Свойства линейно зависимой системы векторов

1⁰. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

□ Пусть система, состоящая из одного вектора , линейно зависима. Докажем, что вектор .

Из определения линейно зависимой системы следует, что существует такое, что . Так как первый сомножитель в левой части не равен 0, то второй сомножитель должен быть нулевым вектором, т.е. .

Пусть, обратно, . Докажем, что система, состоящая из одного вектора , линейно зависима. Левую часть равенства можно записать в виде , следовательно, , т.е. существует такое, что . По определению линейно зависимой системы векторов система линейно зависима. ■

2⁰. При n>1 система векторов линейно зависиматогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

□ Пусть система векторов линейно зависима.Докажем, что один из ее векторов является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

По определению линейно зависимой системы векторов существуют числа , не все равные 0 одновременно, такие, что

.

Пусть для определенности , где к – одно из чисел 1, 2,...,n. Перенесем все слагаемые, кроме , из левой части равенства в правую и разделим обе части равенства на :

.

Следовательно, вектор есть линейная комбинация векторов .

Пусть теперь один из векторов системы , например, , является линейной комбинацией векторов . Докажем, что система векторов линейно зависима.

По условию . Перенесем в правую часть и поставим это слагаемое между и :

.

Таким образом, существуют такие числа , не все равные 0 одновременно, что выполняется векторное равенство

.

Следовательно, система векторов линейно зависима. ■

3⁰. Если часть данной системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

□ Пусть дана система векторов и известно, что ее подсистема < n, линейно зависима. Тогда существуют такие числа , причем , что .

Тогда ,

т.е. нашлись числа , причем , следовательно, система линейно зависима. ■

4⁰. Система линейно независимых векторов не содержит нулевого вектора.

□ Пусть система линейно независима. Предположим, что она содержит . По свойству 1⁰ система линейно зависима. Тогда по свойству 3⁰ вся система линейно зависима. Получили противоречие с условием. ■

5⁰. Если система векторов линейно независима, то любая ее часть линейно независима.

□ Предположим, что существует часть данной системы, являющаяся линейно зависимой. Тогда по свойству 3⁰ вся данная система должна быть линейно зависимой. Получили противоречие с условием. ■

6⁰. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда || .

□ Пусть система векторов линейно зависима. Тогда по свойству 2⁰ или , или . По теореме о коллинеарных векторах || .

Пусть || . Если один из векторов нулевой, например, , то по свойству 4⁰ система , линейно зависима. Если , то по теореме о коллинеарных векторах . Так как , то система векторов линейно зависима. ■

Аналогично, пользуясь теоремой о компланарных векторах, можно доказать свойство

7⁰. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

Лекция 3

Базис. Координаты вектора

Базис. Координаты вектора в данном базисе

И их свойства

Множество всех векторов, на котором введена операция сложения векторов, удовлетворяющая свойствам

1⁰. ;

2⁰. ;

3⁰. ;

4⁰. ,

и операция умножения вектора на число, удовлетворяющая свойствам

1⁰. , ;

2⁰. ;

3⁰. ;

4⁰. ,

называется векторным пространством и обозначается через V.

Базисом векторного пространства называется система векторов, заданных в определенном порядке, которая удовлетворяет условиям:

1) система линейно независима;

2) любой вектор пространства является линейной комбинацией данной системы векторов.

Число векторов базиса называется размерностью векторного пространства.

Выяснить, чему равна размерность векторного пространства V, позволяют следующие две теоремы, которые приведем без доказательства:

Теорема 1. Любая система трех некомпланарных векторов, взятых в определенном порядке, образует базис векторного пространства.

А может ли базис пространства V состоять меньше, чем из трех векторов? Больше, чем из трех векторов? Оказывается, нет, так как справедлива

Теорема 2. Любой базис векторного пространства V состоит из трех векторов.

Эти теоремы можно доказать, пользуясь теоремами о коллинеарных и компланарных векторах и свойствами 2⁰ - 7⁰ линейно зависимой системы векторов.

Из теорем 1 и 2 следует, что размерность векторного пространства V равна 3, поэтому оно называется трехмерным векторным пространством.

Базис, состоящий из векторов , и , обозначается так: , , или , , . Векторы , , называются базисными векторами: - первый базисный вектор, - второй, - третий.

Пусть - произвольный вектор пространства V, , , - базис векторного пространства V.

Из теоремы 1 следует, что вектор можно разложить по базисным векторам , , , т.е. существуют такие действительные числа , , , что

.

Коэффициенты , , в этом разложении называются координатами вектора в базисе , , : - первая координата, - вторая, - третья.

Обозначают это так: (; ; ) _{, ,} .

Когда ясно, о каком базисе идет речь, пишут так: (; ; ).

Свойства координат векторов

1⁰. Нулевой вектор в любом базисе имеет нулевые координаты: (0;0;0).

□ Разложим по векторам базиса , , :

.

Следовательно, (0;0;0) _{, ,} . ■

2⁰. Если , , - базис пространства V, то (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1).

□ (1;0;0);

(0;1;0);

(0;0;1). ■

3⁰. Если (; ; ), в базисе , , , а , то

в базисе , , (координаты линейной комбинации векторов равны линейным комбинациям их соответствующих координат).

□ По определению координат вектора

, .

Тогда , .

Сложим почленно эти равенства и воспользуемся свойствами сложения векторов и умножения вектора на число:

.

По определению координат вектора

. ■

Из свойства 3⁰ получаем следствия:

Следствие 1. Каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

Следствие 2. При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

□ Чтобы доказать справедливость следствия 1, надо в свойстве 3⁰ взять сначала a=b=1, а затем a=1, b=-1. Для доказательства следствия 2 полагаем b=0. ■

4⁰. Векторы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты: , , .

5⁰. Пусть (; ; ), , и , i=1, 2, 3. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны:

|| .

Пусть . Тогда

|| и .

Если же , то

|| , а и - любые.

Частным случаем произвольного базиса является ортонормированный базис. Его удобно использовать при решении метрических задач (т.е. задач, связанных с вычислением длин отрезков (векторов) и величин углов).

1) ;

Замечание. Множество всех векторов, параллельных данной плоскости (или лежащих в ней), образует двумерное векторное пространство, т.к. любой его базис состоит из двух неколлинеарных векторов. Поэтому любой вектор этого пространства в таком базисе имеет две, а не три координаты: . Ортонормированный базис выглядит так: , (рис. 9).

h DQKbjKEcmF6ADdsXWH5IcAFnQYsJZte0LTeM7sm2jQ2o0rWxsRnuIFNILc2ejdnWgaWgIaMXNInM fjgyOcLLbO5gi2gr+tfZ2iF9YXMHN4Jq27ZvKqMpvt3mdn63K64YPcS2OHnDbuP7a3zndou1qkq6 6OXIwZdzX7gau0bnG8SmnwxQ0al/3oC/STCvYWz+COPkPwAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAhAEhm RzfgAAAACQEAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxMj01Lw0AQhu+C/2EZwZvdfNBYYjalFPVUBFtB eptmp0lodjZkt0n6711Pehye4X2ft1jPphMjDa61rCBeRCCIK6tbrhV8Hd6eViCcR9bYWSYFN3Kw Lu/vCsy1nfiTxr2vRQhhl6OCxvs+l9JVDRl0C9sTB3a2g0EfzqGWesAphJtOJlGUSYMth4YGe9o2 VF32V6PgfcJpk8av4+5y3t6Oh+XH9y4mpR4f5s0LCE+z/3uGX/2gDmVwOtkrayc6BWkWhS0+gBhE 4FmSJiBOCpJ0+QyyLOT/BeUPAAAA//8DAFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAA lAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAJmeYV9+BgAA zCEAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAEhmRzfg AAAACQEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAA2AgAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAADl CQAAAAA= ">

Лекция 4

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: