Сложение и вычитание векторов

Линейными операциями над векторами называется сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

Результатом сложения векторов является их сумма. Сумма векторов и обозначается .

Существует два правила сложения двух векторов: правило треугольника и правило параллелограмма.

Правило треугольника

Чтобы сложить векторы и , надо взять произвольную точку и от нее отложить последовательно сначала вектор , затем вектор . Вектор, начало которого совпадает с началом вектора (т.е. первого вектора), а конец – с концом вектора (т.е. второго вектора), есть искомая сумма. На рис. 4 .

По правилу треугольника можно складывать любые векторы.

Коротко правило треугольника можно записать так:

для любых трех точек А,В и С .

Правило параллелограмма

Чтобы сложить векторы и , надо привести их к общему началу, т.е. взять произвольную точку А, построить такие точки В и С, что и , и достроить полученную фигуру до параллелограмма . Вектор - искомая сумма (рис. 5).

По правилу параллелограмма можно складывать тольконеколлинеарные векторы.

Свойства сложения векторов:

1⁰. .

2⁰. .

3⁰. .

4⁰. .

Суммой трех векторов и называется вектор . Учитывая свойство 4⁰, скобки можно опустить и обозначать сумму в виде .

Суммой n векторов называется вектор и обозначается так: .

При построении суммы n векторов пользуются правилом многоугольника.

Правило многоугольника

Чтобы найти сумму n векторов, надо взять произвольную точку и отложить от нее последовательно эти векторы. Вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего (n -го вектора), есть искомая сумма.

Разностью векторов и называется такой вектор , что . Разность – это результат вычитания векторов. Разность векторов и обозначается так: .

Правило построения разности двух векторов

Чтобы построить разность векторов и , надо привести их к общему началу. Тогда вектор, начало которого совпадает с концом второго вектора (т.е. вектора ), а конец – с концом первого (т.е. ), есть искомая разность .

По правилу треугольника

,

откуда получаем краткую запись правила нахождения разности векторов:

.

Умножение вектора на число

Рассмотрим еще одну линейную операцию над векторами – умножение вектора на число. Результатом этой операции является произведение вектора на число.

Произведением вектора на действительное число a называется вектор , обозначаемый через и удовлетворяющий двум условиям:

1) его длина ;

2) если a 0, то ; если <0, то .

Алгоритм построения произведения вектора число a таков.

Берем произвольную точку М. Проводим луч , сонаправленный с вектором , если a 0, и противоположно направленный с вектором , если <0. На луче от начала М откладываем отрезок MP, длина которого в раз больше длины вектора . Вектор - искомый вектор .

Продемонстрируем этот алгоритм на конкретном примере. Построим вектор , если - данный вектор.

Возьмем произвольную точку А. Так как <0, то проводим луч (рис. 7). На луче строим такую точку С, что . Тогда - искомый вектор.

Свойства умножения вектора на число

1⁰. и .

2⁰. .

3⁰. .

4⁰. .

Теорема 1 (о коллинеарных векторах). Пусть . Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое действительное число a, что .

Теорема 2 (о компланарных векторах). Пусть || . Векторы компланарны тогда и только тогда, когда существуют такие действительные числа a и b, что .

Лекция 2

Линейная зависимость векторов

Линейная зависимость векторов и ее свойства

Линейной комбинацией векторов называется вектор , где .

Примеры линейных комбинаций:

1. Вектор есть линейная комбинация векторов (здесь ).

2. Вектор есть линейная комбинация векторов (здесь ).

Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие действительные числа , не все равные 0 одновременно, что выполняется векторное равенство:

.

Если равенство выполняется только при , то система векторов называется линейно независимой.

Примеры

1. Система векторов линейно зависима, т.к. если возьмем , то получим, что , т.е. существуют такие действительные числа , не все равные 0 одновременно (), что выполняется равенство .

2. Система двух неколлинеарных векторов и линейно независима, т.к. сумма двух неколлинеарных векторов и равна нулевому вектору только при .

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: