|
|
Тема 5. Методы декомпозиции экономических системЦель: ознакомить студентов с вопросами оптимальной де- композиции экономической системы и приобретение практиче- ских навыков декомпозиции простейших задач для условий ней- трального научно-технического прогресса. В настоящее время существует единственный теоретически обоснованный метод согласования решений (моделей) в системе – метод параметрической оптимизации. Реализация процедуры согласования начинается с моделиро- вания оптимального поведения каждой подсистемы (начиная с подсистемы нижнего уровня) в условиях, определяемых устанав- ливаемыми подсистемам заданиями по тому или иному показате- лю (параметру). В результате на каждом верхнем уровне получают зависимости оптимального поведения всех подсистем от рассмат- риваемого параметра (показателя). Эти зависимости называют функциями эффективности. Далее на верхнем уровне на основе полученных функций эф- фективности решается укрупненная (агрегированная) оптимизаци- 45 онная модель. В результате каждой подсистеме устанавливается оптимальное, сбалансированное по ресурсам задание. В настоящее время наиболее широко используются две основные схемы согла- сования математических моделей: _ лимитная – согласование обеспечивается путем коррек- тировки заданий (лимитов) по ресурсам; _ агрегатная – согласование обеспечивается путем изме- нения стоимостных (агрегированных) показателей. При рассмотрении метода декомпозиции исследуем двух- уровневую систему. Верхний уровень назовем центром, нижний – подсистемами. При этом предполагаем, что каждая подсистема яв- ляется также как минимум двухуровневой системой. На рис. 5.1 представлен вид рассматриваемой системы. Рис. 5.1 Для удобства и простоты представления модели можно гори- зонтальные связи между подсистемами перенести на уровень цен- тра. Экономически это означает, что центр не только распределяет централизованные ресурсы (вертикальные связи), но и решает во- просы о всех поставках между подсистемами (горизонтальные связи). Тогда структура экономической системы будет иметь толь- ко обобщенные вертикальные связи (рис. 5.2). ЦЕНТР 2-1 2-2 2-3 46 Рис. 5.2 При использовании лимитной схемы согласования (декомпо- зиции) модель каждой подсистемы k имеет следующий вид: max k (k) k C x x , Gk(xk) £ uk, Hk(xk) £ bk, где Ck(xk) – целевая функция подсистемы k; Gk(xk) – функция затрат централизованно распределяемого ресурса; Hk(xk) – функции затрат собственных (располагаемых подсис- темами) ресурсов. Допустимость _______общего плана определяется при этом услови- ем: uk U k Σ £ 0, U0 – общий объем распределяемого «центром» ре- сурса. Координирующая роль «центра» заключается в том, чтобы композиция решений моделей подсистем { } opt Х k давала глобаль- ный оптимум всей системы в целом – X opt. При решении параметрических задач для каждой подсистемы будут найдены зависимости Ck(Xk) = fk(uk), где fk(uk) – функция эффективности функционирования под- системы k в зависимости от объема выделенного в ее распоряже- ние дефицитного ресурса uk. «Центру» в этом случае достаточно, как уже было сказано выше, решить укрупненную оптимизационную задачу ЦЕНТР 2-1 2-2 2-3 47 f u u k k k Σ ()® max при uk U k Σ £ 0. Однако решение этой модели в общем случае весьма затруд- нительно. Действительно, для случая линейной оптимизации функции fk(uk) имеют кусочно-линейный вид, поэтому для реше- ния данной модели необходимо для каждой подсистемы знать те отрезки fk(uk), на которые попадут оптимальные значения uk opt, что в общем случае, конечно, знать заранее невозможно. Для решения этой проблемы нами предлагается способ реше- ния задачи (модели) «центра» вообще без ее оптимизации. Для ил- люстрации _______данного метода и вообще схемы согласования опти- мальных решений рассмотрим конкретный числовой пример с двумя условными подсистемами. В соответствии с описанной выше последовательностью реа- лизации лимитной схемы согласования на первом ее этапе реша- ются параметрические модели подсистем и полученные функции эффективности f1(u1) и f2(u2) сообщаются в «центр»: > + £ ³ + £ ³ £ ³ = 20 30. 12,5 18 30, 4 1 5 6 18, 3 2 0 6, 2 3 () 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u u u u u u u f u > + £ ³ + £ ³ £ ³ = 20 20. 13 11 20, 6 3 11, 3 0 3, () 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 u u u u u u u f u Графическая иллюстрация полученных функций эффектив- ности приводится на рис. 5.3. 48 f1(u1) 6 1 8 3 0 u1 9 0 17 20 · · · 3/2 2/3 1 /4 f2(u2) 3 11 20 u2 9 0 17 20 · · · 3 1 1 /3 Рис. 5.3. Функции эффективности подсистем Функции f1(u1) и f2(u2), как следует из рисунка 5.3, имеют вид, выражающий закон убывающей эффективности, заключающийся, как известно, в том, что по мере увеличения вовлекаемого в про- изводство ресурса каждая его дополнительная единица использу- ется с неувеличивающейся эффективностью. Причиной этого яв- ляется то, что в условиях, когда система располагает несколькими способами производства продукции, эффективные способы произ- водства (использования ресурсов) всегда ограничены, и по мере вовлечения дополнительных ресурсов мы вынуждены применять все менее и менее эффективные из них. Очевидно, однако, что данное утверждение справедливо только при условии стабильного уровня научно-технического прогресса. 49 На втором этапе реализации лимитной схемы согласования модельных решений должна быть решена укрупненная модель «центра». Для преодоления отмеченных выше методологических трудностей нами предлагается следующий алгоритм ее решения. 1. На основании частных функций эффективности fk(uk) рас- считывается обобщенная функция эффективности для всей систе- мы в целом F(u). Для рассматриваемого примера она будет иметь следующий кусочно-линейный вид: > + £ £ + £ £ + £ £ + £ £ + £ £ £ £ = 40 50. 38 50, 4 110 4 1 29 38, 3 73 3 1 17 29, 3 44 3 2 9 9 17, 3 9, 2 9 2 3 3 0 3, () u u u u u u u u u u u u u F u Как будет видно из дальнейшего изложения, свободные чле- ны участков функции F(u) для расчетов не нужны и могут быть сразу опущены. Таким образом, для использования F(u) в практических расче- тах достаточно отсортировать в порядке убывания коэффициентов эффективности все участки всех функций эффективности fk(uk) с на- растанием итогов по u. Кстати, соответствующий график функции F(u) для решае- мой задачи будет иметь вид, показанный на рис. 5.4. 2. Далее рассчитывается предельный коэффициент эффек- тивности использования имеющегося в системе объема дефицит- ного ресурса (для рассматриваемого примера U0 = 32). 0 пред () dU dF U E =. 50 . 0 uopt U k k Σ = F(u) 9 29 50 u 9 0 37 40 3/2 2/3 1/4 3 17 32 38 18 26 34 3 1 1/3 Рис. 5.4 Обобщенная функция эффективности системы 3. Подсистемы, сопоставляя Епред с коэффициентами эффек- тивности «своих» функций fk(xk), определяют предельный объем дефицитного ресурса u~k, для которого Ek ³ Eпред, т. е. пред () E du df u E k k k k = ³. Для рассматриваемого примера 1 ~u = 18, 2 ~u = 20. 4. «Центр», анализируя потребности подсистем в дефицит- ном ресурсе, рассчитывает их оптимальные значения так, чтобы k k uopt £ u~ Поэтому, если объем заявок подсистем превысит располагае- мый объем ресурса U0, необходимо уменьшить объем заявок тех подсистем, которые имеют наименьший расчетный коэффициент эффективности. В нашем случае ~ ~ 38 32 1 2 0 u + u = >U =, поэтому «центр» уменьша- ет на 6 единиц (38 – 32 = 6) объем ресурса для второй подсистемы. В результате получим 18 и opt 14 2 opt 1 u = u =, решив, таким образом, за- дачу «центра» без оптимизации рассмотренной выше модели. В соответствии с найденными opt k u по результатам параметри- ческой оптимизации могут быть определены оптимальные планы подсистем opt (opt) k k Х u. 51 В рассматриваемом примере получим: 3, 4; 6, opt 2; (opt) 35 22 opt 21 opt 12 opt x11 = x = x = x = F Х =. Решив, учитывая ее простоту, исходную оптимизационную модель для всей системы в целом, можно убедиться в том, что расчленение (декомпозиция) глобальной модели на ряд простых моделей с последующим их согласованием дает тот же самый ре- зультат. Контрольные вопросы 1. В чем суть параметрического метода оптимизации? 2. Какие схемы согласования математических моделей вы знае- те? 3. Как осуществляется реализация лимитной схемы согласова- ния? 4. В чем состоит целевая функция «Центра»? 5. Как определяются потребности подсистем в дефицитном ре- сурсе?   ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|