Тема 4.1. Численные методы линейной алгебры

Студент должен:

знать:

- что такое численные методы и где они применяются;

- численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений;

уметь:

- решать системы линейный алгебраических уравнений несколькими методами.

Дидактические единицы:

Численные методы. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метода Гаусса. Метод прогонки.

Примеры решения типовых задач:

Задание. Решить СЛАУ методом Гаусса.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей - три первых:

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на ):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:

Умножив третью строку на , получаем:

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент , для этого от второй строки отнимем третью:

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:

Полученной матрице соответствует система

или

Ответ.

Вопросы для самоконтроля:

1. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

2. Метода Гаусса.

3. Метод прогонки.

Тема 4.2 Численное интегрирование. Численное дифференцирование

Студент должен:

знать:

- способы представления функции в виде прямоугольников и трапеций;

- формулу Симпсона;

- выражения для определения предельных абсолютных погрешностей;

- апроксимацию производной;

- разностные отношения;

уметь:

- вычислять интегралы по формулам прямоугольников, трапеций и формуле Симпсона;

- по табличным данным находить аналитическое выражение производной.

Дидактические единицы:

Формулы прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона. Абсолютная погрешность при численном интегрировании. Численное дифференцирование. Аппроксимация производной. Разностные отношения. Погрешность в определении производной.

Практическая работа № 8

Примеры решения типовых задач:

Пример. Вычислить определенный интеграл методом прямоугольников, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

Решение.

В нашем примере a = 4, b = 9, n = 10, .

Внимательно посмотрим на формулу прямоугольников .

Чтобы ее применить, нам нужно вычислить шаг h и значения функции в точках .

Вычислим шаг: .

Так как , то .

Для i = 1 имеем . Находим соответствующее значение функции .

Для i = 2 имеем . Находим соответствующее значение функции .

И так продолжаем вычисления до i = 10.

Вопросы для самоконтроля:

1. Формулы прямоугольников.

2. Формула трапеций.

3. Формула Симпсона.

4. Аппроксимация производной.

5. Разностные отношения.

Перечень практических работ

Задания для контрольных работ

Примечание:

Номер варианта задания контрольной работы выбирается по последней цифре номера зачетной книжки. (Например, номер зачетной книжки 27, следовательно, номер задания для домашней контрольной работы №7)

В результате изучения дисциплины студент должен

уметь:

- решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчисления;

- находить частные производные первого и второго порядков;

- исследовать ряды на сходимость;

- решать простейшие задачи, используя элементы теории вероятности;

- находить числовые характеристики случайной величины;

- использовать метод Гаусса для численного решения СЛАУ;

- вычислять не табличные интегралы;

- решать обыкновенные дифференциальные уравнения.

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: