КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И

Утверждено Редакционно-издательским советом УГНТУ в качестве учебного пособия

Зав. кафедрой АТИС филиала ФГБОУ ВПО УГНТУ в г.Стерлитамаке, д.т.н., профессор А.И.Каяшев

кандидат физико-математических наук, доцент СГПА им. Зайнаб Биишевой З.А.Булатова

Ш96 Кратные криволинейные, поверхностные интегралы и их приложения: Учеб. пособие. – Уфа: Изд-во УГНТУ, 2011 - 207с.

Пособие включает в себя основные теоретические положения и методические указания, необходимые для решения типовых задач и выполнения тестовых заданий, предусмотренных программой курса “Высшая математика” для специальностей технического профиля. Задачи и упражнения для самостоятельного решения подобраны с учетом специфики подготовки технических кадров, обращено внимание на часто встречающиеся ошибки.

Книга предназначена для студентов высших технических заведений, колледжей и может быть полезна также преподавателям, ведущим практические занятия.

Подобно тому как задача о вычислении площади криволинейной трапеции привела нас к понятию простого определённого интеграла, так и задача о вычислении объёма цилиндрического тела приводит к новому понятию – понятию двойного (определённого)интеграла (эта задача даёт геометрическое толкование двойного интеграла).

Рассмотрим цилиндрическое тело, ограниченное (рис 1.1):

1) сверху поверхностью z = f (x,y), где f(x,y) – непрерывная неотрицательная в области D функция;

2) с боков – некоторой цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ;

3) снизу – частью плоскости ОХУ – замкнутой областью D.

Разобьём основание цилиндрического тела областью D кривых на n замкнутых ограниченных областей D_i (i= 1,2,...,n), имеющих площади DS_i (i= 1,2,...,n).

В каждой из областей D_i выберем по точке (x_i; h_i) и составим произведения вида V_i = f (x_i; h_i) DS_i (i = 1,2,...,n).

Каждое из таких произведений геометрически представляет собой объём прямого цилиндра с высотой h_i = f(x_i; h_i) и основанием D_i,а сумма

V_n = S V_i = S f (x_i; h_i) DS_i – объём " ступенчатого тела ", составленного из всех таких цилиндров.

Диаметром области называется наибольшая её хорда. Или: диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура области.

Если теперь стремить число разбиений n к бесконечности, причём так, чтобы диаметры всех элементарных областей D_i стремились к нулю, то V_n, как представляется очевидным, будет иметь предел, равный объёму данного цилиндрического тела:

Задача разыскания предела таких сумм и приводит к понятию двойного интеграла.

Пусть дана функция z = f(x,y), определённая и непрерывная в некоторой замкнутой области D, граница Г которой простая замкнутая линия (такую замкнутую область называют простой областью).

Разобьём область D на n частичных (элементарных) областей (простых) D_i (i=1,2,...,n) (без общих внутренних точек) с помощью некоторой сети кривых.

Площади этих областей обозначим соответственно через DS₁, DS₂,..., DS_n.В пределах каждой частичной области D_i выберем произвольным

Всякую такую сумму называют интегральной суммой для функции f(x,y) соответственной области D.

Меняя сеть разбиения и способ выбора точек в частичных областях, мы можем составить бесконечно много интегральных сумм, различных между собой.

Будем теперь неограниченно увеличивать число n разбиений области D на частичные области D_i, но так, чтобы все d(D_i) взятых областей стремились к нулю при этом.

Может случится, что тогда интегральная сумма s будет иметь предел, не зависящий ни от способа разбиения области D на частные области D_i; ни от способа выбора точек (x_i; h_i) в этих областях.

Если при d(D_i) ® 0 интегральная сумма s имеет предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x,y), взятым по области D, и обозначается

Функция f(x,y) при этом называется интегрируемой в области D.

Возвращаясь к рассмотренной выше задаче, можно, исходя из приведённого определения, сказать, что в случае интегрируемости в D функции f(x,y) объём цилиндрического тела равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D:

Эта формула показывает, что двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции геометрически выражает собой объём цилиндрического тела.

Элемент площади dS = dxdy, т.е. равняется произведению дифференциалов независимых переменных.

Доказано, если разбивать область D прямыми, параллельными осям ОХ и ОУ, то частичными будут служить прямоугольники.

Площадь каждой частичной области DS будет равна произведению DхDу.

Таким образом òò является прямым обобщением понятия простого определения ò на случай функции двух переменных.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: