|
Следующие интегралы ( L – пробегаемый ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5 в положительном направлении контур): 4.1 ; L: треугольник ABC, где A(1;3), B(2;4), C(2;3)
4.2 L: треугольник ABC, где A(0;0), B(1;1), C(1;0) 4.3 ; L: треугольник OAB, где O(0;0), A(0;1), B(1;1) 4.4 ; L: x + y = R
4.5 ; L: + = 1 4.6 ; L: треугольник с вершинами A(1;1), B(2;2), C(1; 3) 4.7 ; L: треугольник ABC, где A(1;2), B(-1;3), C(0;4) 4.8 ; L: (x –1) + (y - 1) = 1 4.9 ; L: x + y =25 4.10 ; L: x + y = R
Комплект 2 Задание 1. Вычислить криволинейный интеграл Первого рода от функции f(x,y) по Длине дуги L, заданной уравнениями y = (x), a x b 1.1 ; L: контур параллелограмма с вершинами A(0,1), B(3,0), C(3,2), D(0,2) 1.2 ; L: окружность x + y + z = a x + y + z = 0 1.3 ; L: контур треугольника с вершинами A(0,0), B(1,0), C(0,1) 1.4 ; L: x + y = a , x 0, y 0 1.5 ; L: дуга x + y = x - y ; x 0, y 0 1.6 ; L: часть винтовой линии x = a cos t, y = a sin t, z = bt, 0 t 2 1.7 ; L: (x + y ) = xy 1.8 ; L: контур треугольника с вершинами A(0,1), B(2,0), C(0,2) 1.9 ; L: x + y = a , x 0, y 0 1.10 ; L: дуга кривой x + y = z , y = ax
Задание 2. Вычислить криволинейный интеграл Первого рода от функции f (x,y) по длине Дуги L, заданной параметрическими уравнениями: 2.1 f (x,y) = y ; L: x = a cos t, y = a sin t, 0 t 2.2 f (x,y) = xy; L: x = a cos t, y = b sin t, 0 t 2.3 f (x, y) = y ; L: x = a(t–sin t), y = a(1-cos t), 0 t 2.4 f(x, y) = ; L: x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t – t cost), 0 t 2 2.5 f(x,y) = 3x -y ; L: x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t – t cost), 0 t 2 2.6 f(x, y) = x ; L: x = a(t – t sin t), y = a(1 – cos t), 0 t 2 2.7 f(x,y) = xy L: x = ch t, y = ash t, 0 t t 2.8 f(x,y) = ; L: x = a(t - t sin t), y = a(1-cos t), 0 t 2.9 f(x,y) = x + y ; L: x = a cos t, y = a sin t, 0 t 2 2.10 f(x,y) = + ; L: x = a cos t, y = a sin t, 0 t 2
Задание 3. Вычислить криволинейные интегралы второго рода от Заданных функций по данным линиям в Указанных направлениях. 3.1 P = x , Q = -yz, R = z; L: отрезок прямой от точки А(1;2;-1) до точки B(3;3;2) 3.2 P = yz, Q = xz, R = xy; L: дуга кривой x = t, y = t ; z = t ; 0 t 1 3.3 P = z , Q = x + y + z,R = x +y ; L: отрезок прямой от точки A(2;1;0) до точки B(4;3;1) 3.4 P = x , Q = y, R = z; L: дуга кривой x = t, y = t , z = t , 0 z 1 3.5 P = z , Q = yz, R = x – y; L: отрезок прямой от точки A(1;0;2), до точки B(2;-1;0) 3.6 P = x + z, Q = y + z, R = x + y; L: дуга кривой x = t , y = t , z = t , 0 t 1 3.7 P = x, Q = y, R = x + y; L: отрезок прямой от точки A(0;1;1), до точки B(2;4;6) 3.8 P = x + z, Q = x , R = xy; L: дуга кривой x = sin t y = sin t, z = sin t, 0 z 3.9 P = z, Q = xy, R = x + y ; L: дуга кривой x = a cos t, y = a sin t, z = bt, 0 t 3.10 P = 2yz, Q = y - z , R = -x ; L: кривая x = t, y = t , z = t , 0 t 1
Задание 4. Проверить, является ли заданное Выражение полным дифференциалом Некоторой функци U(x,y) и в случае Положительного ответа найти U с Помощью криволинейного интеграла. 4.1 (10xy +12x + 6)dx + (15x y- 5)ydy 4.2 (cos x cos y + 6x +3)dx + (18y - sin x sin y)dy 1. (2cos 2x cos 3y - )dx + ( - 2sin 2x sin 3y)dy 2. (e - )dx + (sin 3y - )dy 3. (xye + cos 2x + x )dx + ( + y)dy 4. ( - 1)dx + ( - 10)dy 5. (arcsin x – x ln y)dx – (arcsin y + )dy 6. (2x – 3xy +2y)dx + (2x – 3x y + 2y)dy 7. (x - 2xy + 3)dx + (y - 2x y + 3)dy 4.10 (y + ln(x + 1))dx + (x + 1 - e )dy
Комплект 3. Задание 1. Вычислить криволинейный интеграл Первого рода от функции f(x,y,z) по длине дуги пространственной кривой L: 4.7 f(x,y,z) = x + y + z; L: x = cos t, y = sin t, z = t, 0 t 4.8 f(x,y,z) = x + y; L: x = t, y = t, z = , 0 t 4.9 f(x,y,z) = z; L: x = t cos t, y = t sin t, z = t, 0 t t 4.10 f(x,y,z) = z; L: x = t, y = , z = , от точки 0 (0,0,0) до точки B(, , ) 4.11 f(x,y,z) = x + z; L: x = t, y = , z = t , 0 t 1 4.12 f(x,y,z) = ; L: x = a cos t, y = a sin t, z = bt, 0 t 2 4.13 f(x,y,z) = z - ; L: x = a cos t, y = a sin t, z = bt, 0 t 2 4.14 f(x,y,z) = ; L: x = t, y = , z = , 0 t 1 4.15 f(x,y,x) = ax; L: x = a cos t, y = a sin t, z = , 0 t 2 4.16 f(x,y,z) = x + y + z ; L: x = cos t, y = sin t, z = t 0 t 2
Задание 2. Используя формулу Грина вычислить Следующие интегралы (L – пробегаемый в Положительном направлении контур). 2.1 L: x + y = ax 1.6 ; L: x + y = R 2.3 ; L: (x – 1) + (y - 1) = 1 2.4 ; L: + = 1 2.5 L: замкнутый контур, составленный из линии y = sin x, y = 0, 0 x 2.6 ; L: x + y = ax 2.7 ; L:x + y = R 2.8 ; L: x + y = R y = 0, y 0 a. ; L: + = 1 b. ; L: x = a cos t, y = b sin t Задание 3. Найти работу, производимую силой = P(x,y) + Q(x,y) вдоль указанного пути L: 3.1 = { x , xy }; L: отрезок прямой от точки A(0;1) до точки B(1;2) 3.2 = { x + y, x + y }; L: ломанная ABC, где A(1;1), B(3;1), C(3;5) 3.3 = { x , }; L: дуга xy = 1, от точки A(1;1) до точки B(4; ) 3.4 = { y, x }; L: дуга астроиды x = a cos t, y = asin t от точки M (t ) до точки M (t ), где t = 0, t = 3.5 = { x –y, 2x + y }; L: треугольник с вершинами A(1;1), B(3;3), C(3;-1) 3.6 = { x , x }; L: дуга y = x от точки A (1;1) до точки B(3;9) 3.7 = { cos x, y}; L: дуга y = sin x, 0 x 3.8 = { cos x, }; L: дуга y = tg x, x 3.9 = { x + y, y – x }; L: эллипс 5x - 6xy + 5y = 6 3.10 = { - x, -y }; L: эллипс x = a cos t, y = b sin t 0 t 2
Задание 4. Вычислить криволинейные интегралы от Полных дифференциалов. 4.1 4.2 2.7 4.4 4.5 4.6 dx + 2x yz dy + 3x y z dz 4.7 4.8 4.9 4.10 вдоль путей не проходящих через начало координат.
Расчетное задание 3 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Комплект 1. Задание 1. Вычислить поверхностные интегралы первого рода по указанным поверхностям: 1.1 П: плоскость x + 2y +3z = 6, лежащая в октанте f(x,y,z) = 6x + 4y + 3z 1.2 П: y = , отсеченная плоскостями x = 0, x = a; f(x,y, z) = x + 3y + z + 5 1.3 П: часть плоскости x + y + z =a, лежащая в октанте f(x,y,z) = 1 1.4 П: z = ,отсеченная плоскостями y = 0, y = 5 f(x,y,z) = 1.5 П: часть плоскости 6x + 4y + 3z = 12, лежащая в октанте, f(x,y,z) = z + 2x + 1.6 П: z = , отсеченная плоскостью z =3; f(x,y,z) = xyz 1.7 П: часть плоскости x + y + z =1, лежащая в октанте, f(x,y,z) = 2x + y - 1.8 П: граница тела z 1; f(x,y,z) =x + y 1.9 П: часть плоскости + + = 1, лежащая в октанте f(x,y,z) = x + y + z 1.10П: часть плоскости 6x + 4y + 3z = 12, лежащая в октанте f(x,y,z) = z + 2x +
Задание 2. Вычислить поверхностные интегралы Второго рода
2.1 по верхней стороне части плоскости 2x + 3y + z = 6 лежащей в октанте 2.2 по положительной стороне куба, составленного плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x =1, y =1, z =1 1.7 по внешней стороне поверхности, составленной плоскостями x = 0, y =0 z = 0, x + y + z = 1 1.8 по внешней поверхности, расположенной в октанте и составленной из плоскостей x = 0, y =0, z =0, z = h и цилиндра x + y =R 1.9 по верхней стороне части поверхности z = , отсеченной плоскостями y = 0, y =2 1.10 по положительной стороне куба, составленного плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x =1, y =1, z =1 1.11 по внутренней стороне части поверхности x = 4y, отсеченной плоскостями y = 4, z = 0, z = 3 1.12 по положительной стороне куба, образованного плоскостями x =0, y = 0, z = 0, x =3, y = 3, z = 3 1.13 по верхней стороне части плоскости x + y + z = a, лежащей в октанте 4.7 по верхней стороне треугольника, образованного пересечением плоскости x + y + z =1 c координатными плоскостями
Задание 3. Найти площадь поверхности
3.1 Конусa z = 2xy, расположенного в октанте между плоскостями x = 2, y =4 3.2 Конической поверхности z = , расположенной в октанте и ограниченной плоскостями x = 0, y =0, x + y =2 3.3 Сферы x + y + z = R , расположенной внутри цилиндра x + y = Rx 3.4 Цилиндра x + y = Rx, расположенного внутри сферы x + y + z = R 2.7 2x + 2y + z = 8a, заключенной между плоскостями y + z =0, z = 0 2.8 Цилиндра x + y = R между плоскостями z = 0, y + z = 0 2.9 Цилиндра z + y = R , заключенного внутри цилиндра x + y = R 2.10 Параболоида x + y = 6z, заключенного внутри цилиндра x + y = 27 3.9 Сферы x + y + z = 3a, заключенной внутри параболоида x + y = 2az 3.10 Части поверхности z = 2 – , расположенной над плоскостью XOY
Комплект 2. Задание 1. Вычислить поверхностные интегралы первого рода по Указанным поверхностям 1.1 П: полусфера z = ; f(x,y,z) = x 1.2 П: поверхность параболоида вращения z = (x + y ), ограниченная плоскостями z =0, z = 2; f(x,y,z) = x + y 1.3 П: коническая поверхность z = x + y , ограниченная плоскостями z = 0, z = 1, f(x,y,z) = x + y 1.6 П: поверхность параболоида вращения z = 1- x - y , ограниченная плоскостями z =0, z =1; f(x,y,z) = 1.7 П: часть поверхности конуса x + y = z , 0 z 1; f(x,y,z)= 1.8 П: часть поверхности z = , отсеченная плоскостями z = 0, z =1; f(x,y,z) = 3x + 3y + 5z 1.9 П: часть плоскости x + y + z = 4, вырезанная цилиндром x + z = 4; f(x,y,z) = x + y + 2x z + z 1.10 П: полусфера z = ; f(x,y,z) = x + y + z 1.11 П: часть поверхности y = , отсеченная плоскостями x = 0, x = a; f(x,y,z) = y(x + z) 1.12 П: полусфера z = ; f(x,y,z) = x
Задание 2. Вычислить поверхностные Интегралы второго рода. 1.6 по нижней стороне круга x + y R 1.7 по нижней стороне части конуса x + y = z , 0 z 1 1.8 по нижней стороне круга x + y = R 1.9 по верхней стороне цилиндрической поверхности z = 1 - x , 0 y 1 1.10 по внешней стороне части поверхности y = отсеченной плоскостями y =0, y =1 1.11 по верхней стороне z = 1 - - , отсеченной плоскостью z = 0 1.12 по внешней стороне x = , отсеченной плоскостями z = 0, z = 2 1.13 по внешней части параболоида x = a - y - z , отсеченной плоскостью YOZ 2.9 по внутренней стороне части поверхности x = , отсеченной плоскостями x = 0, x = a 2.10 по внешней стороне части нижней половины эллипсоида
Задание 3. Найти массу поверхности по указанной плотности
1. z = , отсеченной плоскостями z = 0, z =1 2. z = , отсеченной плоскостями y = 0, y = 2; 3. 2z = 2 - x - y , отсеченной плоскостью XOY; 4. y = , вырезанный цилиндром x + y = 2x; 5. x = , отсеченной плоскостями x = 0, x = 2; 6. x + y + z = a (a > 0), вырезанный цилиндром x + y = R , 3.7 y = , 3.8 x = , 3.9 2az = x - y , вырезанную цилиндром x + y = a ; , k > 0 3.10 0 x 1; 0 y 1; 0 z 1;
Комплект 3. Задание 1. Вычислить поверхностные интегралы первого рода по Указанным поверхностям 1.1 П: часть поверхности 2z = , отсеченная плоскостью z = 0; f(x,y,z) = x + y + z – 2 1.2 П: часть поверхности x + z = 2az, вырезанная z = ; f(x,y,z) = z 1.3 П: поверхность сферы x + y = 9 - z , f(x,y,z) = x + y + z 1.4 П: часть конической поверхности z = , вырезанная x + y = 2ax; f(x,y,z) = xy + yz + zx 1.5 П: сфера x + y + z = 1; f(x,y,z) = x + y + z 1.6 П: часть конической поверхности z = , вырезанная цилиндром x + y = 8x; f(x,y,z) = xy + yz + zx 1.7 П: часть сферы x + y + z = a, лежащая в октанте; f(x,y,z) = x + y + z 1.8 П: поверхность, отсекаемая от верхней части конуса z = цилиндром x + y = 4x; f(x,y,z) = zy + xy + xz 1.9 П: полусфера z = ; f(x,y,z) = 1.10 П: поверхность, отсекаемая от верхней части конуса z = k цилиндром x + y - 2ax = 0 f(x,y,z) = y z + z x + x y
Задание 2. Вычислить поверхностные интегралы второго рода: 2.1 , по внешней стороне полусферы x + y
ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|