Тема 3.1. Элементы теории вероятностей. Случайная величина, ее функция распределения

Студент должен:

знать:

- понятия: событие, частота и вероятность появления события, совместные и несовместные события, полная вероятность;

- теорему сложения вероятностей;

- теорему умножения вероятностей;

- основные формулы комбинаторики;

- способы задания случайной величины;

- определения непрерывной и дискретной случайных величин;

- закон распределения случайной величины;

уметь:

- находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение вероятностей;

- решать задачи с применением теоремы сложения вероятностей для несовместных событий;

- решать комбинаторные задачи;

- строить ряд распределения случайной величины;

- находить функцию распределения случайной величины.

Дидактические единицы:

Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Основные формулы комбинаторики. Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины.

Практическая работа № 6.

Примеры решения типовых задач:

Пример 1. Испытание состоит в подбрасывании игральной кости, на каждой из граней которой проставлено число очков (от 1 до 6). Какова вероятность того, что: 1) выпадает 2 очка? 2) выпадает нечетное число очков?

Решение 1: В данном испытании имеется 6 равновозможных случаев (выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков), так как нет оснований предполагать, что появление какого-то определенного числа очков более вероятно (если, конечно, кость симметрична). Поэтому вероятность выпадения любого числа очков, в том числе и 2, при одном подбрасывании равна .

Событию А, заключающемуся в появлении нечетного числа очков, благоприятствуют три случая (выпадение 1, 3 и 5), поэтому по формуле получаем

Решение 2: В данном испытании имеется 2 равновозможных исхода (выпадение четного числа очков (т.е. 2, 4, 6) и нечетного), так как кость симметрична, то очевидно, что эти исходы равновозможные.

Событию А, заключающемуся в появлении нечетного числа очков, благоприятствуют 1 случай из двух, поэтому по формуле получаем

Отметим, что построенную таким образом пространство элементарных событий непригодно для расчета вероятности того, что выпадает 2 очка, так как этому событию не благоприятствует не один из введенных нами элементарных исходов.

Пример 2. В урне 5 белых и 10 черных шаров, не отличающихся по размеру. Шары тщательно перемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?

Решение. В этом примере имеется 15 равновозможных (шары не отличаются по размеру) исходов опыта, причем ожидаемому событию (появлению белого шара) благоприятствуют 5 из них, поэтому искомая вероятность составит .

Пример 3. В урне 5 белых, 20 красных и 10 черных шаров, не отличающихся по размеру. Шары тщательно перемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым или черным?

Решение. Пусть событие А – появление белого или черного шара. Разобьем это событие на более простые. Пусть В ₁ – появление белого шара, а В ₂ – черного. Тогда, А=В₁+В₂ по определению суммы событий. Следовательно Р(А)=Р(В₁+В₂). Так как В₁ и В₂ – несовместные события, то по теореме о вероятности суммы несовместных событий Р(В₁+В₂) = Р(В₁)+Р(В₂).

Вычислим вероятности событий В₁ и В₂. В этом примере имеется 35 равновозможных (шары не отличаются по размеру) исходов опыта, событию В₁ (появлению белого шара) благоприятствуют 5 из них, поэтому . Аналогично, . Следовательно, .

Пример 4. В совбезе ООН 11 членов: 5 постоянных и 6 так называемые ”малые нации”. Для принятия решении, надо, чтобы было 7 голосов ”ЗА”, причем следующим образом: все постоянные+как минимум 2 временных. Сколько всего вариантов голосования? Сколько всего можно организовать выигрышных коалиций? (Выигрышной коалицией называется такая, когда как бы не голосовали противники решение все равно будет принято.)

Решение. Так, как голосуют 11 делегаций и у них есть 2 выбора (“за”,”против”), то по принципу умножения имеем 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 = 2¹¹ = 2048– вариантов голосования. Так как все постоянные члены должны проголосовать ”за”, то выигрышная коалиция определяется только временными членами, а кол-во – количеством способов выбрать2 или 3 или 4 или 5 или 6 временных членов, голосующих ”за”.

Имеем способов, причем 15 – число так называемых минимальных выигрышных коалиций.

Вопросы для самоконтроля:

1. Событие и вероятность события.

2. Классическое определение вероятности.

3. Основные теоремы теории вероятностей.

4. Основные формулы комбинаторики.

5. Дискретная и непрерывная случайные величины.

6. Закон распределения случайной величины.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: