ПОЛЕЗНОЕ

Как развить коммуникабельность Почему могут возникнуть ссоры между супругами, в то время как их отношения кажутся прочными Почему появляется страх? Как стать богатым и отойти от дел молодым Советы от доктора Айболита «Как быть здоровым» Как сделать приглашение правильно Точка зрения. Как сделать сотрудника вовлеченным? Лень и как с ней бороться. Психологические аспекты Способов заработать с помощью internet Лекции по Основам предпринимательства Последнее добавление

КАТЕГОРИИ

Н.С. Шулаев, Т.В. Григорьева

Стр 1 из 5Следующая ⇒

Н.С. Шулаев, Т.В. Григорьева

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И

ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Учебное пособие

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Н.С. Шулаев, Т.В. Григорьева

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И

ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Учебное пособие

Уфа 2011

УДК 517.37

ББК 22.161.1

Ш96

Утверждено Редакционно-издательским советом УГНТУ в качестве учебного пособия

Рецензенты:

Зав. кафедрой АТИС филиала ФГБОУ ВПО УГНТУ в г.Стерлитамаке, д.т.н., профессор А.И.Каяшев

кандидат физико-математических наук, доцент СГПА им. Зайнаб Биишевой З.А.Булатова

Шулаев Н.С., Григорьева Т.В.

Ш96 Кратные криволинейные, поверхностные интегралы и их приложения: Учеб. пособие. – Уфа: Изд-во УГНТУ, 2011 - 207с.

Пособие включает в себя основные теоретические положения и методические указания, необходимые для решения типовых задач и выполнения тестовых заданий, предусмотренных программой курса “Высшая математика” для специальностей технического профиля. Задачи и упражнения для самостоятельного решения подобраны с учетом специфики подготовки технических кадров, обращено внимание на часто встречающиеся ошибки.

Книга предназначена для студентов высших технических заведений, колледжей и может быть полезна также преподавателям, ведущим практические занятия.

УДК 517.37

ББК 22.161.1

Уфимский государственный нефтяной

технический университет, 2011

Содержание

1. Двойные интегралы
1.1 Объем цилиндрического тела
1.2 Определение двойного интеграла
1.3 Свойства двойного интеграла
1.4 Вычисление двойного интеграла в декартовой
системе координат
1.5 Замена переменных в двойном интеграле
1.6 Вычисление двойного интеграла в полярной системе
координат
1.7 Объем тела
1.8 Площадь плоской фигуры
1.9 Площадь поверхности
1.10 Масса плоской фигуры
1.11 Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
1.12 Момент инерции
1.13 Тестовые задания для самостоятельной работы
2. Тройные интегралы
2.1 Задача о массе неоднородного тела, приводящая к понятию тройного интеграла
2.2 Определение тройного интеграла
2.3 Свойства тройного интеграла
2.4 Вычисление тройного интеграла
2.5 Замена переменных в тройном интеграле
2.6 Переход в тройном интеграле к цилиндрическим координатам
2.7 Тройной интеграл в сферических координатах
2.8 Найдем формулу перехода в тройном интеграле от декартовых координат к сферическим
2.9 Приложения тройного интеграла
2.9.1 Объем тела
2.10 Масса тела
2.11 Статические моменты и центр тяжести тела
2.12 Моменты инерции
2.13 Тестовые задания для самостоятельной работы
3. Криволинейные интегралы
3.1 Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине дуги)
3.2 Криволинейный интеграл II рода (по координатам)
3.2.1 Основные свойства криволинейного интеграла
по координатам
3.2.2 Вычисление криволинейных интегралов
3.2.3 Формула Грина
3.3 Вычисление площадей фигур с помощью криволинейного интеграла
3.4 Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
3.5 Механические приложения криволинейных интегралов
3.6 Тестовые задания для самостоятельной работы
4. Поверхностные интегралы
4.1 Определение поверхностного интеграла первого рода
4.2 Вычисления поверхностных интегралов I рода
4.3 Поверхностные интегралы II рода
4.4 Вычисления поверхностного интеграла II рода
4.4.1 Связь между поверхностными интегралами I и II рода
4.5 Формула Остроградского
4.5.1 Связь между поверхностным интегралом и тройным интегралом
4.6 Связь поверхностного интеграла с криволинейным
интегралом
4.6.1 Теорема Стокса
4.7 Тестовые задания для самостоятельной работы

Расчетное задание 1. «Кратные интегралы»
Расчетное задание 2. «Криволинейные интегралы»
Расчетное задание 3. «Поверхностные интегралы»
Библиографический список

1 Двойные интегралы

1.1 Объём цилиндрического тела

Подобно тому как задача о вычислении площади криволинейной трапеции привела нас к понятию простого определённого интеграла, так и задача о вычислении объёма цилиндрического тела приводит к новому понятию – понятию двойного (определённого)интеграла (эта задача даёт геометрическое толкование двойного интеграла).

Рассмотрим цилиндрическое тело, ограниченное (рис 1.1):

1) сверху поверхностью z = f (x,y), где f(x,y) – непрерывная неотрицательная в области D функция;

2) с боков – некоторой цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ;

3) снизу – частью плоскости ОХУ – замкнутой областью D.

Вычислим объём V этого тела.

Разобьём основание цилиндрического тела областью D кривых на n замкнутых ограниченных областей D_i (i= 1,2,...,n), имеющих площади DS_i (i= 1,2,...,n).

В каждой из областей D_i выберем по точке (x_i; h_i) и составим произведения вида V_i = f (x_i; h_i) DS_i (i = 1,2,...,n).

Каждое из таких произведений геометрически представляет собой объём прямого цилиндра с высотой h_i = f(x_i; h_i) и основанием D_i,а сумма

V_n = S V_i = S f (x_i; h_i) DS_i – объём " ступенчатого тела ", составленного из всех таких цилиндров.

Диаметром области называется наибольшая её хорда. Или: диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура области.

Если теперь стремить число разбиений n к бесконечности, причём так, чтобы диаметры всех элементарных областей D_i стремились к нулю, то V_n, как представляется очевидным, будет иметь предел, равный объёму данного цилиндрического тела:

(1.1)

Задача разыскания предела таких сумм и приводит к понятию двойного интеграла.

1.2 Определение двойного интеграла

Пусть дана функция z = f(x,y), определённая и непрерывная в некоторой замкнутой области D, граница Г которой простая замкнутая линия (такую замкнутую область называют простой областью).

Разобьём область D на n частичных (элементарных) областей (простых) D_i (i=1,2,...,n) (без общих внутренних точек) с помощью некоторой сети кривых.

Площади этих областей обозначим соответственно через DS₁, DS₂,..., DS_n.В пределах каждой частичной области D_i выберем произвольным

образом по точке (x_i; h_i) и составим сумму: .

Всякую такую сумму называют интегральной суммой для функции f(x,y) соответственной области D.

Меняя сеть разбиения и способ выбора точек в частичных областях, мы можем составить бесконечно много интегральных сумм, различных между собой.

Будем теперь неограниченно увеличивать число n разбиений области D на частичные области D_i, но так, чтобы все d(D_i) взятых областей стремились к нулю при этом.

Может случится, что тогда интегральная сумма s будет иметь предел, не зависящий ни от способа разбиения области D на частные области D_i; ни от способа выбора точек (x_i; h_i) в этих областях.

Этот предел I записывают следующим образом:

. (1.2)

Определение 1.2.1

Если при d(D_i) ® 0 интегральная сумма s имеет предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x,y), взятым по области D, и обозначается

Функция f(x,y) при этом называется интегрируемой в области D.

Следовательно, по определению

Символ dS называется элементом площади.

Возвращаясь к рассмотренной выше задаче, можно, исходя из приведённого определения, сказать, что в случае интегрируемости в D функции f(x,y) объём цилиндрического тела равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D:

. (1.3)

Эта формула показывает, что двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции геометрически выражает собой объём цилиндрического тела.

Элемент площади dS = dxdy, т.е. равняется произведению дифференциалов независимых переменных.

Доказано, если разбивать область D прямыми, параллельными осям ОХ и ОУ, то частичными будут служить прямоугольники.

Площадь каждой частичной области DS будет равна произведению DхDу.

Поэтому элемент площади dS = dxdy.

Таким образом òò является прямым обобщением понятия простого определения ò на случай функции двух переменных.

Кратные интегралы

Комплект 1.

Задание 1.

Задание 2.

Вычислить:

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

Задание 3.

Вычислить двойной интеграл в полярных координатах от функции z =f(x, y) по области D:

3.1. , D:

3.2. , D:

3.3. , D:

3.4. , D:

3.5. , D:

3.6. , D:

3.7. , D:

3.8. , D:

3.9. , D:

3.10. , D:

Задание 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

4.1. , , , .

4.2. , , , .

4.3. , , .

4.4. , , (), .

4.5. , .

4.6. , , .

4.7. , , , .

4.8. , .

4.9. , , .

4.10. , .

Задание 5.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями, с помощью двойного интеграла:

5.1. , , , , .

5.2. , , , , .

5.3. , , , , .

5.4. , , .

5.5. , , , .

5.6. , , , .

5.7. , , , , .

5.8. , , , .

5.9. , , , .

5.10. , , , .

Задание 6.

Найти координаты центра масс однородной пластинки плотности , ограниченной линиями:

6.1. , , .

6.2. , , .

6.3. , .

6.4. , .

6.5. , .

6.6. , , , .

6.7. , , .

6.8. , .

6.9. , , , .

6.10. , , , .

Задание 7.

Вычислить:

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

7.6.

7.7.

7.8.

7.9.

7.10.

Задание 8.

Вычислить объём тела, ограниченного указанными поверхностями, с помощью двойного интеграла. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость XOY:

8.1. , , .