|
Векторы, основные определения, понятия, действия над нимиСтр 1 из 8Следующая ⇒ Векторы, основные определения, понятия, действия над ними Определение 1. Направленный отрезок будем называть вектором и обозначать Определение 2. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают и обозначают Отметим, что нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину равную нулю. Это позволяет нам при записи отождествлять нулевой вектор с вещественным числом нуль. Определение 3. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых. Определение 4. Два вектора называются равными, если выполнены следующие три условия: 1) длины векторов равны, 2) векторы параллельны (коллинеарны), 3) векторы направлены в одну и ту же сторону. Определение 5. Два вектора называются противоположными, если для них выполнены первые два условия определения 4, а третье условие нарушается. Сложение векторов Суммой Сложение векторов обладает следующими основными свойствами: 1. Коммутативность: 2. Ассоциативность: для любых векторов 3. Прибавление нулевого вектора к любому вектору 4. Сумма вектора Вычитание векторов Разностью двух векторов
чтобы из одного вектора вычесть другой, нужно их отнести к общему началу и провести вектор из конечной точки вектора – вычитаемого в конечную точку вектора – уменьшаемого Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом; через две точки; в отрезках, общее уравнение Предел числовой последовательности. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число an, то говорят, что задана числовая последовательность Число A называется пределом числовой последовательности Предел числовой последовательности обозначается Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что для достаточно больших n члены последовательности Для геометрической интерпретации понятия предела числовой последовательности распишем неравенство:
Изобразим числа А, А + e, А-e и значение аn точками на числовой оси. Получим наглядно геометрическое истолкование предела последовательности: Какой бы малый отрезок (длины 2e) с центром в точке А ни взять, все точки аn, начиная с некоторой из них должны попасть внутрь этого отрезка (так, что вне его может остаться лишь конечное число этих точек). Первый и второй замечательный предел Теорема. Второй замечательный предел Раскрытие неопределённостей Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:
по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют. Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих. Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов Для раскрытия неопределённостей типа Выявление старшей степени переменной; Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя. Для раскрытия неопределённостей типа Разложение на множители числителя и знаменателя; Сокращение дроби. Для раскрытия неопределённостей типа Пусть Точки разрыва Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если: 1) она определена в этой точке; 2) существует Классификация точек разрыва Различают следующие виды разрывов: 1)устранимый разрыв 2)разрыв первого рода или скачок 3)разрыв второго рода Разрывы первого и второго рода неустранимы Определение производной Производной у' или f’(x) от данной функции y= f(x) называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю: Непрерывность и дифференцируемость функции Согласно определению, производная от данной функции y= f(x) равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю: Функция, имеющая в данной точке x0 производную, называется дифференцируемой в этой точке; функция, имеющая производную во всех точках некоторого промежутка (a,b) называется дифференцируемой в этом промежутке. Очевидно, что необходимым условием дифференцируемости функции в данной точке или в данном промежутке является ее непрерывность (соответственно в точке или в промежутке); в самом деле, предел в правой части может существовать лишь тогда, когда Δy - бесконечно малая одновременно с Δx, т. е. когда функция непрерывна. Правила дифференцирования Операция отыскания производной от данной функции называется дифференцированием этой функции. Установим ряд правил, которые избавят нас от необходимости вычислять производную исходя непосредственно из ее определения.Производная от аргумента х, Полагая y=x, находим Δy =Δx. Поэтому Дифференциал функции Таким образом, установлены следующие предложения, характеризующие свойства дифференциала и связь его с приращением функции.. Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента (независимого переменного). Разность между приращением функции и Δy ее дифференциалом dy есть величина бесконечно малая более высокого порядка, чем приращение аргумента Δx, а также (при y’≠0) более высокого порядка, чем приращение функции Δy и ее дифференциал dy (в самом деле, при y’≠0 и Δx→0, Δy есть бесконечно малая того же порядка малости, что и Δx, так как Дифференциал функции имеет простой геометрический смысл: значение дифференциала функции, при данном значении аргумента x и данном приращении, Δx равно приращению ординаты касательной,, проведенной в точке с абсциссой x графика этой функции, при переходе от точки касания (с абсциссой x) к соседней точке касательной с абсциссой x+ Δx.В самом деле, соответствующее приращение ординаты касательной на рис. 4.5 изображается катетом KN треугольника MKN, в котором вторым катетом служит отрезок МК= Производные высших порядков Если задана произвольная дифференцируемая функция Определение производной второго порядка Производную от производной данной функции, если она существует, называют производной второго порядка, или второй производной, от данной функции и обозначают символом В связи с этим производную Определение производной n –го порядка. Примеры В общем случае производной порядка n+1 от данной функции называется производной от производной Производная 1. Найти производную Находим, выполняя последовательные дифференцирования: 2. Найти производную Первую производную от, sin x равную cos x, можно записать в следующем виде: В силу этого Дифференциалы высших порядков Дифференциалом второго порядка (его обозначают символом Находим Таким образом, второй дифференциал функции равен произведению ее второй производной на квадрат дифференциала независимого переменного:d2y=y”·dx2 Правило Лопиталя. Раскрытием неопределенности в математическом анализе называют отыскание предела Теперь, опираясь на теорему Коши, выведем правило Бернулли — Лопиталя для раскрытия неопределенностей, использующее производные. Основными видами неопределенностей являются два: Остальные виды неопределенностей, как увидим дальше, приводятся к основным двум видам: 1 случай. Неопределенность вида Примем 2 случай. Неопределенность вида Правило Бернулли — Лопиталя не применимо, если не Теорема Лагранжа, коши Теорема Лагранжа Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и дифференцируема в интервале (а,b), то существует такая точка с{а,b), что Следствие 1. Если производная функции равна нулю в каждой точке некоторого промежутка, то функция есть тождественная постоянная в этом промежутке. Следствие 2. Если две функции имеют равные производные в некотором промежутке, то они отличаются в этом промежутке лишь постоянным слагаемым. Корнем (или нулем) функции у = f(x) называется такое значение х = х0 ее аргумента, при котором эта функция обращается в нуль. Геометрически корень функции означает абсциссу точки, в которой график функции пересекает ось их или касается ее. Теорема Коши: Если y = f(x) и у = у(х) - две функции, непрерывные на отрезке [а, b] и дифференцируемые в интервале (а, b) причем ф'(x) не равно 0 для любого х(а, b), то между а и b найдется такая точка с, что Экстремум функции Функция Таким образом, если Если Определение. Точка Аналогично(с заменой слова «меньше» на «больше») определяются точка минимума и минимум функции.Если Максимум и минимум функции представлены на рис. 5.4 и 5.5. Точки минимума и максимума объединяются под общим названием точек экстремума, а минимум и максимум функции объединяются общим названием экстремум функции.
Экстремумы функции Таким образом, понятия максимума и минимума функции носят характер локальных (местных), а не абсолютных понятий. Таблица интегралов
Несобственные интегралы несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв. Пусть функция Таким образом, по определению Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой где с — произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция Интеграл с бесконечными пределами Теорема 1. (признак сравнения). Если на промежутке Теорема 2. Если существует предел то интегралы одновременно оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).
Формула Грина. Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция с непрерывными частными производными первого порядка где S − это площадь области R, ограниченной контуром C. Ротором или вихрем векторного поля Формула Грина в векторной форме записывается в виде формула Грина вытекает из "теоремы Стокса" при переходе от трехмерного случая к случаю двух координат. Метод Бернулли. Решение уравнения (1) ищем в виде
где
Интегральная формула Коши. Основная теорема Коши позволяет вывести формулу являющуюся основной во всей теории функций комплексного переменного. Теорема. Если функция f(z) аналитическая в односвязной области D. Тогда для любой точки z0Î D и для любого кусочно-гладкого контура l, лежащего в области D и содержащего точку z0 внутри себя, справедливо равенство: Доказательство этой теоремы основывается на основании теоремы Коши для многосвязной области, т.к. уединяя точку z0 обводим ее контуром К, получаем двухсвязную область, затем вводим вспомогательную функцию, Вычисление вычетов. Правильные или устранимые особые точки. Очевидно, если z=z0 есть правильная или устранимая особая точка функции f(z), то Res f(z0)=0 (в разложении Лорана в этих случаях отсутствует главная часть, поэтому c-1=0). Полюс. Пусть точка z0 является простым полюсом функции f(z). Тогда ряд Лорана для функции f(z) в окрестности точки z0 имеет вид: Отсюда Поэтому, переходя в этом равенстве к пределу при z --z0, получаем
Res f(z0)= (22.15.5) Существенно особая точка. Если точка z0 - существенно особая точка функции f(z), то для вычисления вычета функции в этой точке обычно непосредственно определяют коэффициент c-1 в разложении функции в ряд Лорана. Векторы, основные определения, понятия, действия над ними Определение 1. Направленный отрезок будем называть вектором и обозначать Определение 2. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают и обозначают Отметим, что нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину равную нулю. Это позволяет нам при записи отождествлять нулевой вектор с вещественным числом нуль. Определение 3. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых. Определение 4. Два вектора называются равными, если выполнены следующие три условия: 1) длины векторов равны, 2) векторы параллельны (коллинеарны), 3) векторы направлены в одну и ту же сторону. Определение 5. Два вектора называются противоположными, если для них выполнены первые два условия определения 4, а третье условие нарушается. Сложение векторов Суммой Сложение векторов обладает следующими основными свойствами: 1. Коммутативность: 2. Ассоциативность: для любых векторов 3. Прибавление нулевого вектора к любому вектору 4. Сумма вектора Вычитание векторов Разностью двух векторов
чтобы из одного вектора вычесть другой, нужно их отнести к общему началу и провести вектор из конечной точки вектора – вычитаемого в конечную точку вектора – уменьшаемого ![]() ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... ![]() Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|