Наращивание по простой процентной ставке

Г.В. Бабенко

Математическая экономика

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Кубанский государственный технологический университет»

Г.В. Бабенко

Математическая

экономика

Утверждено Редакционно-издательским советом

Университета в качестве учебного пособия

Краснодар

УДК 51

ББК22.1я73

Б 124

Бабенко Г.В. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА.: Учебное пособие / Кубан. гос. технол. ун-т. Краснодар: Издательство КубГТУ, 2004. – 154с.

Изложены основные математические методы, применяемые в экономической практике. Рассмотрены вопросы финансовых вычислений, рисков и их измерителей, вопросы актуарной математики, линейного программирования и теории управления запасами.

Изложение теоретического материала сопровождается решением задач и описанием методов решением задач и описанием методов решения этих задач при помощи ЭВМ.

Предназначено для студентов специальности 351400 и аспирантов кафедры ВТ и АСУ.

Ил. 13. Табл.25. Библиогр.: 3 назв.

Рецензенты: зав. каф. ВТ и АСУ д-р техн. наук, проф.

В.И.Ключко (КубГТУ),

д-р физ-мат наук, проф. каф. численного анализа

Глушков Е. В. (КубГУ)

С- 22.04

ISBN -8333-01-57-2

© Кубанский государственный технологический университет, 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ:

ПРЕДИСЛОВИЕ. 7

ВВЕДЕНИЕ. 8

1. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.. 9

1.1 Проценты простые. 9

1.1.1. Наращивание по простой процентной ставке. 9

1.1.2 Сложные проценты.. 10

1.1.3 Наращивание по сложным процентам. 11

1.1.4 Определение суммы по смешанным процентным ставкам. 11

1.1.5 Эквивалентная ставка. 11

1.1.6 Номинальная ставка. 11

1.1.7 Эффективная ставка. 12

1.2 Математическое дисконтирование и банковский учёт. 12

1.2.1 Математическое дисконтирование. 13

1.2.2 Банковский учёт или учёт векселей. 13

1.3 Учёт платёжного обязательства с начислением простых процентов. 14

1.3.1 Наращение по простой процентной ставке. 15

1.3.2. Дисконтирование по сложным годовым учётным ставкам. 15

1.3.3 Наращение по сложным учётным ставкам. 15

1.3.4 Наращение по сложной учётной ставке m раз в году. 16

Вопросы и задачи: 16

2. Наращение процентов и инфляция. 20

2.1. Консолидация платежей. 21

2.2 Методы составления планов погашения обязательств. 21

2.3 Обыкновенная годовая рента. 22

2.4 Оценки инвестиционных проектов. 22

2.4.1 Внутренняя норма окупаемости. 24

2.4.2 Граничный дисконтный множитель. 24

2.5 Барьерная ставка. 25

Вопросы и задачи: 25

3. РИСКИ И ИХ ИЗМЕРИТЕЛИ.. 27

3.1. Методы уменьшения финансового риска. 27

3.2. Оптимизация портфеля ценных бумаг. 27

Вопросы и задачи: 33

4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РИСКОВ В СТРАХОВАНИИ.. 35

4.1. Актуарная математика. 35

4.2 Основные вероятностные характеристики продолжительности жизни 36

4.3. Анализ моделей краткосрочного страхования жизни. 41

4.4 Анализ модели долгосрочного страхования. 45

Вопросы и задачи. 50

5. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. 52

5.1 Основные понятия математического программирования экономических процессов. 52

5.1.1 Исследование операций. Оптимальное решение. 52

5.1.2 Классификация оптимизационных методов и моделей. 56

5.1.3 Основные понятия и этапы построения оптимизационных моделей 60

5.1.4 Примеры задач линейного программирования. 63

5.1.5 Общая постановка задачи линейного программирования. 69

5.1.6 Теоретические основы методов линейного программирования. Выпуклые множества точек. 71

5.2 Геометрический метод решения задач линейного программирования 76

5.2.1 Свойства задачи линейного программирования. 76

5.3 Симплексный метод. 85

5.3.1 Геометрическая интерпретация симплексного метода. 85

5.3.2 Аналитические методы поиска оптимального решения. 90

5.3.3. Симплексные таблицы.. 91

5.3.4 Метод искусственного базиса. 96

5.4 Двойственные задачи. 98

5.4.1 Экономическая интерпретация двойственной задачи. 98

5.4.2 Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства 100

5.4.3 Первая теорема двойственности. 103

5.4.4 Вторая теорема двойственности. 104

5.5 Транспортная задача. 107

5.5.1. Экономико-математическая модель транспортной задачи. 107

5.5.2 Нахождение первоначального базисного распределения. 111

поставок. 111

5.5.3. Поиск оптимального решения методом потенциалов. 113

5.6. Открытая модель транспортной задачи. 117

Вопросы и задачи: 118

6. УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ.. 124

6.1 Модели управления запасами в экономике. 124

6.2 Управление запасами при случайном спросе и задержке в поставках 134

Вопросы и задачи. 159

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 165

Библиографический список.. 166

ПРЕДИСЛОВИЕ

Цель данного учебного пособия - оказать помощь в процессе изучения математических методов, применяемых в экономике и их практическом применении. Основная идея изложения материала в пособии – сочетание теоретических выкладок с решением задач и рассмотрением примеров. Изучение данного пособия требует знания высшей математики, экономической теории, страхового дела и операций с ценными бумагами.

Учебник подготовлен в соответствии с Государственным образовательным стандартом по специальности 351400 «Прикладная информатика по областям», но может быть также использован при изучении других экономических специальностей.

Книга состоит из шести глав.

Глава 1 посвящена вопросам финансовых вычислений - процентные вычисления, дисконтирование, расчет доходности в случае совершения операций несколько раз в году.

В главе 2 раскрываются вопросы, связанные с консолидацией платежей, составлением планов погашения обязательств и оценкой инвестиционных проектов.

В главе 3 рассмотрены проблемы снижения финансовых рисков и оптимизации портфеля ценных бумаг.

Глава 4 раскрывает подходы к расчетам, применяемым при определении параметров сделок по краткосрочному и долгосрочному страхованию жизни.

В главе 5 описаны теоретические основы линейного программирования, названы наиболее часто встречающиеся в экономической практике задачи и приведены способы их решения.

В главе 6 рассмотрены подходы к задаче управления запасами и рассмотрен ряд конкретных случаев.

Для закрепления материала по окончании каждой главы приведены вопросы и задачи для самостоятельного решения.

ВВЕДЕНИЕ

При заключении экономических сделок каждая её сторона желает знать, насколько успешной для неё окажется эта сделка. Результат сделки характеризуется различными показателями и всегда возникает желание определить их заранее. Каждый вид сделок характеризуется своими особенностями и исходными параметрами, которые следует связать с результатом сделки, то есть построить её математическую модель. В экономике существует определенный набор моделей различной сложности. В этих моделях используются различные математические методы, а именно – процентные вычисления, ряды динамики, статистические методы и методы оптимизации. Для большинства практических задач уже построены математические модели, но по причине влияния на них большого количества факторов, они получаются непростыми или громоздкими. Практическое решение таких задач затруднительно, поэтому идут по пути создания практических методов (разного рода расчетных таблиц и алгоритмов), а так же численных методов, рассчитанных на применение ЭВМ.

Названные методы достаточно специфичны и требуют сочетания как экономических знаний для формулирования условий применения моделей, так и математических знаний для формирования моделей для расчетов. Само решение так же является непростой задачей, так как в большинстве случаев требует применения специальных программных продуктов или очень громоздко.

Не всегда полученный результат дает однозначный ответ на поставленный ответ, так как носит статистический характер или зависит от способа решения задачи. Современный экономист должен овладеть моделями и методами, применяемыми в его деятельности, чем повысит качество и производительность своей работы.

Данное учебное пособие рассматривает лишь наиболее часто встречающиеся модели и не претендует на исчерпывающее изложение, однако позволяет получить достаточно полное представление о решении ряда экономических задач.

ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Финансовые вычисления являются разделом экономической статистики и представляют собой сумму специальных расчётов, направленных на определение нормы отчуждения доходов в пользу определённого лица, в форме процентных денег, которые возникают при предоставлении денег в долг, либо при отсрочке платежа.

Финансы, кредиты, коммерческие операции включают в себя три элемента:

1) размер платежа (кредита);

2) время (срок сделки);

3) процентная ставка.

Результат взаимодействия этих величин зависит от правила вычисления процентных денег и не всегда очевиден, поэтому рассмотрим способы вычисления процентных денег и определения эффективных процентных ставок.

Проценты простые

Процентными деньгами или процентами называют денежную сумму, представляющую собой абсолютную величину денежного дохода, получаемую в результате представления денег в долг в форме: кредит (ссуда), продажа товаров в кредит, помещение денег в депозитный вклад, учёт векселя, покупка сберегательных сертификатов или облигаций. При заключении долгового договора кредитор и заёмщик договариваются о процентной ставке – отношение суммы дохода к сумме долга на единицу времени. Измеряется в процентах и десятичных дробях.

Временной интервал, за который начисляются проценты, называется периодом начисления. Проценты могут выплачиваться либо в момент их начисления (простые проценты), либо присоединяться к основной сумме долга (сложные проценты).

Процесс увеличения суммы долга в связи с начислением процентов называется наращиванием или ростом, сама сумма называется наращенной.

Процентные ставки могут быть:

- фиксированные;

- дискретно изменяющиеся;

- непрерывные.

Сложные проценты

При средних и долгосрочных (больше 3 лет) операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга (для наращения применяются расчёты с использованием сложных процентов). В соответствии с этим процесс роста первоначальной суммы происходит с ускорением. Ускорение вызвано тем, что начисленные проценты присоединяются к сумме первоначального сдвига, который служит базой для их вычисления (процесс называется капитализацией процентов). Наращивание по сложным процентам можно рассматривать как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на первый период инвестирования.

Эквивалентная ставка

Запишем равенство

1+ni_p =(1+i_c)ⁿ

i_p – ставка простых процентов

i_c – ставка сложных процентов

i_p =((1+i_c)ⁿ –1)/n

i_c = - 1

Эквивалентные ставки единственно зависят от срока начисления n.

Задача 4

8-ми сл. процентов годовых на 4 года. Чему эквивалентны ставки i_p -?

i_p = (1+0.08)⁴ –1)/4

Номинальная ставка

В современных условиях проценты капитализируются больше, чем один раз в году. В условиях инфляции проценты начисляются даже ежедневно, поэтому годовая ставка будет называться номинальной ставкой процентов и обозначается j. При m раз начисления процентов в году ставка, начисляемая в периоде, равна j/m

S=p(1+j/m)^n*m.

Увеличение m приводит к более быстрому процессу наращивания, так как капитализация происходит очень часто, поэтому на таких условиях нельзя допускать возможности размещения капитала на большой срок.

Задача 5

S -? P=10⁴ n=5 j=10% в квартал

S=10⁴ (1+0,1/4)²⁰ =16386

Эффективная ставка

Показывает, какая годовая ставка даёт тот же процент, что и m разовых наращиваний в десятидневные поставки j/m. Эффективную ставку обозначают через i, так как она является годовой. Приравняем множители наращивания для сложных процентов и для номинальной ставки. Откуда

Как видно, при m > 1 эффективная ставка больше номинальной, при m=1 – равна ей: i = j.

Замена в договоре j при m-разовом наращивании начислении процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств, так как обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Задача 6

Чему равна годовая процентная ставка?

i-?

j=25% при помесячном начислении

i = (1+0,25/12)¹² =28%

Иногда возникает обратная задача:

Определить j

.

Консолидация платежей

В практической деятельности возникает необходимость изменения условий контракта на предмет объединения (консолидации) нескольких платежей или замена единовременного платежа рядом последовательных с разными сроками. Условным требованием является финансовая эквивалентность платежей. Общим методом решения таких задач является построение уравнения эквивалентности, что означает при объединении платежей, приведённых к одной дате, их сумма приравнивается к новому обязательству. Уравнение эквивалентности при применении простых процентных ставок имеет вид:

t_j = n₀ +n_j;

n₀ – срок консолидации платежей;

n_j – срок объединяемых платежей;

n₀ > n_j.

Пример:

Решено консолидировать три платежа по срокам: 17 мая, 17 июня, 17 августа. Соответствие суммы 10, 20, 30 тыс. руб. Срок консолидации платежей 31 августа. Определить сумму консолидированного платежа, если годовая процентная ставка 10%.

t₁ = 106; t₂ = 75; t₃ = 31 - 17 = 14.

S₀ = 10⁴ (1 + 106/360*0,1) + 20000(1 + 75/360*0,1) + 30000(1 + 14/360*0,1) = 60827,76

Ответ: 60827,76

2.2 Методы составления планов погашения обязательств

Современные финансово-кредитные операции часто предусматривают не отдельные или разовые платежи, а какую – то их последовательность. Такие последовательности платежей называется потоками платежей, а их отдельные элементы – членами потока.

Поток платежей, все члены которого одинаковой величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называются финансовыми рентами, или аннуитетом. Например, выплата в рассрочку страховой премии, процентов по облигациям и т.д. По количеству выплат (членов ренты) в течение года ренты делят на годовые (выплаты раз в год) и р – срочные (выплаты р – раз в год). По количеству начисления процентов на протяжении года различают ренты с начислением m раз в году и с непрерывным начислением. Если платежи осуществляются в конце периодов, то такие ренты называется обыкновенными, или постнумерандо, если платежи производятся в начале периодов, то такая рента называется пренумерандо.

Обыкновенная годовая рента

Рассмотрим простой способ составления плана ежегодного последовательного погашения задолженностей на примере полученного в банке кредита на n –лет по простой процентной ставке.

Пример:

Какими суммами следует погашать долг в 10000 руб., при условии, что срок долга составляет 5 лет. Ставка простых процентов для каждого года – 40% годовых. Долг погашается равномерными платежами в конце года.

Сумма ежегодного платежа равна:

R = 10000/5.

Определяем сумму процентных платежей по году. Сумма процентных платежей по простым процентам:

P_i = 4000

R + 4000 = 6000

3200 + 2000 = 5200

2400 + 2000 = 4000

1600 + 1000 = 3600

800 + 2000 = 2800

22000 – 10000 = 12000

Пример:

Во что обратится сумма в 10⁴ у.е. через 10 лет при 6% годовых начислений, если рост цен в первом случае – 3%, во втором случае – 8%. Рассчитать на 10 лет.

.

Барьерная ставка

Барьерная ставка – это процентная ставка, определяющая для данного инвестора min ожидаемую отдачу от инвестиции. Барьерная ставка при расчётах обычно содержит два компонента.

i = i₀ + r_p,

i₀ – свободная от риска ставка,

r_p – рисковая страховая премия.

Безрисковая ставка – доход от инвестиции в отсутствии всех рисков. За безрисковую ставку обычно принимается доходность правительственных ценных бумаг. Инвесторы требуют страховую премию в качестве компенсации за инвестиционный риск. Размер страховой премии зависит от ряда условий, так как ожидаемый доход и риск потерь инвестиций. В электронных таблицах имеются встроенные функции для расчёта NPV и внутренней нормы доходности. Функция ЧИСТНЗ (ставка, значение, даты). Ставка – ставка дисконтирования, значение – ряд поступлений денежных средств, даты – перечисление дат платежей.

ЧИСТВНДОХ(значение, даты, прогноз).

Значение – ряд, поступлений денежных средств, даты – расписание дат платежей, прогноз – предполагаемый результат. Все расчёты ведутся, исходя из года 365 дней.

Вопросы и задачи:

Задача 1. На сумму 15 тыс. руб. в течение 3 месяцев начисляются простые проценты по ставке 30% годовых (К _год = 360). Ежемесячная инфляция составляет 3%. Определите погашенную (реальную с учётом обесценивания) сумму.

Задача 2. Месячный темп инфляции составляет 5%. Определить: а) полугодовой и б) годовой темп инфляции.

Задача 3. Определить реальную годовую ставку доходности, если годовая процентная ставка равна 60%, а месячный темп инфляции составляет 3%.

Задача 4. Решено консолидировать 3 платежа со сроками 17 мая, 17 июня и 17 августа. Сумма платежей соответствует 10б 20б 30 тыс. руб. Срок консолидации платежей 31 августа. Определите сумму консолидированного платежа при условии, что ставка процентов равна 10% годовых.

Задача 5. Какими суммами следует погашать долг 100 тыс. руб. при условии, что средний срок долга составляет 5 лет, ставка простых процентов – 40% годовых, а долг погашается равномерными платежами в конце каждого года.

Задача 6. Для покупки и запуска оборудования по производству нового продукта требуются капиталовложения в размере С = 1000 тыс. руб. Ожидаемый ежегодный доход от реализации этого продукта после налогообложения (т.е. чистый доход) равен R = 200 тыс. руб. Найти срок окупаемости этого инвестиционного проекта равен.

З адача 7. Для организации бизнеса требуются капиталовложения в размере С = 500 тыс. руб. Ожидаемый годовой доход от бизнеса после налогообложения (чистый доход) равен R = 200 тыс. руб. Найти срок окупаемости проекта.

Задача 8. Для данных задачи 7 (С = 1000 тыс. руб, R = 200 тыс. руб.) зададим срок инвестиционного проекта равным 7 годам, а ставку дисконтирования примем равной 10% (i = 0,1). Найти чистую текущую стоимость поступлений и чистую текущую стоимость проекта.

Задача 9. Для данных задачи 8 срок инвестиционного проекта 6 лет, а ставку дисконтирования примем равной 15% (i = 0,15). Найти чистую текущую стоимость проекта.

Задача 10. Найти показатель доходности для данных задачи 8 для сроков 6 и 7 лет.

Задача 11. Вычислить внутреннюю норму окупаемости для данных задачи 44 (С = 1000 тыс. руб., R = 200 тыс. руб., Т = 7 лет).

РИСКИ И ИХ ИЗМЕРИТЕЛИ

3.1. Методы уменьшения финансового риска

Q= . (*)

Подставим данное выражение в условие ограничений

Решая систему уравнений методом Кремера, находим:

Подставив это решение в выражение для Q(*), получим следующую структуру оптимального портфеля:

Q^* = .

Актуарная математика

Актуарная математика вместе с экономическими, медицинскими и нормальными дисциплинами образует теоретическую основу страхового дела. В актуарной математике изучаются модели и методы определения характеристик продолжительности жизни, схем, страховых выплат, страховых коэффициентов, лежащих в основе страхования жизни и пенсионного обеспечения. С течением времени реальная стоимость денег меняется, и, в связи с этим, схема страхования жизни делится на два вида:

- краткосрочное, не учитывающее фактор измерения денег;

- долгосрочное, с учетом изменения реальной стоимости денег.

Договоры краткосрочного страхования обычно заключаются сроком менее одного года.

Простейшая страховая схема состоит в следующем: человек платит страховой компании страховой взнос в сумме р рублей, а компания соглашается выплатить наследникам застрахованного страховую выплату или страховое пособие, страховую премию в сумме в рублей в случае смерти в течение года и не платит ничего в случае не наступления смерти. Естественно, страховая выплата имеет размер значительно больший, чем страховой взнос.

Схема долгосрочного страхования имеет большое разнообразие: в общем случае момент наступления страховой выплаты является функцией времени τ(t) смерти застрахованного. Величина страхового пособия обычно фиксирована. Примем эту величину в качестве единицы измерения денежных сумм. В некоторых случаях размер страховой величины может ставиться в зависимость от момента выплаты. Здесь величина страховой выплаты будет рассматриваться как b(t).Функциями τ(t)и b(t) можно описать многие схемы долгосрочного страхования жизни.

Схемы:

1. полное страхование жизни. В этом случае функционированное страховое пособие b=1 выплачивается в момент смерти и поэтому τ(t)=t и b(t)=1.

2. n-летнее исключительное страхование жизни. В этом случае страховая выплата производится в момент n, если застрахованный дожил до него. В случае смерти до момента n наименования ничего не платит. Имеем форму:

τ(t)=n,

b(t)=

3. n-летнее страхование жизни. Описывается функцией времени:

b(t)=

τ(t)=t.

Основа психологии страхования жизни - значительное превышение страховой выплаты над страховым взносом. Находится оптимальное соотношения между ними для любого страхового случая – это одна из важнейших задач актуарной математики.

Откуда получим, что

P{S≤U}=Ф .

Задаваясь значением вероятности не разорения, мы можем найти значение (того, что в скобках) капитала U. Если в качестве платы p_i за i-й договор страхования выбрать mζ_i, то резервный фонд компании составит:

U= .

И отсюда Р(S>U)=P(S>MS)=Ф(О)=1/2. Такая вероятность разорения неприемлема, поэтому в качестве платы за страховку р_i следует назначить величину p_i=Mζ_i+l_i, где l_i – некоторая добавочная величина, тогда резервный фонд компании будет равен

U=MS+l, l= .

Вероятность разорения P(S>U)

P .

Таким образом если мы хотим, чтобы вероятность не разорения компании была α (обычно за α принимается число, близкое к 1), то l=x(α) , где х(α) – квантиль порядка α, х(α) - коэффициент Стьюдента.

Теперь следует разделить единицу между всеми договорами. Если группа однородная, то l_i=l/N, однако, если рассматривать центральную предельную теорему в более общей формулировке, не требуя, чтобы все ζ_i имели одинаковое распределение, то естественно разделить единицу пропорционально убытку Мζ_i и тогда

l_ζ =kM_ζ

Так как известны и и k=x_α , x_α – коэффициент, характеризующий точность, тогда для страховой премии мы имеем:

P_i=(1+k)Mζ_i=Mζ_i(1+x_α ) (*)

Основной вклад в p_i даёт Мζ_i, она называется нетто-премией, а добавочную сумму l_i=kMζ_i называют страховой надбавкой, Q_i=l_i/Mζ_i – относительной страховой надбавкой, однако назначение индивидуальных премий р по правилу (*) не справедливо по отношению к договорам с малыми флюктуациями возможного ущерба Dζ_i. Эти договоры как бы оплачивают по другим договорам.

Было бы справедливо делить единицу пропорционально дисперсиям Dζ_i или среднеквадратичному отклонению, т.е.

l_i=RDζ_i или l_i=k .

Суммируя по i и учитывая, что l=x_{α ,} получим, что k= или k=x_α - для второго случая. Соответственно, для индивидуальной премии имеем:

P_i=Mζ_i+ Dζ_i

P_i=Mζ_i+ .

Исходя из этого, относительные страховые надбавки вычисляются по формулам:

Q_i=

Q_i=

Пример: страховая компания заключила n=10 000 договоров страхования жизни до 1 года на условиях: в случае смерти застрахованного лица в течение года от несчастного случая, его наследникам выплачивается 1 млн рублей, а в случае естественной смерти - 250 тыс. рублей, а если застрахованное лицо не умирает в течение года, то страховая компания не платит ничего. Вероятность смерти от естественных причин зависит от возраста и состояния здоровья. По этим признакам за

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: