Анализ моделей краткосрочного страхования жизни

Схема краткосрочного страхования была описана выше. Пусть р – страховой взнос, который платит человек страховой компании; b – величина страховой выплаты, которую наследники получают от компании в случае смерти застрахованного в течение 1 года. Страховым взносом клиент обезопасил себя от финансовой неопределенности, связанной с наступлением смерти. Этот риск принимает страховая компания, для которой этот риск заключается в возможности убытка, и этот убыток будет элементарной составляющей финансового риска страховой компании, и поэтому изучение ее деятельности анализируется с точки зрения её убытков. ζ – это индивидуальный убыток случайной величины со значениями i=0 или i=b, распространение которой в простейшем виде задается правилом

где х – возраст застрахованного; р_х, q_x – (q_x=1-p_x), это величины, характеризующие: р_х - вероятность того, что человек проживет как минимум ещё 1 год, а q_x – вероятность того, что человек умрет в течение ближайшего года. Средняя величина убытка определяется как mζ=OП₀.

Введём случайную величину L=ζ-p, которая описывает потери страховой компании от конкретного договора страхования. Эта случайная величина принимает два значения: -р и (b-p)>0 с вероятностями р_х и q_x соответственно. Средние потери компании равны:

Из свойств задания величины L её ML < 0, т.е. р ≥ рq_x минимальное значение р₀=bq_x, это значение соответствует нулевым потерям компании и называется нетто-премией, реальный страховой взнос будет выше (страховая премия) нетто-премии, так как он должен покрыть административные и хозяйственные расходы. Идея состоит в том, что эта сумма должна гарантировать выполнение обязательств компании и обеспечить малую вероятность разорения компании. Всё это приводит к задаче о компании, т.е. рассматривается не конкретный страховой случай, а общая сумма выплат по всем страховым случаям. Пусть S – это общая сумма выплат всем застрахованным, а U – это весь капитал компании, тогда вероятность не разорения P{S≤U}. Пусть ζ_i – это размер индивидуального убытка от любого i-го застрахованного, тогда S=

, где N – величина не случайная, а ζ_i – независимые случайные величины и распределены по одинаковому закону. Это означает, что мы имеем однородную группу застрахованных и исключаем случай массовых катастроф. Суммарный ущерб S является суммой независимых и одинаково распространенных случайных величин, и задача о разорении решается методами теории вероятностей. Одним из простейших решений задач такого рода является метод использования центральной предельной теоремы для нормального распределения.

Задаваясь значением вероятности не разорения, мы можем найти значение (того, что в скобках) капитала U. Если в качестве платы p_i за i-й договор страхования выбрать mζ_i, то резервный фонд компании составит:

И отсюда Р(S>U)=P(S>MS)=Ф(О)=1/2. Такая вероятность разорения неприемлема, поэтому в качестве платы за страховку р_i следует назначить величину p_i=Mζ_i+l_i, где l_i – некоторая добавочная величина, тогда резервный фонд компании будет равен

Таким образом если мы хотим, чтобы вероятность не разорения компании была α (обычно за α принимается число, близкое к 1), то l=x(α) , где х(α) – квантиль порядка α, х(α) - коэффициент Стьюдента.

Теперь следует разделить единицу между всеми договорами. Если группа однородная, то l_i=l/N, однако, если рассматривать центральную предельную теорему в более общей формулировке, не требуя, чтобы все ζ_i имели одинаковое распределение, то естественно разделить единицу пропорционально убытку Мζ_i и тогда

Так как известны

и k=x_α, x_α – коэффициент, характеризующий точность, тогда для страховой премии мы имеем:

Основной вклад в p_i даёт Мζ_i, она называется нетто-премией, а добавочную сумму l_i=kMζ_i называют страховой надбавкой, Q_i=l_i/Mζ_i – относительной страховой надбавкой, однако назначение индивидуальных премий р по правилу (*) не справедливо по отношению к договорам с малыми флюктуациями возможного ущерба Dζ_i. Эти договоры как бы оплачивают по другим договорам.

Было бы справедливо делить единицу пропорционально дисперсиям Dζ_i или среднеквадратичному отклонению, т.е.

Суммируя по i и учитывая, что l=x_α_,получим, что k=

или k=x_α

- для второго случая. Соответственно, для индивидуальной премии имеем:

Исходя из этого, относительные страховые надбавки вычисляются по формулам:

Пример: страховая компания заключила n=10 000 договоров страхования жизни до 1 года на условиях: в случае смерти застрахованного лица в течение года от несчастного случая, его наследникам выплачивается 1 млн рублей, а в случае естественной смерти - 250 тыс. рублей, а если застрахованное лицо не умирает в течение года, то страховая компания не платит ничего. Вероятность смерти от естественных причин зависит от возраста и состояния здоровья. По этим признакам застрахованные разбиваются на две группы: n₁=4 000 человек и n₂=6 000 человек. С вероятностью естественной смерти в течение года q₁=0.004 и q₂=0.002 вычислить р, гарантирующий, что компания выполнит свое обязательство с вероятностью 0.95.

Примем за единицу измерения денежных сумм 250 тыс. рублей, тогда для договоров первой группы индивидуальный убыток принимает значения 0, 1, 4 с вероятностями 0,9955; 0,004; 0,0005. Для второй группы убыток принимает те же значения с вероятностью 0,9955; 0,002; 0,0005. Вычислим Dζ_i и Mζ_i

Для того, чтобы гарантировать вероятность неразорения, равную 0.95, резервный фонд компании должен быть равен MS+l. Найдём l:

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: