Рекомендации и пояснения к теме 1.2

Таблица первообразных

Тема 1.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого

Порядка

Студент должен:

знать:

- типы задач, приводящие к дифференциальным уравнениям;

- определение дифференциального уравнения;

- определение общего и частного решений дифференциальных уравнений, их геометрической интерпретации;

- методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка;

уметь:

- составлять дифференциальные уравнения на простейших задачах;

- решать дифференциальные уравнения первого порядка.

Дидактические единицы:

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Практическая работа № 3

Примеры решения типовых задач:

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

Решение. В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде:

Итак:

По правилу пропорции: . Переменные разделены.

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения:

В данном случае интегралы табличные: .

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Единственное, решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, – это общий интеграл.

ВМЕСТО записи обычно пишут .

Ответ: общее решение: .

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Решение: по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение.

Переписываем производную в нужном виде:

Очевидно, что переменные можно разделить:

Интегрируем уравнение:

Общий интеграл получен.

Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение. В данном случае:

Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:

Если – это константа, то – тоже некоторая константа, переообозначим её буквой :

Итак, общее решение: . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию .

Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось условие .

Теперь в общее решение подставляем найденное значение константы : – это и есть нужное нам частное решение.

Ответ: частное решение:

Вопросы для самоконтроля:

1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.

3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

4. Однородные дифференциальные уравнения.

5. Линейные дифференциальные уравнения.

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: