Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Рекомендации и пояснения к теме 1.2





Таблица первообразных

Свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

2. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла или вносить под знак интеграла

5. Неопределенный интеграл от суммы/разности двух и больше функций равен сумме/разности неопределенных интегралов от этих функций

6. Если , то и , где функция - произвольная функция с непрерывной производной.

 

Таблица интегралов

 

Формула Ньютона – Лейбница

Примеры решения типовых задач:

1. Задание. Вычислить неопределенный интеграл

Решение. Для решения данного интеграла не нужно использовать свойства неопределенных интегралов, достаточно формулы интеграла степенной функции:

В нашем случае , тогда искомый интеграл равен:

Ответ.

2. Задание.Вычислить определённый интеграл

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной (при С = 0), получим

Ответ: 12.

3. Задание.Вычислить определённый интеграл

Решение.Используя формулу получим

Ответ:

Вопросы для самоконтроля:

1. Таблица первообразных.

2. Неопределенный интеграл.

3. Определенный интеграл.

4. Геометрический смысл определенного интеграла.

 

Тема 1.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого

Порядка

Студент должен:

знать:

- типы задач, приводящие к дифференциальным уравнениям;

- определение дифференциального уравнения;



- определение общего и частного решений дифференциальных уравнений, их геометрической интерпретации;

- методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка;

уметь:

- составлять дифференциальные уравнения на простейших задачах;

- решать дифференциальные уравнения первого порядка.

 

Дидактические единицы:

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Практическая работа № 3

Примеры решения типовых задач:

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

Решение. В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде:

Итак:

По правилу пропорции: . Переменные разделены.

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения:

В данном случае интегралы табличные: .

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, – это общий интеграл.

ВМЕСТОзаписи обычно пишут .

Ответ: общее решение: .

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Решение: по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение.

Переписываем производную в нужном виде:

Очевидно, что переменные можно разделить:

Интегрируем уравнение:

Общий интеграл получен.

Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение. В данном случае:

Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:

Если – это константа, то – тоже некоторая константа, переообозначим её буквой :

Итак, общее решение: . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию .

Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось условие .

Теперь в общее решение подставляем найденное значение константы : – это и есть нужное нам частное решение.

Ответ: частное решение:

Вопросы для самоконтроля:

1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.

3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

4. Однородные дифференциальные уравнения.

5. Линейные дифференциальные уравнения.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.