятся для прогнозных расчетов дополнитель-

Рис.4.2. Графическое решение параметрической задачи.

Рис.4.3. Линия эффективности использования ресурса S.

Приростные коэффициенты эффективности рассчитываются

как отношение приростов результата и затрат:

и показывают, как изменится результат при дополнительном

вовлечении единицы ресурса. Они могут быть рассчитаны лишь в

процессе моделирования объекта и соответствуют двойственным

В реальной экономике показатели эффективности строятся

Итак, в нашем примере при малых объемах S < 6 сырье –

единственный дефицитный ресурс и в оптимальный план входит

продукция 2, самая эффективная с точки зрения его использова-

ния. (K 2 S = 10) и не входит продукция 1 (K 1 S = 5[ тыс. руб. / T ]). В

точке А в силу вступает ограничение по материалам М. Для даль-

нейшего увеличения выпуска при дополнительном вовлечении

сырья S > 6 в план включается первый вид продукции, более вы-

годный с точки зрения использования материалов

Продукция 2 постепенно выводится из оптимального плана,

при S ≥ 16 становится лимитирующим ограничением по труду, а

материалы избыточны. Но так как продукция 1 более выгодна и с

вводиться в оптимальный план вплоть до точки D.

Используя график невозрастающей эффективности, можно

оценить переход от исходного плана x ˆ B = (3,2) к новому x ˆ D.

При подобном переходе эффективность использования до-

e BD = 2,5[ тыс. руб. / т ], тогда как в исходном плане она составляла

еще [ тыс руб т ] АВ e = 4.. /, то есть сырье будет использоваться ме-

нее эффективно, чем в исходном плане. Если данный ресурс явля-

ется дефицитным с точки зрения народного хозяйства (отрасли),

на него может быть установлен норматив эффективности. Так, ес-

ли бы в нашем примере был установлен, например, норматив

e BD = 2,5[ тыс. руб. / т ], предприятие не имело бы права дополни-

тельно вовлекать ресурс и переходить к новому плану, потому что

эффективность его использования e BD = 2,5[ тыс. руб. / т ] была бы

Взаимные задачи как метод моделирования сложных систем

Взаимные оптимизационные задачи – это пара задач ска-

лярной оптимизации народнохозяйственного плана, в которых с

разных сторон отыскивается наилучшее распределение дефицит-

ных ресурсов. Максимизируемая в одной из задач целевая функ-

ция образует ограничивающее условие (ограничение) для другой.

И наоборот, минимизируемая целевая функция второй задачи

Суть использования аппарата взаимных задач кратко можно

Исходная задача (обозначим ее А) заменяется при необходи-

мости по специальным правилам на соответствующую ей взаим-

ную задачу (задача В); решение же последней позволяет отыскать

Теория взаимных оптимизационных задач имеет в экономи-

ко-математическом моделировании разнообразное применение.

Нередко оказывается, что задачи, являющиеся взаимными, принад-

лежат разным классам задач математического программирования

(например, А – задача квадратического программирования, а В –

линейного). Тогда решение более сложной задачи можно свести к

решению задачи более простой математической структуры.

Достаточно часто целевые функции конкретных моделей не

могут быть выражены в аналитическом виде, т. е. количественно. В

этом случае использование теории взаимных задач может обеспе-

чить решение такой не решаемой обычными методами модели.

Понятие взаимных задач, кроме того, позволяет установить

эквивалентность двух основных модификаций оптимизационных

экономико-математических моделей: максимизации результата

(конечной продукции) при ограниченных ресурсах и минимизации

затрат ресурсов на производство заданного объема конечной про-

дукции. Преимущества же критерия минимизации затрат ресурсов

очевидны: измерение затрат на производство различных продук-

тов и услуг является гораздо более легкой задачей, чем системати-

зация наборов экономических благ по их общественному полезно-

му эффекту. Решение задач с рассматриваемым критерием позво-

ляет оценивать эффективность тех или иных хозяйственных меро-

приятий величиной сэкономленных затрат, т. е. оперировать при-

вычными показателями, широко используемыми в локальных эко-

Рассмотрим основные положения теории взаимных задач, как

в общем виде, так и проиллюстрировав, на конкретном числовом

Исходная задача А может быть записана в этом случае сле-

Из множества всех видов используемых ресурсов выделим

дефицитные ресурсы. Ресурс называется дефицитным, если лю-

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: