|
Смешанного умножения векторов
Г10.    ,  ,  компланарны.
Пусть . Тогда    .
По определению векторного произведения  и  .
Следовательно, векторы , , параллельны плоскости, перпендикулярной вектору  (рис. 24),т.е. векторы , , компланарны.
Обратно, пусть векторы , и компланарны. Тогда существует плоскость  , которой они параллельны.
 ,  Þ  , а так как  || , то  Þ  ,
т.е. .
Г20 (геометрический смысл модуля смешанного произведения). Если векторы , , некомпланарны, то абсолютная величина их смешанного произведения равна объему V параллелепипеда с ребрами , , , отложенными от одной точки;  , если тройка , , - правая,  , если тройка , , - левая.
Пусть векторы , , отложены от точки О (рис. 25).
 . Пусть  .
Построим на векторах , , параллелепипед. За основание этого параллелепипеда примем параллелограмм со сторонами и (рис. 26).
Пусть n – луч, перпендикулярный основанию параллелепипеда и лежащий в том же полупространстве, что и вектор . Пусть h – высота параллелепипеда.
а) Если тройка , , ориентирована так же, как базис  ,  ,  , то  (рис. 26, а) Þ  < 900 Þ cos >0 Þ  Þ Þ  .
Итак, .
б) Если тройка , , ориентирована противоположно базису , , , то  (рис. 26, б) Þ > 900 Þ  Þ Þ  .
Итак, .
Из пунктов а) и б) следует, что  .
Алгебраические свойства
Смешанного умножения векторов
А10. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанного произведения, т.е.   V.
Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак смешанного произведения на противоположный, т.е.
 , V.
Для доказательства достаточно применить доказательство свойства Г20 к  и к  . Параллелепипед будет тот же, только за основание будет принята другая грань (в первом случае – построенная на векторах  и  , во втором – на векторах  и ).
Чтобы доказать вторую часть свойства, надо воспользоваться определением смешанного произведения и свойством А10 векторного умножения, а затем совершить циклическую перестановку:
 .
А20.  V  .
Для доказательства этого свойства нужно доказать три равенства:
 ;  ;  .
Докажите их самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.
А30.  ;
 ;
 .
Докажите эти равенства самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.
Замечание. Смешанное произведение  .
 , т.к.  .
Теорема 1(смешанное произведение в координатах). Если  ,  ,  в базисе , , , то  .
  .
Применение смешанного произведения
Трех векторов
Смешанное произведение векторов применяется:
1. Для выяснения компланарности трех векторов:
векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда .
2. Для вычисления объема параллелепипеда:  (рис. 27).
3. Для вычисления объема треугольной призмы:
 (рис. 28).
4. Для вычисления объема тетраэдра (треугольной пирамиды):
 (рис. 29).
Метод координат
На плоскости и в пространстве
Лекция 7
Аффинная и прямоугольная декартова
Системы координат
Понятие аффинной и прямоугольной декартовой
Систем координат
Четверка, состоящая из точки О и базиса  ,  ,  в пространстве, называется аффинной системой координат в пространстве и обозначается  или  (рис. 30).
Точка О называется началом координат, векторы  ,  , - координатными векторами: - первый координатный вектор, - второй, - третий.
Направленные прямые, на которых положительное направление определяется базисными векторами и которые проходят через точку О, называются координатными осями:
 - ось абсцисс;
 - ось ординат;
 - ось аппликат (рис. 31).
Оси абсцисс, ординат и аппликат обозначаются и так: Ох, Оу, Оz.
Плоскости, определяемые осями Ох и Оу, Оу и Оz, Ох и Оz, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Oxz, а систему координат иногда обозначают Oxyz.
Пусть - аффинная система координат, М – произвольная точка пространства. Вектор  называется радиус-вектором точки М относительно точки О (рис. 32).
Понятие координат точки вводится на основе понятия координат вектора.
Координатами точки М в системе координат называются координаты ее радиус-вектора в базисе , , .
Обозначение  или просто М(х;у;z): х – абсцисса точки М, у – ордината, z – аппликата.
Если в пространстве задана аффинная система координат, то устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками (х;у;z) действительных чисел.
Рассмотрим особенности расположения точки относительно аффинной системы координат, если некоторые ее координаты являются нулевыми. Пусть М(х;у;z).
1) Если z =0, то М(х;у;0) Þ  Þ  . Верно и обратное: Þ z =0.
2) Докажите самостоятельно, что если у=0, то  , и наоборот, если , то у=0.
3) Докажите самостоятельно, что если х=0, то  , и наоборот, если , то х=0.
4) Если z =0 и у=0, то  и Þ  Þ  . Верно и обратное: Þ z =0 и у=0.
Докажите самостоятельно, что:
5) Если х =0 и у=0, то  и наоборот, если  , то х =0 и у=0.
6) Если х =0 и z =0, то  и наоборот, если , то х =0 и z =0.
7) Так как  , то из пунктов 1) – 3) следует, что О (0;0;0) в системе координат  .
Чтобы построить точку М(х;у;z) по ее координатам в системе координат , надо сначала построить точку М1 (х;0;0), затем точку М2 (х;у;0), а затем точку М (х;у;z). Процесс построения этих точек показан на рис. 33. Ломаная ОМ1М2М называется координатной ломаной точки М.
Система координат называется прямоугольной декартовой, если ее базис является ортонормированным. Обозначение прямоугольной декартовой системы координат:  или  , где 
 ,  ,  и  .
Прямоугольная декартова система координат является частным случаем аффинной.
Замечание. На плоскости аффинная система координат состоит из точки О (начала координат) и двух базисных векторов и (координатных векторов) (рис. 34). Поэтому в системе координат на плоскости любая точка имеет две координаты  . Прямоугольная декартова система координат на плоскости изображена на рис. 35.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
