Резонансна частота, резонансний опiр та добротнiсть контуру

Резонансна частота. Частота струму генератора, при якiй виникає резонанс струмiв, визначиться з умови рiвностi реактивних Провiдностей B_L = В_C:

У знаменнику підкореневого виразу виносимо за дужки LС. Тоді

Отже, резонанс струмiв здiйснюється тодi, коти частота струму генератора дорiвнює частотi вiльних коливань контуру, тобто реактивнi опори рiвнi мiж собою

Резонансний опiр. Дуже часто в електроннiй апаратурi коливальнi контури мають мiнiмальний активний опiр R. Знайдемо загальний опiр контуру при резонансi струмiв Z_рез.

Згiдно iз законом Ома, Z_рез = U/І. У схемi (див. рис. 8.7) активний опiр у вiтцi з ємнiстю можна вважати таким, що дорiвнює нуло, R₂ = 0, тобто конденсатори контурiв, в основному, мають малий опiр. Отже, загальний струм кола може набирати вигляду

де G₁ – активна провідність віток з індуктивністю

де ω₀ — кутова частота струму генератора при резонаiтсi струмiв.

Вважаючи, що в контурах опiр R₁ малий, то

дже малий, і ним можна знехтувати

≈0. Тоді формула Z_рез виразиться так:

Пiдставимо сюди значения резонансної кутової частоти:

Звiдси резонансний опiр контуру обернено пропорційний активному опору. Отже, при малому активному опорi контуру його опiр струму генератора при резонансi струмiв максимальний і загальний струм генератора мiнiмальний, тобто навантаження на генератор дуже мале. Це пояснюється тим, що чим менше активний опiр контуру, тим менше втрата енергiї, накопиченої в електричному та магнiтному полях контуру.

Отже, напруга на затискачах контуру порiвняно з напругою генератора трохи зменшиться i внаслiдок протилежного напряму напрузi генератора чинитиме йому бiльшу протидiю, тобто Z_рез контуру буде великим, і тим бiльше, чим менше активний опiр контуру.

Помножимо чисельник і знаменник правої частини на R. Матимемо

Звідси, чим більща добротність контуру Q, тим більщий резонансний опір і, отже, менше величина загального струму І, менше навантаження на живильний генератор, а тому бiльше виграш у струмi.

Суть добротностi контуру при резонансi струмiв. Виразимо Z_рез, І, I₁, І₂ через хвильовий опiр. Вiдомо, що Z_хвдорiвнює величинi опорiв Х_L. i Х_С при частотi вiльних коливань коливального контуру

Знайдемо перевагу у струмi, тобто, у скiльки разiв струм у паралельних вiтках при резонансi струмiв бiльше вiд загального струму генератора:

Якщо знайти І₂/І₀, то дiстанемо той самий вираз, тобто І₂/І₀= Q.

Отже, добротнiсть контуру Q при резонансi струмiв показує, у скiльки разiв струм у контурi бiльше, нiж струм у генераторi.

Резонанснi кривi. Розглянуту вище схему (див. рис. 8.7) можна зобразитй у виглядi еквiвалентної схеми, де котушку i конденсатор можна взяти iдеальними, а паралельно їм пiдключили активний опiр R (рис. 53).

Для цiєї схеми iндуктивна й ємнiсна провiдностi для iдеальних iндуктивностi й ємностi визначаються формулами

Цi провiдностi зображено на графiку провiдностей у виглядi прямої лiнiї i гiперболи (рис. 54).

На осi абсцис ω визначається резонансна частота ω₀, при якiй В_L = В_С. Загальна реактивна провiднiсть В = В_L – В_С, тому для рiзних ω можна найти точки кривої В з ординатами В_L – В_С.

При ω < ω₀ загальна провiднiсть В додатня, тобто коло має активно-iндуктивний характер, а при ω > ω₀ провiднiсть В вiд’ємна, тобто коло має активно-ємнiсний характер. При ω = ω₀ маємо В_L = В_С, В = 0. Отже, Y = G i коло має чисто активний характер. Загальний струм i напруга на затискачах кола збiгаються за фазою.

Оскiльки струм прямо пропорцiйний вiдповiдним провiдностям, то графiк залежності струмiв вiд кутової частоти будуть такими самими, що й частотнi характеристики провiдностей.

Ця залежнiсть для реального контуру без урахування знака, який виражає характер кола, але з урахуванням активної провiдностi контуру, тобто для реального контуру, зображено на рис. 55.

Як бачимо, при резонанснiй частотi загальний струм джерела живлення мiнiмальний, а реактивнi струми І_L і І_С рiвнi мiж собою i бiльшi за величиною загального струму, який проходить у нерозгалуженiй частинi кола.

При резонанснiй частотi загальний струм і напруга на затискачах кола збiгаються за фазою, а кут φ = 0. При збiльшеннi частоти струму генератора, ω > ω₀, збiльшується струм в ємнiснiй вiтцi і зменшується струм в iндуктивнiй вiтцi контуру. Отже, збiльшуєтья реактивий струм І_р= І_С – І_L. Тоді кут зсуву за фазою φ збiльшується (рис. 56), коло має ємнiсний характер.

При зменшеннi кутової частоти струму генератора, ω < ω₀, збiльшується загальний реактивний струм I_р = І_L – І_С, кут φ при цьому збільшується. Коло має iндуктивний характер.

При резонанснiй частотi загальна провiднiсть мiнiмальна, і загальний опiр Z = I/Y – максимальний.

При частотах струму генератора, бiльших або менших ω₀ загальна провiднiсть Y ≈ В збiльшується (див. рис. 55). Отже, загальний опiр Z залежно від частоти струму генератора эменшується. Графiк змiни Z залежно вiд частоти струм генератора зображено на рис. 55.

Потужнiсть та енергетичнi процеси. Активна потужнiсть кола визначається формулою

де R_ек — еквiвалентний активний опiр контуру. Враховуючи, що при резонансi струмiв величина загального струму мiнiмальна i в бiльшостi випадкiв контур має малий активний опiр R, то зрозуміло, що Р мала за величиною, тобто вiд генератора надходить у контур мiнiмальна енергiя, яка перетворюється у iншi види енергiї необоротно.

Енергетичнi процеси при резонансi струмiв мають ряд особливостей порiвняно з резонансом напруги. При малому активному опорi контуру,

, у контурi виникає обмiн енергiєю мiж електричним полем конденсатора і магнiтним полем котушки iндуктивяостi, а частина енергiї витрачається на активному опорi контуру.

При цьому генератор поповнює цi витрати, струм генератора проходить через контур. Проте можуть бути випадки, коли обмiн енергiею мiж магнитним i електричним полями вiдсутнiй. Розглянемо випадок, коли

. Це означає, що в паралельних вiтках величини активних опорiв дорiвнюють реактивним опорам вiток. Отже, кути зсуву за фазою φ₁ і φ₂ мiж напругою i струмами у вiтках дорiвнюють 45°. Для аналiзу такого режиму кола побудовано векторну дiаграму (рис. 9.25). Згідно з дiаграмою, напруга на обкладках конденсатора U_рС i струм у котушцi iндуктивностi збiгаються за фазою, тобто одночасно досягають своїх амплутiдних та нульових значень.

Отже, коли конденсатор заряджаеться, U_рС зростає до максимуму i зростає енергiя елекгричного поля конденсатора.

Одночасно зростає сила струму у вiтках з iндуктивнiстю і, отже, зростає енергiя магнiтного поля котушки iндуктивностi

Це означає, що в даний промiжок часу вiд генератора енергiя одночасно надходить і в магнiтне, i в електричне поля. Крiм того, частина енергiї витрачається на активних опорах R₁ i R₂ вiток. У наступний промiжок часу конденсатор розряджається, u_рС зменшуєтъся до нуля i в той самий час сила струму у вiтцi з iндуктивцiстю також зменшується до нуля, тобто енергiя магнiтного й електричного полiв зменшуеться до нуля. З’ясовується, що обмiн енергiею мiж елетричним і магнiтним полями вiдсутний. Повернения енергiї до генератора немає, оскiльки в колі режим резонансу струмiв.

Згiдно з векторною дiаграмою (див. рис. 9.12), загальний струм генератора i напруга на його затискачах збiгаються за фазою, тобто коло має чисто активний характер.

Отже, енергiя, яка накопичується в електричному та магнiтному полях за час розряду конденсатора безповоротно витрачається на активних опорах R₁ i R₂ вiток, перетворюючись у теплову енергiю. Як бачимо, на дiаграмi (див. рис. 9.25) величина загального струму І генератора бiльша, ніж струм у паралельних вiтках, тобто виграшу в струмi немає. Це пояснюеться великими активними
опорами R₁ i R₂, що обумовлює погану добротнiсть контуру Q великими втратами енергi в контурi.

Способами досягнення резонансу струмiв є:

1) змiна iндуктивностi L або ємностi С, яка змiнить частоту власних коливань контуру для зрiвнювання з частотою генератора;

2) змiною частоти генератора для зрiвнювання з частотою власних коливань контура;

3) змiна активного опору контуру для зрiвнювання В_L i В_C. Це застосовується рiдко.