|
Понятие об ориентации пространства и плоскости
Пусть , , - базис трехмерного векторного пространства.
Можно дать и другие определения правого и левого базиса, например, такое: базис , , называется правым (левым), если эти векторы, отложенные от одной точки, располагаются так же, как расставлены (примерно под прямым углом) пальцы правой (левой) руки: большой палец – по первому вектору , указательный – по , средний – по . Мы будем пользоваться в дальнейшем первым определением. Если два базиса правые (или левые), то говорят, что они одинаково ориентированы или имеют одинаковую ориентацию. Если один базис правый, а другой – левый, то говорят, что они противоположно ориентированы или имеют противоположную ориентацию. Множество всех правых (всех левых) базисов в пространстве V называется правой (левой) ориентацией векторного пространства V. Таким образом, в векторном пространстве ориентацию можно задать двумя способами: правую и левую. Векторное пространство, в котором выбрана ориентация, называется ориентированным. Как только в пространстве мы зададим базис, так сразу оно становится ориентированным. В дальнейшем, если нет специальных оговорок, когда в пространстве выбран базис, будем считать, что он является правым. Аналогично можно ввести понятие ориентированной плоскости. При этом базис , на плоскости называется правым (левым), если кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму осуществляется против часовой стрелки (по часовой стрелке). Векторное произведение двух векторов Пусть , , - ортонормированный базис трехмерного векторного пространства V (правый). Векторным произведением двух неколлинеарных векторов и называется вектор, обозначаемый (или ) и удовлетворяющий трем условиям: 1) длина ; 2) и ; 3) базис , , ориентирован так же, как базис , , .
На рис. 20 изображены векторные произведения и . Геометрические свойства Векторного умножения векторов Г10. || . Пусть , тогда или || ; или || || ; или или || . Пусть || . Тогда по определению векторного произведения .
По определению . С другой стороны, (рис. 20). Следовательно, .
Алгебраические свойства Векторного умножения векторов А10. . А20. . А30. . Замечание. Пользуясь определениями ортонормированного базиса и векторного произведения двух векторов, можно доказать, что
Попробуйте доказать самостоятельно! Теорема 1 (векторное произведение в координатах). Если , в базисе , , , то . По определению координат вектора в базисе , , , . Тогда . Используя свойства А10-А30 векторного умножения и замечание, получим: (получите это равенство, проделав все выкладки самостоятельно). Применение векторного произведения Векторное произведение двух векторов применяется: 1. Для выяснения коллинеарности двух векторов: || .
3. Для вычисления площади треугольника: . Лекция 6 Нелинейные операции над векторами Смешанное произведение трех векторов
Смешанным или скалярно-векторным произведением трех векторов, взятых в указанном порядке, называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго и третьего. Обозначение: . Таким образом, по определению . Смешанное произведение – это число! Геометрические свойства Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|